05 二次函数应用1教师2015暑假 初三数学培优进度二

1 / 11 第五讲 二次函数的应用（1） 【二次函数与利润最大化】 【例题1】 某宾馆有 50 个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天 180 元时，房间会全部住 满当每个房间每天的房价每增加 10 元时，就会有一个房间空闲宾馆需对游客居住的每 个房间每天支出 20 元的各种费用根据规定，每个房间每天的房价不得高于 340 元设每 个房间的房价每天增加x元（x为 10 的正整数倍） 设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围； 设宾馆一天的利润为W元，求W与x的函数关系式； 一天订住多少个房间，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？ 【例题2】 某化工材料经销公司购进了一种化工原料共 7000kg，购进价格为 30kg元，物价部门 规定其销售单价不得高于 70kg元，也不得低于 30kg元，市场调查发现:单价定于 70 元 时，日均销售 60kg，单价每降低 1 元，日均多售出 2kg，在销售过程每天还要支出其它费用 500 元， （不足一天时，按整天计算） ，设销售单价为x元，日均获利为y元， 求y关于x的二次函数关系式，并注明x的取值范围 将（1）中所求出的二次函数配方成 2 2 4 24 bacb ya x aa 的形式，指出单价定为多少时日均 获利最多，是多少？ 2 / 11 将这种化工原料全部售出，比较日均获利最多和销售单价最高，这两种销售方式，哪一种获总利 最多，多多少？ 【例题3】 某商场将进价为 2000 元的冰箱以 2400 元售出，平均每天能售出 8 台，为了配合国家” 家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施调查表明：这种冰箱的售价每降低 50 元，平均每天就能多售出 4 台 假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润y元，请写出y与x之间的函数关系式； 商场要想在这种冰箱销售中每天盈利 4800 元， 同时又要使百姓得到实惠， 每台冰箱应降价多少元？ 每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？ 3 / 11 【例题4】 已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图所示 请说明图中、两段函数图象的实际意义 写出批发该种水果的资金金额 w（元）与批发量 m（kg）之间的函数关系式；在下图的坐标系中画 出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果 经调查， 某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图所示， 该经销商拟每日 售出 60kg 以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当 日获得的利润最大 批发量（kg） 批发单价（元） O 60 20 4 5 7 6 40 80 零售价（元） 最高日销量（kg） O 4 / 11 【例题5】 某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价 y（元）与月份 x 之间 满足函数关系502600yx，去年的月销售量 p（万台）与月份 x 之间成一次函数关系， 其中两个月的销售情况如下表： 月份 1 月 5 月 销售量 3.9 万台 4.3 万台 （1） 求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大？最大是多少？ （2） 由于受国际金融危机的影响，今年 1、2 月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年 12 月份 下降了%m，且每月的销售量都比去年 12 月份下降了 1.5m%国家实施”家电下乡”政策，即对农 村家庭购买新的家电产品，国家按该产品售价的 13%给予财政补贴受此政策的影响，今年 3 至 5 月份， 该厂家销往农村的这种电视机在保持今年 2 月份的售价不变的情况下， 平均每月的销售量 比今年 2 月份增加了 1.5 万台 若今年 3 至 5 月份国家对这种电视机的销售共给予了财政补贴 936 万元，求m的值（保留一位小数） （参考数据：345.831，355.916，376.083，386.164） 【例题6】 某镇地理环境偏僻，严重制约经济发展，花木产品只能在本市销售，镇政府对该花木产 品每投资x万元，所获利润为 2 1 (30)10 50 Px 万元为了响应我国西部大开发的宏伟决 策，镇政府在制定经济发展的 10 年规划时，拟开发此花木产品，而开发前后可用于该项目 投资的专项资金每年最多50万元若开发该产品，在前5年中，必须每年从专项资金中拿出 25万元投资修通一条公路，5 年修通后，花木产品除在本地销售外，还可运往外地销售，运 往外地销售的花木产品，每投资x万元可获利润 2 49194 (50)(50)308 505 Qxx 万元 若不进行开发，求10年所获利润的最大值是多少？ 若按此规划进行开发，求10年所获得利润的最大值是多少？ 