第五章 系统运动稳定分析.ppt

第5章系统运动的稳定性,5.1外部稳定性和内部稳定性5.2李亚普诺夫意义下稳定的一些基本概念5.3李亚普诺夫第二方法的主要定理5.4连续时间线性系统的状态运动稳定判据5.5线性定常系统稳定自由运动衰减性能估计,5.1外部稳定性和内部稳定性,外部稳定性内部稳定性内部稳定性和外部稳定性的关系,系统运动稳定性的分析是控制理论的一个重要组成部分。,稳定性是系统的另一个重要特征。,实际系统必须是稳定的。,外部稳定性：通过输入输出关系来表征。,内部稳定性：基于状态空间描述，零输入下状态运动的响应来表征。,满足一定的条件，内部稳定性和外部稳定性之间存在等价关系。,考虑一个因果系统，如果对应于任意有界的输入，,稳定，简称为BIBO稳定。,即满足条件：,的输入，所对应的输出均是有界的，即成立,则称此因果系统是外部稳定的，又称有界输入有界输出,外部稳定性,所有,BIBO稳定判别准则,结论5.1时变系统,均满足关系式：,应矩阵，则系统为BIBO稳定的充分必要条件是，存在一,个有限正数，使对于一切，的,对于零初始条件的线性时变系统，表为其脉冲响,首先，考虑，即单输入单输出的情况。,证明：分成两步来证明,先证充分性：已知成立，,且任意输入满足,得,那么利用由脉冲响应函数表示输出,由定义知：系统为BIBO稳定。,证必要性：采用反证法，已知系统BIBO稳定,使,定义如下有界输入,从而,表明输出无界，与BIBO稳定相矛盾。,考察由它作用下所产生的输出，易知,设存在某个，,多输入多输出情况,系统输出的分量满足关系式,且有限个有界函数之和仍为有界，基此，利用SISO情形，可证得此结论。,结论5.2定常系统,则系统为BIBO稳定,存在一个有限正数，使的每一个元,对于零初始条件的线性定常系统，令初始时刻，,（真或严格真）的所有极点均具有负实部,为其脉冲响应矩阵，为其传递函数矩阵，,对于线性时变系统,定义5.2内部稳定如果外输入，由时刻t0任意非零初始状态引起的零输入响应,满足关系式：,则称系统在时刻是内部稳定的。,内部稳定,是自治系统状态运动的稳定性。,注:内部稳定等价于李亚普诺夫下渐近稳定。对连续时间线性系统，可根据状态转移矩阵或系数矩阵来判别。结论5.4时变系统内部稳定结论5.5定常系统内部稳定,结论5.6线性定常系统线性定常(自由)系统内部稳定(渐近稳定)的充分必要条件是矩阵A的所有特征值均具有负实部，即,其中为系统的维数。,注:当矩阵A给定后，则可导出其特征多项式,利用劳斯霍尔维茨判据，直接由系数,来判断系统的渐近稳定性。,对连续时间线性时变系统不成立。,内部稳定性和外部稳定性间的关系,结论5.7内部稳定性和外部稳定性关系：设线性定常系统是内部稳定的，则其必是BIBO稳定。,结论5.8内部稳定性和外部稳定性关系：线性定常系统是BIBO稳定的（外部稳定），不能保证系统是内部稳定即渐近稳定。,结论5.9内部稳定性和外部稳定性关系：如果线性定常系统为联合完全能控和完全能观测的，则系统内部稳定当且仅当系统外部稳定。,李亚普诺夫第一方法和第二方法自由系统、平衡点和受扰运动李亚普诺夫意义下的稳定渐近稳定不稳定,5.2李亚普诺夫意义下运动稳定性的一些基本概念,李亚普诺夫第一方法和第二方法,李亚普诺夫第一方法：又称李亚普诺夫间接方法基本思想：在小范围内将非线性自治系统作一次线性化近似，根据线性化系统的稳定性推断非线性系统的稳定性特征值在复平面上的分布。特征值均具有负实部系统在邻域内稳定；包含正实部的特征根系统在邻域内部稳定；除负实部特征根外还包含零实部特征根进一步分析判断。李亚普诺夫第一方法是经典控制理论中稳定性讨论的基础。,李亚普诺夫第一方法和第二方法,李亚普诺夫第二方法：又称李亚普诺夫直接方法基本思想：引入李亚普诺夫函数（广义能量函数），根据全导数的符号判断系统的稳定性。根据系统的结构判断内部稳定的方法。特点：直观、严谨，是目前分析非线性系统稳定性的主要方法。,自由系统、平衡态、受扰运动,没有外部输入作用的系统。,受扰运动,动态系统的受扰运动定义为其自由系统由初始状态引起的一类状态运动，即状态的零输入响应。,自由系统,由初始状态所引起的运动又常记为：,注：1）若，则原点为系统的一个平衡状态。,则称为系统的一个平衡状态（平衡点）。,平衡状态,如果存在某个状态，使成立,2）平衡点（态）可通过解方程求得：,通过坐标平移可将平衡点转换为空间的原点。