秋季班初二自招进度二第一讲正、反比例函数教师版

第一讲 正、反比例函数 【知识点归纳】 1. 常量、变量定义：在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量，保持数值不变的 量叫做常量（或常数） 说明：一个量是常量和变量，一般是相对于一个研究过程而言，要具体分析，不能绝对化. 2. 函数的定义：在某个变化过程中有两个变量，设为x和y，如果在变量x的允许取值范 围内，变量y随着x的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫做变 量x的函数，x叫做自变量. 3. 函数关系三种表示方法： （1）解析法； （2）列表法； （3）图象法 4. 函数的自变量允许的取值范围叫做这个函数的定义域. 5. 如果变量y是自变量x的函数， 那么对于x在定义域内取定一个值a， 变量y的对应值 叫做当ax 时的函数值 . 注意：任何一个函数，由每一个自变量x, 都恰好只能得出一个y值。 6. 如果两个量的比等于一个不为零的常数，那么就说这两个量成正比例. 7. 函数kxy （k是不等于零的常数）叫做正比例函数，k叫做比例系数. 8. 求正比例函数解析式的两种方法： （1）直接根据已知的比例系数列出正比例函数解析式 （2）待定系数法 9. 正比例函数的性质 (1)当0 k时， 正比例函数的图像经过第一、 三象限 ； 自变量x的值逐渐增大时，y的 值也随着逐渐增大. (2)当0 k时， 正比例函数的图像经过第二、 四象限 ； 自变量x的值逐渐增大时，y的 值也随着逐渐减小. 【例题精讲】 例 1 判断下列解析式是不是函数，并说明理由。 (1)12 xy; (2) 1 22 yx (3) 根据生物学研究结果，青春期女生身高增长速度呈现如下图规律: （4）初一（2）班学生的身高如下表所示： 解： （1） 、 （3） 、 （4）是函数， （2）不是函数。 （理由： 定义域内，每个x只能算出一个y.） 例 2 求下列函数的定义域： (1) 12 2 xxy (2) 2 1 x y (3) xy31 (4) x x y 1 31 解： （1）x取一切实数. （2）x取不等于 2 的实数. （3） 3 1 x （4）1 3 1 xx且且 例 3 已知xyxy233 ,把它写成)(xfy 的形式，并求)3( fy的值. 解：又xyxy233 可得xyx23)13( 所以 13 23 )( x x xfy 当3 x时， 10 3 1)3(3 )3(23 )3( f. 【基础训练】 1. 等腰三角形的顶角为y度，底角为x度，则y关于x的函数解析式为 xy2180 ， 自变量x的取值范围为900 x. 2. 某厂前 5 个月生产的总产量y（件）与时间x（月）的关系如图所示，则下列说法正 确的是（ D ） A. 13 月的月产量逐月增加，4、5 两月的产量逐月减少 B. 13 月的月产量逐月增加，4、5 两月的产量与 3 月持平 C. 13 月的月产量逐月增加，4、5 两月停产 D. 13 月的月产量持平，4、5 两月停产 【巩固与提高】 3. 已知 43 25 y y x. (1) 将它改写成)(xfy 的形式； (2) 求：)3( fy的值； (3) 求x的取值范围. 解：(1) 由 43 25 y y x可得：25)4y3 yx（，, 2453 xyxy 所以 53 24 x x xfy）（ (2)当 7 5 53-3 23-4 3x y时，时，. （3） x的取值范围是 的一切实数的一切实数 3 5 x. 例 4 判断下列问题中的两个变量是否成正比例，为什么？ (1)正方形的周长C与边长a (2)商一定（不为零） ，被除数与除数 (3)圆的面积S与该圆半径r (4)一个人的体重与年龄 解： （1） （2） （7）成正比例.理由略. 例 5 下列函数（其中x是自变量）中，哪些是正比例函数，比例系数是多大？哪些不是， 为什么？ （1） 5 x y （2） x y 3 （3） 2 2xy （4）2 2 x y x(月) y(件) 53O （5）xy 2 1 ； （6）xy ； （7） 4 2 x y； （8）22 xy； 解： （1） （5） （6）是正比例函数. 例 6 想一想，根据正比例函数的特征填空： 当_m时，函数xmy）（3 是正比例函数. 当_m时，函数93 2 mxmy）（是正比例函数. 当_m时，函数 8 2 3 m xmy）（是正比例函数. 