大学物理A(一)期中复习

作业：作业：设开始时棒静止在 竖直位置，有一质量为 设开始时棒静止在 竖直位置，有一质量为m的子 弹以水平速度射入杆下 端，并嵌在杆中，求： （ 的子 弹以水平速度射入杆下 端，并嵌在杆中，求： （1）子弹射入后瞬间杆的角 速度 ）子弹射入后瞬间杆的角 速度 ； ； o l M 0 v v 解解：设杆长：设杆长 l , 质量为质量为M，子弹、竿组成一 系统，角动量守恒 ，子弹、竿组成一 系统，角动量守恒 0 v v （2）棒和子弹组成的系统能摆起的最大摆角（2）棒和子弹组成的系统能摆起的最大摆角 =+=+ 222 ) 3 1 ( 2 1 mlMl )cos1( 2 + l Mg)cos1( mgl 射入竿后，以子弹、细杆和 地球为系统，机械能守恒： 射入竿后，以子弹、细杆和 地球为系统，机械能守恒： o l M 0 v v ) 3 1 ( 22 mlMllm+=+= 0 v lmM m )3( 3 + = + = 0 v + = + = glmMMm m )3)(2( 3 1arccos 2 2 0 v 大学物理A（一） 期中复习 大学物理A（一） 期中复习 考试内容考试内容考试内容考试内容 第一章第一章第一章第一章 质点运动学质点运动学质点运动学质点运动学 第二章第二章第二章第二章 牛顿定律牛顿定律牛顿定律牛顿定律 第三章第三章第三章第三章 动量守恒定律动量守恒定律动量守恒定律动量守恒定律 和能量守恒定律（和能量守恒定律（和能量守恒定律（和能量守恒定律（40%40%） 第四章第四章第四章第四章 刚体的转动刚体的转动刚体的转动刚体的转动（30%30%） （40%40%） P1 二 2、3， P2 三 1.3， P3 三5、四 1 ， P4 四 4； P5 一 2、3 ， P6 三2，P8 四 2 ； P9 一 1，P11 三4.5 ， P13 一 3， P14 二 3.4，三 1.3， P15 四 1.2; P19 一 2，二 1.2，三 1 P20 -21 四 1、2 P23 一 2.3，P24 三 2 第一章第一章第一章第一章 质点运动学质点运动学质点运动学质点运动学 速度、加速度的速度、加速度的速度、加速度的速度、加速度的 定义，定义，定义，定义， 已知运动方程求速度或加速度，已知运动方程求速度或加速度，已知运动方程求速度或加速度，已知运动方程求速度或加速度， 或已知加速度求速度与运动方程。或已知加速度求速度与运动方程。或已知加速度求速度与运动方程。或已知加速度求速度与运动方程。 角速度、角加速度的角速度、角加速度的角速度、角加速度的角速度、角加速度的 定义，定义，定义，定义， 已知运动方程求角速度或角加速度。已知运动方程求角速度或角加速度。已知运动方程求角速度或角加速度。已知运动方程求角速度或角加速度。 切向和法向加速度，角量和线量的关系。切向和法向加速度，角量和线量的关系。切向和法向加速度，角量和线量的关系。切向和法向加速度，角量和线量的关系。 P1 二二 2、3， P2 三三 1、3， P3 三三5， P4 四四 1、4； 一、 质点运动的描述一、 质点运动的描述 运动方程运动方程r v 速度速度 t r d d v v = =v t s d d = vv r 加速度加速度 t v d d r r = =a )(ta v )(tr v ( ) t v v 求导求导求导求导 积分积分积分积分 运动学中的两类问题运动学中的两类问题 )(tr v 2 2 dt rd r = = 直角坐标系下直角坐标系下 ktjtyitxtr vvv v )()()()(z+=+= j t z j t y i t x vvv v d d d d d d += += v 222 zyx vvvv+=+= k t j t i t a z y x vvv v d d d d d dv v v +=+= 222 