,3）平衡点不惟一，孤立平衡点（主要研究情形）,都存在一个实数，使得由满足不等式,为李亚普诺夫意义下是稳定的，如果对任给的实数，,李亚普诺夫意义下的稳定,设为系统的一个孤立平衡状态，则称在时刻,的任一初态出发的受扰运动都满足不等式：,定义5.6李亚普诺夫意义下的稳定,注：1）几何含义：,如果只依赖于而和初始时刻无关，则称是一,致稳定的。,定常系统：稳定等价于一致稳定。,时变系统：稳定一致稳定。,（1）是李氏意义下稳定的；,渐近稳定,一个孤立平衡状态称为渐近稳定的，如果：,注：2）一致稳定：,存在实数，使得满足：,（2）对和任意给定的实数，对应地,的任一初态出发的受扰,运动都同时满足不等式：,注:1)几何意义(随时间变化渐近性:x-t),注2)一致渐近稳定,若在定义中,均与初始时刻无关,则称平衡点一致渐近稳定。,李氏意义下的渐近稳定=工程意义下的稳定,对于定常系统(线性、非线性)：一致渐近稳定等价于渐近稳定,注3)渐近稳定工程意义,运动都是渐近稳定的，则称其平衡点大范围稳定。,大范围渐近稳定,如果以状态空间的任一非零点为初始状态的受扰,大范围渐近稳定，除了原点平衡状态外，不存在其它,大范围渐近稳定又称为全局渐近稳定。,孤立平衡点。,小范围渐近稳定为局部渐近稳定（其最大区域,线性系统渐近稳定=大范围渐近稳定。,称为平衡状态的吸引域(区)）,相应的实数，使得由满足不等式：,不稳定,如果对于不管取多么大的有限实数，都不可能找到,的任一初态出发的运动满足不等式,则称平衡状态在时刻是不稳定的。,取得多么大，取得如何小，必存在一个非零,点使得由出发的运动轨线越出,5.3李亚普诺夫第二方法的主要定理大范围渐近稳定的判别定理小范围渐近稳定的判别定理李亚普诺夫意义下稳定的判别定理不稳定的判别定理,分析稳定性原非线性系统的稳定性。,第一法，间接法：运动方程一次近似的线性化方程,其一次导数的定号性分析稳定性。,第二法，直接法：运动方程构造函数分析它和,其中，对一切成立，即状态空间的原点,大范围渐近稳定的判别定理,连续非线性时变自治系统,为系统的平衡状态。,结论5.10大范围一致渐近稳定判别定理主稳定性定理,如果存在一个对和具有连续一阶偏导数的标量函数,且满足如下的条件：,（1）正定且有界，即两个连续的非减标量函数,和，其中和，,使对一切和一切成立:,（2）对时间的导数负定且有界，,即存在一个连续的非减标量函数，其中,使对一切和一切成立:,（3）当时，有即，,则系统原点平衡状态为大范围一致渐近稳定。,注1）：定理可适用于线性和非线性系统、时变和定常。,注2）:直观含义：为正定有界，将其看成是一种“广义能量”，,而为能量随时间的变化率，而变化率是负的，,则运动必是有界的，并最终返回到原点平衡状态.,注3）：满足定理条件的，称为李亚普诺夫函数。,注4）：判断系统的渐进稳定性，就归结为对给定系统构造李亚普诺夫函数；注5）：此判据只是保证自治系统为大范围一致渐进稳定的一个充分条件。,结论5.11定常系统的大范围渐近稳定判别定理,考虑上述定常系统，如果存在一个具有连续一阶偏导的标量,函数，并且对状态空间中的一切非零状态点,满足如下的条件：,（1）为正定；,（2）为负定；,（3）当时，有,则系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定。,例：给定连续时间的定常系统：,易知，和为其唯一的平衡状态。,现取为状态的一个二次型函数,即,为正定。,且当时，,此系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。,为负定。,结论5.12定常系统的大范围渐近稳定判别定理,定常系统，如果存在一个具有连续一阶偏导的标量函数,，并且对状态空间中的一切非,零状态点满足如下的条件：,（1）为正定；,（2）为负半定；,（4）当时，有,则系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定。,放宽条件：全导数负定全导数半负定,（3）对任意,例5.2：,小范围内渐近稳定的判别定理,结论5.13小范围渐近稳定,结论5.14小范围渐近稳定,结论5.15小范围渐近稳定,李亚普诺夫意义下稳定的判别定理,结论5.16时变系统稳定的判别定理,一个吸引区，使对一切和一切，满足,对于时变系统，如果存在一个对和具有连续一阶偏,导数的标量函数和围绕原点的,（1）正定且有界；,如下的条件：,（2）为负半定且有界,则系统原点平衡状态x=0为内一致稳定。