根据、计算的结果，请你用一句话谈谈你的看法 5 / 11 【二次函数与面积最大化】 【例题7】 张大爷要围成一个矩形花圃 花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为 32 米的篱笆恰 好围成围成的花圃是如图所示的矩形ABCD设AB边的长为x米矩形ABCD的面积为S 平方米 （1） 求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围） （2） 当x为何值时，S有最大值？并求出最大值 【例题8】 如图所示，有长 24 米的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度为 10 米） ，围成中间隔有一道 篱笆的长方形花圃设花圃的边AB长为x，花圃的面积为S米 2 （1） 请求出S与x的函数关系式 （2） 按照题中要求，所围的花圃面积能否是 48 2 m若能，求出的x值；若不能，请说明理由 6 / 11 【例题9】 如图，E、F分别是边长为4的正方形ABCD的边BCCD，上的点， 4 1 3 CECF，直线EF交AB的延长线于G，过线段FG上的一个动点H作HMAG， HNAD，垂足分别为MN，设HMx，矩形AMHN的面积为y （1） 求y与x之间的函数关系式； （2） 当 x 为何值时，矩形 AMHN 的面积最大，最大面积为多少？ N M H G F E DC B A 7 / 11 【作业1】 某商场试销一种成本为每件 60 元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获 利不得高于 45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数ykxb，且 65x 时，55y ；75x 时，45y （1） 求一次函数ykxb的表达式； （2） 若该商场获得利润为W元， 试写出利润W与销售单价x之间的关系式； 销售单价定为多少元时， 商场可获得最大利润，最大利润是多少元？ （3） 若该商场获得利润不低于 500 元，试确定销售单价x的范围 【作业2】 已知某种商品去年售价为每件a元，可售出b件今年涨价x成（1 成=10%） ，则售出的 数量减少x成（m是正常数） 试问： （1） 如果涨价 1.25 成价格，营业额将达到 2 1 4 abm m ，求m； （2） 如果适当的涨价，能使营业额增加，求m应在什么范围内？ 8 / 11 【作业3】 如图，矩形 ABCD 的两边长 AB=18cm，AD=4cm，点 P、Q 分别从 A、B 同时出发，P 在 边 AB 上沿 AB 方向以每秒 2cm 的速度匀速运动，Q 在边 BC 上沿 BC 方向以每秒 1cm 的速度匀速 运动设运动时间为 x 秒，PBQ 的面积为 y（cm2）. （1）求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围； （2）求PBQ 的面积的最大值. 解：（1） SPBQ= 2 1 PBBQ， PB=AB-AP=18-2x， BQ=x， y= 2 1 （18-2x）x，即 y=-x2+9x（0x4） ； （2）由（1）知：y=-x2+9x，y=-(x- 2 9 ）2 + 4 81 ， 当 0x 2 9 时，y 随 x 的增大而增大， 而 0x4， 当 x=4 时，y最大值=20，即PBQ 的最大面积是 20cm2. 9 / 11 1. 如图，已知抛物线经过点 A（-1，0） 、B（3，0） 、C（0，3）D 三点 （1）求抛物线的解析式 （2）点 M 是线段 BC 上的点（不与 B，C 重合） ，过 M 作 MNy轴交抛物线于 N 若点 M 的横坐标为 m，请用m的代数式表示 MN 的长 （3）在（2）的条件下，连接 NB、NC，是否存在点m，使BNC 的面积最大？若存在，求m的值， 若不存在，说明理由点的纵坐标 解： （1）设抛物线方程为：0 2 acbxaxy， 把 A（-1，0） 、B（3，0） 、C（0，3）D 三点代入方程得 0339 03 ba ba ， 3 2 1 c b a ， 32 2 xxy （2）设直线 BC:0kbkxy 把 B（3，0） 、C（0，3）代入得 3 03 b bk ， 3 1 b k ，3- xyAB：直线.3,-mmM 又32, 2 mmmNxMN轴， 303 ) 3() 32( 2 2 mmm mmmMN （3）OBMNSSS MNBCMNBNC 2 1 ，当MN最大时，BNC 的面积最大. 4 9 2 3 4 9 ) 4 9 3(3 2 22 mmmmmMN， 所以当 2 3 m时，BNC 的面积最大为： 8 27 3 4 9 2 1 . 10 / 11 2. 如图，抛物线 2 yaxbxc(a0）代入双曲线解析式得 m=1 抛物线 2 yaxbxc过点 A（2，2） 、B（1，4） 、O（0，0） 422 4 0 abc abc c 解得 1 3 0 a b c 抛物线的解析式为 y= x23x （2）抛物线的解析式为 y= x23x 11 / 11 顶点 E 3 9 (, ) 2 4 ，对称轴为 x= 3 2 B（1，4） x23x=4 解得 x1=1，x2= 4 C（4，4） SABC=56 1 2 =15 由 A、B 两点坐标为（2，2） ， （1，4）可求得直线 AB 的解析式为：y= 2x2 设抛物线对称轴与 AB 交于点 F，则 F 点坐标为（ 3 2 ，1）