zyx aaaa+=+= )(taa = = 2 cta = = d d 2 ct t a= v = = t v dtct 0 2 0 d v v )(xaa = = 2 cxa = = d d d d d d d d x v xt x t vvv = )(vaa = = 2 kva= = d d 2 kv t = = v = = t v kdt v 0 2 0 d v v = = x xv dxcxv 00 2 d v v 二圆周运动二圆周运动 )(t td d = = td d = = 角量描述 切向加速度和法向加速度 角量描述 切向加速度和法向加速度 2 2 n R R a= v R t a= d d t v v v x y o n e v t e v a r 22 nt aaa+=+= R= =v 例例1、P4 四四4 质点作曲线运动， 表示位置 矢量，表示速度， 质点作曲线运动， 表示位置 矢量，表示速度，S表示路程，讨论比较 各式的意义： 表示路程，讨论比较 各式的意义： r r v r （1）和，并在图中画出；）和，并在图中画出；r r r （2）和，并在图中画出；）和，并在图中画出；v r v （3） : dt rd r , v dt rdr r = = 瞬时速度矢量， 反映位置变化的快慢 瞬时速度矢量， 反映位置变化的快慢 （3） : dt rd r , v dt rd = = r 瞬时速度的大小瞬时速度的大小 , 22 + + dt dy dt dx 直角坐标系下瞬时速度 的大小 直角坐标系下瞬时速度 的大小 : dt ds 瞬时速率，和速度的大小相等瞬时速率，和速度的大小相等 dt rd r : dt rd r 位置矢量长度的时间变化率，位置矢量长度的时间变化率， （4） : dt vd r ,a dt vdr r = = 瞬时加速度矢量， 反映速度变化的快慢 瞬时加速度矢量， 反映速度变化的快慢 : dt vd r , a dt vd = = r 瞬时加速度的大小瞬时加速度的大小 : dt dv 加速度矢量在自然坐标系的切向分 量，反映速度大小的变化快慢 加速度矢量在自然坐标系的切向分 量，反映速度大小的变化快慢 : 2 R v 加速度矢量在自然坐标系的法向分 量，反映速度方向的变化快慢 加速度矢量在自然坐标系的法向分 量，反映速度方向的变化快慢 , 2 2 2 + + R v dt dv自然坐标系下瞬时加速 度的大小 自然坐标系下瞬时加速 度的大小 , 2 2 + + dt dv dt dv y x直角坐标系下瞬时加速 度的大小 直角坐标系下瞬时加速 度的大小 例例2、P3 四四1 （1）速度 （ ）速度 （2）加速度 （ ）加速度 （3）切向加速度的大小为 （ ）切向加速度的大小为 （4）法向加速度的大小为 （ ）法向加速度的大小为 （5）运动轨迹为）运动轨迹为 则在则在t时刻时刻 ),(5sin105cos10)(制制SIj ti ttr vv v +=+= 例例4：P1 二二2 在在xy平面内有一运动质点， 其运动学方程为： 平面内有一运动质点， 其运动学方程为： ,)5cos5sin(50)(制）（制）（SIj ti ttv vv r +=+= ,)5sin5(cos250)(制）（制）（SIj ti tta vv r +=+= 制）（制）（SI dt dv at0= )(250制制SIaan= = = 222 10=+=+ yx圆，圆， 第二章第二章第二章第二章 牛顿定律牛顿定律牛顿定律牛顿定律 牛顿运动定律牛顿运动定律牛顿运动定律牛顿运动定律 常见作用力：重力、弹力、摩擦力常见作用力：重力、弹力、摩擦力常见作用力：重力、弹力、摩擦力常见作用力：重力、弹力、摩擦力 P5 一一2、3 ，P6 三三2 核心核心 1.适用范围适用范围 amF v r = = 惯性参考系，惯性参考系， 2.解题步骤2.