系统的稳定性.ppt

1,第六章系统的稳定性,按照研究问题的不同类型和不同角度，系统稳定性的定义有不同的形式。常用的稳定性的概念有两种。稳定性的第一个概念与加入一般输入信号时的系统性能有关。如果输入有界时（Boundedinput）只能产生有界输出（Boundedoutput）的系统，称为稳定系统，这一稳定性准则称为BIBO稳定性准则。它适用于一般系统，可以是线性也可以是非线性系统，可以是非时变也可以是时变系统。(也称外部稳定),2,6.4系统的稳定性,稳定性的第二个概念与短时间内出现小的干扰时的系统性能有关。当一个系统受到某种干扰信号作用时，其所引起的系统输出始终保持有界，并且最后趋于原状态，则系统就是稳定的；如果系统输出变为无界，则系统是不稳定的；如果系统输出保持有界，但是并不趋附于原来的状态，则称系统为临界稳定。例如，临界稳定系统可以表现为持续振荡或者恒定输出。（也称内部稳定）。,3,BIBO稳定性,BIBO稳定性称为有界输入有界输出稳定性,如果输入有界，则,替换变量x=t-，可得,那么，如果有,则输出有界，也就是说，上式是稳定性的充分条件。,4,BIBO稳定性,证明必要条件，,如果无界，则至少有一个有界的f(t)产生无界的y(t),输出将无界,因为,同时也是BIBO稳定性的必要条件,5,BIBO稳定性(时域),在时域中，线性非时变因果系统的BIBO稳定含有以下条件.要求在微分方程中，输入信号的最高阶导数不超过输出信号的最高阶导数；如果超过的话，冲激响应中将含有的导数，就不绝对可积。特征方程的根有负实部。为了符合绝对可积条件，在t无限趋大时，冲激响应趋于零，即,6,BIBO稳定性(S域),在s域中，要求系统函数H(s)中，分子多项式的阶数M不能超过分母多项式的阶数N。其极点位于S左半平面（除去虚轴）位于右半平面的极点将使指数增长，对任一有界的或其他输入会产生无界的响应。虚轴上的多重极点会使系统响应发散.虚轴上的单极点，如果系统的输入信号也有相同的形式，会使系统响应发散。从BIBO稳定性划分来看，由于未规定临界稳定类型，因而属于不稳定的范围。,7,例6.16,试用BIBO准则判别下列因果系统是否稳定？为什么？,由于有右半平面的极点，所以系统不稳定。,由于在虚轴上有单极点，所以系统是不稳定。,系统函数分子分母的阶数相同，极点都在左半平面。所以系统是稳定的。,因为分子的阶数大于分母的阶数，冲激响应中必含有其导数项，所以系统不稳定。,8,其他稳定性,系统函数的极点与冲激响应的关系确定稳定性在时域，对于因果系统，在时间t趋于无限大时，是趋于零，系统是稳定的；若时间t趋于无限大时，是趋于有限值，则系统是临界稳定的；若时间t趋于无限大时，是增长的，则系统是不稳定的。在s域，系统函数的极点位于s左半平面，系统是稳定的。极点在虚轴上有单极点，系统是临界稳定。极点在s右半平面或在虚轴上有重极点，系统不稳定。,9,其他稳定性,用零输入响应确定稳定性对于所有的初始条件，当t时，系统的零输入响应yzi(t)0，则系统为渐近稳定系统。也就是说，当时间趋于无穷大时，系统中的任何初始储能产生的响应都会逐渐消失。M是一个有界的正常数,则称系统为临界稳定。如果t时，yzi(t)无限增长。则系统是不稳定的。,10,稳定性与罗斯阵列,罗斯判据不需要知道特征根，通过特征方程的系数就可判断系统的稳定性。设线性系统的特征方程为：,则系统稳定的充分必要条件是特征方程的全部系数为正值，并且由特征方程系数组成的罗斯阵的第一列系数也为正值。,11,罗斯判据,罗斯阵的形式为：,返回,12,例6.17,三阶系统的特征方程为：,罗斯阵为,系统稳定的充分必要条件为,罗斯判据,13,改变一次符号,改变一次符号,根据罗斯判据确定系统为不稳定的情况：,罗斯阵第一列所有系数均不为零，但也有不全为正数的情况：特征根在右开半平面的数目等于罗斯阵第一列系数符号改变的次数。例：线性系统的特征方程为：,罗斯阵为,可见系统不稳定，改变符号次数为2，表明有两个正实部的根。,14,根据罗斯判据确定系统为不稳定的情况：,罗斯阵某一行第一项系数为零，而其余系数不为零的情况。可用有限小的正数代替零计算。例：线性系统的特征方程为：,罗斯阵为,故有两个根在右半平面。实际上,改变一次符号,改变一次符号,15,根据罗斯判据确定系统为不稳定的情况：,罗斯阵某一行全为零的情况。表明特征方程有一些大小相等，方向相反的根。例：线性系统的特征方程为：,罗斯阵为,构成辅助多项式：,其导数为：,返回,16,罗斯阵某一行全为零的情况,系统没有正实部根，有共轭虚根，其根为,即，所以，系统有四个根，,罗斯阵变为,返回,17,例6.21,设连续系统的系统函数为，其中D(s)=s3+2s2+4s+K,罗斯阵为,罗斯判据,则系统稳定时K的取值范围为_。,可见，系统稳定时K的取值范围为：0K8,0K8,18,例6.22,已知如图所示系统，欲使系统稳定，试确定的取值范围；若系统属临界稳定，试确定它们在j轴上的极点的值。,解：先求系统函数，设变量X,代入表达式，故有,令,19,例6.22,已知如图所示系统，欲使系统稳定，试确定的取值范围；若系统属临界稳定，试确定它们在j轴上的极点的值。,见罗斯判据,系统稳定时K的取值范围为：,D(s)=s4+5s3+8s2+6s+K,罗斯阵为,要使系统属临界稳定时罗斯阵的某一行为0，即K=204/25。,辅助多项式：,其导数为：,从罗斯阵可知：系统没有正实部根，有共轭虚根，其根为,见罗斯判据,20,例6.23,如图所示电路，试求：(1)系统函数,解：用节点法列方程：,(2)K为何值时，系统稳定？,欲使系统稳定，必有52K0即K2.5,21,例6.23,(3)取K0.5，uS(t)=sint(t)，求零状态响应u0(t)。,解：K0.5时：,用比较系数法