解：3; 3; 3 mmm 例 7 若函数xmxmy)1()62( 2 是正比例函数，求m的值 解：由题知： 01 062 m m ，3 m 【函数图像及性质】 例 8：画出下列正比例函数的图像 xy2 解：如正比例函数xy2 ， （1）列表：取自变量x的一些值，根据正比例函数的解析式，填表 x -3 -2 -1 0 1 2 3 xy2 （2）描点 （3）连线 （4）在图象上写解析式： “直线xy2 ”.（图略） 小结： 我们发现正比例函数图象是一条直线， 且经过原点。 由于只需两点就可确定直线。 老师强调： 以后画正比例函数图象时，我们可以取两点（0,0）和（1，k） ，再连直线。 【也经常根据具体解析式取整数点， 例如xy 5 2 , 可取（0, 0）和（5， 2） 】 练一练： 在同一坐标系内分别画出xy 3 2 ，xy ， xy2 的图象。 归纳图像特征： （教师引导学生归纳） （1） 一定经过原点的一条直线。 （2） 0 k时， 经过一、三象限； 0 k时， 经过二、四象限。 （3） 0 k时， （从左到右看）图象是上升的直线；0 k时， （从左到右看）图象是 下降的直线。 （4） 0 k时，y随x的增大而增大； 0 k时，y随x的增大而减小。 【教师注意】 ： 1.第四点要详细解释，可以从图象取两点比较yx、的变化来解释， 也可以计算发 现，分别取 x1, 2, 计算y值来解释。 2.y随x的增大而增大，本质上是y的变化趋势与x的变化趋势相同，也可说成y 随x的减小而减小。 同理y随x的增大而减小，本质上是y的变化趋势与x的变化趋势相反，也可说 成y随x的减小而增大。 例 9 已知正比例函数的图像经过点)83 ，（A，求正比例函数的解析式 解：设所求解析式为：kxy ，因为正比例函数的图像经过点)83 ，（A， k38 ， 3 8 k，所求解析式为：xy 3 8 例 10 已知 21 yyy ， 1 y与x成正比例， 2 y与 2 x成正比例， 并且当1 x时，10 y； 当4 x时，0 y.求y与x之间的函数解析式. 解：设);0( ,)0( 2 2 22111 kxkykxky；， 则 2 2121 xkxkyyy 把1 x，10 y代入得10 21 kk 把4 x，0 y代入得0164 21 kk 由解得2, 8 21 kk 所以 2 28xxy 【课后作业】 1. 求下列函数中自变量的取值范围： (1)72 2 xy (2) 3 1 x x y (3) 3 1 x x y (4) 12 1 2 x x x x y 解： （1）x取一切实数. （2）90 xx且且 （3）31 xx且且 （4） 2 1 12 xx且且 【教师备用】 ： 2. 已知函数cbxaxxfy 2 )(，且0)1( f；3)0( f, 4)1( f, 求cba、值. 解：01- cbax时，代入得时，代入得当当 30 cx时，代入得时，代入得当当 41 cbax时，代入得时，代入得当当 解方程组得3, 2, 1 cba 所以3, 2, 1 cba. 3. 下图反映的过程：小明下午从家走路去超市购物，又走去游泳池游泳，然后走路回家。 其中 x 表示时间，y 表示小明离他家的距离，小明家、超市、游泳池在同一条直线上。 根据图象回答问题： （1）超市离小明家多远？小明从家到超市用了多少时间？ （2）小明购物花了多少时间？ （3）超市离游泳池有多远？小明从超市到游泳池用了多少时间？ （4）小明游泳游了多久？ （5）游泳池离小明家有多远？小明从游泳池回家的平均速度是多少？ （6）小明整个下午行走的平均速度是多少？ 解： （1）1.1km, 15 分钟； （2）10 分钟； （3）0.9km, 12 分钟。 （4）18 分钟； （5）2km, 80 米/分； (6) 13 1000 米/分 4. 一家公司招聘销售员,给出以下两种薪金方案供求职人员选择,方案甲:每月的底薪为 1500 元,再加每月销售额的 10%;方案乙:每月的底薪为 750 元,再加每月销售额的 20% , 如果你是应聘人员,你认为应该选择怎样的薪金方案? 解：设月薪 y(元),月销售额为 x(元) 方案甲:)0( 10 1 1500xxy 方案乙: )0( 5 1 750xxy 若 y甲=y乙,则 xx 5 1 750 10 1 1500 ,解得 x=7500. 若 y甲 y乙.则 xx 5 1 750 10 1 1500 ,解得 x7500. 若 y甲7500. y/千米 x/分 8055 372515 o 2 1