09 等腰三角形1教师初一培优

1 / 5 第九讲 等腰三角形（1） 1. 等腰三角形性质与判定： （1） 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） ； （2） 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。 （等角对等边） （3） 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 （三线合一） 等腰三角形两个底角的平分线相等；等腰三角形两腰上的高及中线相等。 2. 等边三角形的判定 （1） 三个角都相等的三角形是等边三角形。 （2） 有一个角是 60 的等腰三角形是等边三角形。 3. 对称性 等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线，底边上的中线或底边上的高所在的 直线。 注意： 等腰三角形的顶角可能是锐角、钝角或直角。 等腰三角形的底角是锐角。 等腰三角形的顶角平分线、底边中线和底边的高线互相重合。 2 / 5 【例题1】（1）如果等腰三角形的两个角的度数比为1:4，那么顶角的度数是多少？ 答： 。或 00 12020 （2） 如果等腰三角形的两条边的长度比为1:4， 且周长为cm27， 那么这个三角形的腰长是多少？ 答： .12cm （3）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是 0 50，则这个等腰三角形的底角是多少度？ 答： 。或 00 7020 （4）等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成了 cm12 和 cm21 两部分，则这个等腰三 角形的底边长是多少？ 答： cm5 【例题2】若一个等腰三角形的两个内角分别为(22)x、(35)x， 求这个等腰三角形各内角的度数 答案：52 ，52 ，76 或 67 ，67 ，46 或 172 ，4 ，4 【例题3】如图，ABC是等边三角形，BD 是 AC 边上的中线，延长 BC 到 E，使 CE=CD。 试说明BDE是等腰三角形。 【例题4】如图，已知四边形 ABCD 是正方形，PAD是等边三角形，求BPC 的度数。 提示：由题意知ABP是等腰三角形， 且BAP=90+60=150，故APB=15， 同理可知CPD=15,而在等边PAD 中APD=60 3 / 5 所以BPC=30. 【例题5】如图，在ABC 中，ACBC，CD 为 AB 边上的中线，点 E 为 BC 边上一点，EFAB，垂 足为 F，试说明ACDBEF的理由 答案：ACBC，CD 为 AB 边上的中线，ACDBCD，CDAB，又 EFAB，CDEF，BEFBCD，ACDBEF 【例题6】如图，在ABC 中，ABAC，D、E 分别在 BC、AC 上，且ADEB，ADDE，求 证：ADBDEC 答案：ADCADEEDCBBAD ，ADEB， EDCBAD， ABAC，BC，又ADDE，ADBDEC 【例题7】如图，ABC中， AB=AC， AEBC， 垂足为 E， 在 BC 上取 CD=CA， 连结 AD， 若 AD=DB， 求DAE 的度数。 【例题8】如图，已知ABC中，AB=AC，AD=AE， 30BAD，求EDC的度数。 解法二：设ABC=x，CDE=y，则ACB=ABC=x，ADE=AED=x+y，则有 xxy302，解得y 15，即EDC15 4 / 5 【例题9】如图，点 O 是ABC的ABC和ACB的角平分线的交点，OEAB，交 BC 于点 E， OFAC 交 BC 于点 F，若 BC=8cm，求OEF的周长。 答案：8cm。 提示：由 OEAB，及 OB 平分ABC知，2OECABCOBE 而OECOBEBOE,所以OBEBOE，则 OE=BE. 同理可知 OF=FC。所以OEF的周长为 OE+EF+OF=BE+EF+FC=BC=8cm. 【例题10】在等腰ABC中，底边 BC 上有任意一点 P，试证明点 P 到两腰的距离之和等于定长。 若点 P 在 BC 的延长线上，你又有何发现？试画出图形，说出结论。 【例题11】如图，在ABC 中，ABAC，90BAC，D 为 BC 边上一点，ECBC，ECBD， DFEF，说明 AFDE 的理由 答案：ABDACE（S.A.S），ADAE，DFEF，AFDE F E D P C B A F E D P C B A 5 / 5 【作业1】 如图， 在ABC中， 46A， BE=BD， CF=CD， 求EDF 的大小。 【作业2】 如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 45 ，那么这个三角形的底角为 _ 答案：67.5 或 22.5 【作业3】 填空： （1）如图，在ABC 中，ABAC，且 D、E、F 分别为边 BC、AB、AC 上的点，且 BDEBDCCF如果40EDF，那么A _ （2）如图，在ABC 中，ABAC，DFBC 于 D，DEAB 于 E如果158AFD，那么 EDF_ （3）如图，已知点 B、D、F 在 AN 上，点 C、E 在 AG 上，且ABBCCD，ECEDEF如