,结论5.17定常系统稳定的判别定理,对一切和一切，满足如下的条件：,对于定常系统，如果存在一个具有连续一阶偏导的标量函数,，和围绕原点的一个吸引区，使,（1）为正定；,（2）为负半定，,则系统原点平衡状态为内稳定。,不稳定的判别定理,满足如下的条件：,对上述时变非线性系统，如果存在一个具有连续一阶偏,导的标量函数和围绕原点的一个吸引,区，使得对一切和一切,结论5.18不稳定判别定理（充分条件）,（1）正定且有界；,（2）也为正定且有界，,则系统平衡状态为不稳定。,和为同号时，系统的受扰运动轨线,将发散。,满足条件：,对上述时不变非线性系统，如果存在一个具有连续一阶偏,导的标量函数和围绕原点的一个吸引域,使得对一切和一切,结论5.19不稳定判别定理（充分条件）,（1）正定；,（2）也为正定,则系统的平衡状态为不稳定。,线性时不变系统的稳定判据线性时变系统的稳定判据,5.4连续时间线性系统的状态运动稳定性判据,结论5.22：特征值判据,条件为：A的所有特征值均具有非正（负或零）实部，,且具有零实部的特征值为A的最小多项式的单根。,系统的平衡点x=0是在李亚普诺夫意义稳定的充分必要,线性时不变系统的稳定判据,若是矩阵A的特征多项式，则,即也是A的化零多项式。,在矩阵A的所有化零多项式中，首项系数为1，且次,数最低的称为A的最小多项式。,注：,结论5.23：特征值判据,系统平衡态x=0是渐近稳定的充分必要条件为,A的所有特征值均具有负实部。,线性定常系统的零平衡状态为渐近稳定的充分必,结论5.24：李亚普诺夫判据,要条件是:对任给一个正定对称矩阵，如下形式的,李亚普诺夫矩阵方程：,有唯一正定(对称)解阵。,证明：先证充分性。设对任意正定阵Q存在正定解阵P.下证必要性。已知原点渐近稳定，任给正定矩阵Q，证存在唯一正定解阵P.,注：在实际应用中，正定矩阵Q应尽可能选取简单，如单位阵或对角阵。,考虑线性定常系统，矩阵A的所有特征值位于左半平面，,结论5.25：李亚普诺夫判据的推广形式,即,的充分必要条件是：对任意给定的一个正定对称矩阵，,如下的推广形式的李亚普诺夫方程：,有唯一正定矩阵解。,结论5.26：状态转移矩阵判据,（1）系统的原点平衡状态在时刻是李亚普诺夫意义下稳,平衡状态。,考虑线性时变系统,线性时变系统的稳定性判据,定的充分必要条件是：存在一个依赖于的实数，,使得,若存在不依赖于的常数上式成立，则零平衡点是李,其中为系统的状态转移矩阵。进一步，,氏意义下的一致稳定的。,（2）系统的唯一平衡状态在时刻是渐近稳定的充分,必要条件是：存在依赖于的实数，使得,进一步，,在区间上为一致渐近稳定的充分必要条,件，是存在不依赖于的正数和使得,所有成立：,线性时变系统，为其唯一的平衡状态，的元均,结论528：李亚普诺夫判据,为分段连续的一致有界的实函数。则原点平衡状态为一致渐,近稳定的充分必要条件，是对任意给定的一个实对称、一致,有界和一致正定的时变矩阵，即存在正实数，,成立,如下形式的Lyapunov方程,有实对称、一致有界和一致正定的矩阵解，即,存在正实数，使成立：,衰减系数计算最小衰减系数的关系式自由运动衰减快慢的估计,5.5线性定常系统稳定自由运动的衰减性能估计,趋向原点平衡状态的收敛快慢作出估计。,线性定常系统，利用李氏判据可判断其原点平衡状态是否,这种估计不必求出自由运动的解。,为渐近稳定，还可对稳定的自由运动，即,一种间接估计稳定自由运动的衰减性能。,衰减系数,度量自由运动衰减性能,原点为唯一的渐近稳定平衡状态，其自由运动,考虑线性定常自由系统,定义5.9衰减系数,的衰减系数定义为如下正实数：,其中，V(x)是系统的一个Lyapunov函数。,随之衰减到零。,1）物理上，运动的收敛趋向于，相应的能量也,2）初始能量小，衰减速率大，收敛就快。,反之收敛得就愈慢。,3）一般情况下，衰减系数应为状态的函数，即,4）考虑到衰减系数为状态的函数，为计算方便常采用最小衰减系数作为反映衰减快慢的一个指标。,注：,计算的关系式,线性定常系统，渐近稳定时，对任给的正定对称矩阵,Lyapunov方程：,有唯一正定解阵。,定义5.10最小衰减系数,渐近稳定的线性定常系统，最小衰减系数定义（规范）为：,几何含义：为状态空间中单位球面,上的极小值。,对上述线性定常系统，对给定的正定矩阵和相应Lyapunov方程的解阵，则最小衰减系数可表示为,其中，表示矩阵的最小特征值。,结论5.29计算最小衰减系数,证明：略,自由运动衰减快慢估计,结论5.30V(x)衰减估计,证明：,结论