解题步骤 隔离物体，隔离物体， t mF d d t v = = mF 2 n v = dt dv mmaF y yy = dt dv mmaF x xx = dt dv mmaF z zz = 只适用于质点，瞬时性。 具体分析， 建立坐标， 运动方程 只适用于质点，瞬时性。 具体分析， 建立坐标， 运动方程 例例 在作匀速转动的水平转台上，与转轴相距在作匀速转动的水平转台上，与转轴相距 R处有一体积很小的工件处有一体积很小的工件A，如图所示设工 件与转台间静摩擦系数为 ，如图所示设工 件与转台间静摩擦系数为 s，若使工件在转 台上无滑动，则转台的角速度 ，若使工件在转 台上无滑动，则转台的角速度 应满足 ？应满足 ？ O R A 解：解：以地面为参考系。 在自然坐标系中， 根据牛顿定律，有 以地面为参考系。 在自然坐标系中， 根据牛顿定律，有 2 s mRmg s R g 作业：作业： P6三三2质量为质量为m的子弹以速度的子弹以速度v0水平射入 沙土中，设子弹所受阻力与速度关系为 水平射入 沙土中，设子弹所受阻力与速度关系为f= v，忽略子弹的重力，求：，忽略子弹的重力，求： (1) 子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数 式； 子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数 式； (2) 子弹进入沙土的最大深度；子弹进入沙土的最大深度； (3) 子弹进入沙土的最大深度时所需的时间 解：（ 子弹进入沙土的最大深度时所需的时间 解：（1）由牛顿定律）由牛顿定律 dt dv mKv = （2）最大深度）最大深度 m kt v v v = = 0 ln v dv dt m K = = v v t v dv dt m K 0 0 t m K evv = = 0 dx dv mv dx dv dt dx m dt dv mKv= dvdx m K = = 0 0 0 max v x dvdx m K Kmvx/ 0max = = （3）设到达最大深度所需时间为）设到达最大深度所需时间为T t m K ev dt dx = = 0 0 )( 0 0 T e K m v K mv t m K = = = Tt m K x dtevdx 0 0 0 max T m K e =110= = T m K e = =T 第三章第三章第三章第三章 动量守恒定律动量守恒定律动量守恒定律动量守恒定律 和能量守恒定律和能量守恒定律和能量守恒定律和能量守恒定律 动量定理的应用：求冲量、速度。动量定理的应用：求冲量、速度。动量定理的应用：求冲量、速度。动量定理的应用：求冲量、速度。 功的计算，动量定理的应用：求速度。功的计算，动量定理的应用：求速度。功的计算，动量定理的应用：求速度。功的计算，动量定理的应用：求速度。 保守力、保守力做功、势能相关内容。保守力、保守力做功、势能相关内容。保守力、保守力做功、势能相关内容。保守力、保守力做功、势能相关内容。 动量守恒定律和能量守恒定律。动量守恒定律和能量守恒定律。动量守恒定律和能量守恒定律。动量守恒定律和能量守恒定律。 P8四四2；P9一一1 ，P13一一3，P14 三三1、 3，二，二3、4，P11 三三4、5，P15 四四1、2； 12 2 1 ppdtF t t ex rr r = 一、动量定理和动量守恒定律一、动量定理和动量守恒定律 1、冲量 质点的动量定理、冲量 质点的动量定理 2 1 t t dtF r 12 pp rr = = 2、质点系的动量定理、质点系的动量定理 3、动量守恒定律、动量守恒定律 恒矢量恒矢量= = iiv m r 则有若则有若0= ex F r vmp rr = = 二、动能定理和机械能守恒定律二、动能定理和机械能守恒定律 1、功 质点的动能定理、功 质点的动能定理 12kk l EErdF= r r 2、保守力 势能、保守力 势能 ppp EEEW = = = = 21 保保 mgzE p = =重力势能重力势能 r Mm GEp= = 引力势能引力势能 2 2 1 kxE p = = 弹性势能弹性势能 2 2 1 mvEk= = 保守力做正功，势能减少. 保守力做负功，势能增加. 保守力做正功，势能减少. 保守力做负功，势能增加. 3、质点系的功能原理、质点系的功能原理 4、机械能守恒定律、机械能守恒定律 12KK EEWWW = =+ + + 内保内非外内保内非外 PPP EEEW= = = = 21内保内保 12 EEWW = =+ + 内非外内非外 pk EEE+ += =系统的机械能系统的机械能 0= =+ + 内非外内非外 若若WW 12 EE = = 例例1、 P8四四2一圆锥摆摆长为一圆锥摆摆长为l、摆锤质量 为 、摆锤质量 为m，在水平面上作匀速圆周运动，摆线与 铅直线夹角 ，在水平面上作匀速圆周运动，摆线与 铅直线夹角 ，求：在小球转动一周的过程 中，小球所受绳子拉力的冲量大小 ，求：在小球转动一周的过程 中，小球所受绳子拉力的冲量大小. l 解解： pdtgmF T T vr r =+=+ 0 )( 0= = p r = = TT T dtgmdtF 00 r r Tgm r = = v l T sin2 = =mgF T = = cos r v mF T 2 sin= = 例例2、 P9一一1 质量为质量为m的质点，以不变速率的质点，以不变速率 v沿图中正三角形沿图中正三角形ABCA的方向运行一周质 点越过 的方向运行一周质 点越过A角时，求作用于角时，求作用于A处质点的冲量的大 小和方向。 处质点的冲量的大 小和方向。 A C B 答案：答案： 向上向上,3mv 例例3、 P14二二3 质量质量m1 kg的物体，在坐 标原点处从静止出发在水平面内沿 的物体，在坐 标原点处从静止出发在水平面内沿x轴运动， 其所受合力方向与运动方向相同，合力大小为 轴运动， 其所受合力方向与运动方向相同，合力大小为 F32x (SI)，那么，物体在开始运动的，那么，物体在开始运动的3 m 内，合力所作的功内，合力所作的功W?;且且x3 m时，其速率时，其速率 v? JdxxW18)23( 3 0 =+=+= , 2 1 2 mvW = = ,/6 2 sm m W v= 例例4、一质量为、一质量为m的子弹，水平射入悬挂着 的静止沙袋中。沙袋质量为 的子弹，水平射入悬挂着 的静止沙袋中。沙袋质量为M，悬线长为，悬线长为l ,为 使沙袋能在竖直平面内完成整个圆周运动，子 弹至少应以多大的速度射入？ 若悬线是硬直杆呢？ 解：设子弹射入速度 为， 为 使沙袋能在竖直平面内完成整个圆周运动，子 弹至少应以多大的速度射入？ 若悬线是硬直杆呢？ 解：设子弹射入速度 为， m M l O 0 v 射入沙袋后 的共同速度为 射入沙袋后 的共同速度为v， v 在圆 周最高点的共同速度 为 在圆 周最高点的共同速度 为 射入过程动量守恒，射入过程动量守恒， vMmmv)( 0 + += = 射入后，子弹、沙袋、悬 线、地球组成的系统机械 能守恒， 射入后，子弹、沙袋、悬 线、地球组成的系统机械 能守恒， lgMmvMmvMm2)()( 2 1 )( 2 1 22 +=+=+ 在最高点，重力和悬线张力在最高点，重力和悬线张力T提供向心力提供向心力 l v MmTgMm 2 )()(+=+=+ m M l O 超越最高点的条件为，超越最高点的条件为， glv 即， 若悬线是硬直杆 即， 若悬线是硬直杆 l v MmTgMm 2 )()(+=+=+ m M l O 0 T 解上述各式，得解上述各式，得 gl m Mm v5 0 + + 在最高点，重力和直杆支持力在最高点，重力和直杆支持力T提供向 心力 提供向 心力 超越最高点的条件为，超越最高点的条件为， m M l O 0 v 解上述各式，得解上述各式，得 gl m Mm v4 0 + + 动量守恒，动量守恒， vMmmv)( 0 + += = 机械能守恒，机械能守恒， lgMmvMmvMm2)()( 2 1 )( 2 1 22 +=+=+ 例例5、 P15四四1 讨论做功的问题：讨论做功的问题： (1)质点系内各质点间相互作用的一对 内力做功是否为零？ 答案 ：不一定为零，无相对位移 或相对位移与一对力垂直的情况下 一对力做功才为零。 质点系内各质点间相互作用的一对 内力做功是否为零？ 答案 ：不一定为零，无相对位移 或相对位移与一对力垂直的情况下 一对力做功才为零。 例例5、 P15四四1 （2）对功的概念有以下几种说法：对功的概念有以下几种说法： (A)保守力作正功时，系统内相应的势 能增加 保守力作正功时，系统内相应的势 能增加 (B)质点运动经一闭合路径，保守力对 质点作的功为零 质点运动经一闭合路径，保守力对 质点作的功为零 (C)作用力和反作用力大小相等、方向 相反，所以两者所作功的代数和必为零 在上述说法中正确的说法是 答案 作用力和反作用力大小相等、方向 相反，所以两者所作功的代数和必为零 在上述说法中正确的说法是 答案(B) 例例5、 P15四四2 (1)如图所示，置于水平光滑桌面上质量 分别为 如图所示，置于水平光滑桌面上质量 分别为m1和和m2的物体的物体A和和B之间夹有一轻 弹簧 （ 之间夹有一轻 弹簧 （a）若以等值反向的力分别作用于两物 体，则两物体和弹簧组成的系统的动量与 机械能是否守恒？ 答案 动量守恒 ）若以等值反向的力分别作用于两物 体，则两物体和弹簧组成的系统的动量与 机械能是否守恒？ 答案 动量守恒 A m1 m2 B 机械能不守恒机械能不守恒 例例5、 P15四四2 (1)如图所示，置于水平光滑桌面上质量 分别为 如图所示，置于水平光滑桌面上质量 分别为m1和和m2的物体的物体A和和B之间夹有一轻 弹簧 （ 之间夹有一轻 弹簧 （b）用双手挤压）用双手挤压A和和B使弹簧处于压缩状 态，然后撤掉外力，在 使弹簧处于压缩状 态，然后撤掉外力，在A和和B被弹开的过 程中，系统的动量与机械能是否守恒？ 答案 动量守恒 被弹开的过 程中，系统的动量与机械能是否守恒？ 答案 动量守恒 A m1 m2 B 机械能守恒机械能守恒 例例5、 P15四四2 (C)若有质量为若有质量为m1和和m2的物体的物体C和和D分别置 于物体 分别置 于物体A与与B之上（如图所示），且物体之上（如图所示），且物体A 和和C、B和和D之间的摩擦系数均不为零首 先用外力沿水平方向相向推压 之间的摩擦系数均不为零首 先用外力沿水平方向相向推压A和和B，使 弹簧被压缩然后撤掉外力，则在 ，使 弹簧被压缩然后撤掉外力，则在A和和B 弹开的过程中，对弹开的过程中，对A、B、C、D弹簧组成 的系统动量与机械能是否守恒？ 答案 动量守恒 机械能不一定守恒 弹簧组成 的系统动量与机械能是否守恒？ 答案 动量守恒 机械能不一定守恒 D A C B 第四章第四章第四章第四章 刚体的转动刚体的转动刚体的转动刚体的转动 转动定律的应用转动定律的应用转动定律的应用转动定律的应用 （转动惯量、合外力矩的计算）（转动惯量、合外力矩的计算）（转动惯量、合外力矩的计算）（转动惯量、合外力矩的计算） 动量守恒定律和能量守恒定律。动量守恒定律和能量守恒定律。动量守恒定律和能量守恒定律。动量守恒定律和能量守恒定律。 P19 一一2，二，二1.2，三，三1 P20 -21 四四1、2 P23 一一2.3，P24 三三2 一、 转动定律一、 转动定律 力矩力矩FrM r r r = = JM = 转动惯量转动惯量 = = = = n i iir mJ 1 2 )( 二、角动量守恒定律二、角动量守恒定律 角动量角动量（对轴）（对轴） v v JL = 角动量定理角动量定理 12 2 1 dLLtM t t ex rrr = 角动量守恒定律角动量守恒定律 0= ex M r 常矢量= 常矢量=L r ，则，则若若 例例1、 P19二二2长为长为l，质量可以忽略的直杆， 可绕通过其一端的水平光滑轴在竖直平面内 作定轴转动，在杆的另一端固定着一质量为 ，质量可以忽略的直杆， 可绕通过其一端的水平光滑轴在竖直平面内 作定轴转动，在杆的另一端固定着一质量为m 的小球，如图所示现将杆由水平位置无初 转速地释放则杆刚被释放时的角加速度 的小球，如图所示现将杆由水平位置无初 转速地释放则杆刚被释放时的角加速度 0 _，杆与水平方向夹角为，杆与水平方向夹角为60时的角加 速度 时的角加 速度 _ J M = = 0 J M = = l g = = 2 ml mgl = = 2 2/ ml mgl = = l g 2 = = 例2例2 P19三三1一长为一长为l 的均匀直棒可绕 过其一端且与棒垂直的水平光滑固定轴转 动抬起另一端使棒向上与水平面成 的均匀直棒可绕 过其一端且与棒垂直的水平光滑固定轴转 动抬起另一端使棒向上与水平面成 60，然后无初转速地将棒释放已知棒 对轴的转动惯量为，其中 ，然后无初转速地将棒释放已知棒 对轴的转动惯量为，其中m和和l分别为棒的 质量和长度求： 分别为棒的 质量和长度求： l mg (1) 放手时棒的角加速度；放手时棒的角加速度； (2) 棒转到水平位置时的角 加速度 棒转到水平位置时的角 加速度 l mg l g ml l mg J M 4 3 3 1 60cos 2 2 0 = 根据转动定律，可得 棒转到水平位置时， 根据转动定律，可得 棒转到水平位置时， l g ml l mg J M 2 3 3 1 2 2 = （1）物体下落的加速度和绳中的 张力； （ ）物体下落的加速度和绳中的 张力； （2）物体的下落速度； （ ）物体的下落速度； （3）物体的下降距离； （ ）物体的下降距离； （4）定滑轮转动的角加速度、角 速度和转过的角度； ）定滑轮转动的角加速度、角 速度和转过的角度； m R 例3例3、 P20四四1如图所示，一个质量为如图所示，一个质量为m 的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子质 量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动假设 定滑轮质量为 的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子质 量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动假设 定滑轮质量为M、半径为、半径为R，其转动惯量为，其转动惯量为 J，滑轮轴光滑设开始时系统静止，求在，滑轮轴光滑设开始时系统静止，求在t 时刻：时刻： 解方程得：解方程得： 解：解： maTmg= = 对物体对物体 JTR对滑轮：对滑轮： (1)：根据牛顿运动定律和转动定律：根据牛顿运动定律和转动定律 Ra= = 运动学关系运动学关系 amgR2/ (mR2+ J) mg JmR J T + = + = 2 T M R T mg a (2) vatmgR2t/ (mR2+ J) 2 2 1 )3(ath= = )(2 2 22 JmR tmgR + = + = R a = = )4( JmR mgR + = + = 2 t = = JmR mgRt + = + = 2 2 2 1 t= = )(2 2 2 JmR mgRt + = + = T M R T mg a （5）若将物体改为作用力）若将物体改为作用力mg， 则定滑轮所获得的角加速度与前 比较是变大了还