01 实数1教师2016寒假 初一数学自招进度三VIP

1 / 9 第一讲 实数 1 【实数】 1无理数的概念无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数 注意： （1）所有开方开不尽的方根都是无理数，不是所有带根号的数都是无理数 （2）圆周率及一些含的数是无理数 （3）不循环的无限小数是无理数 （4）有理数可化为分数，而无理数则不能化为分数 2无理数的性质无理数的性质：设 a 为有理数，b 为无理数，则 a+b，a-b 是无理数； 3实数的概念实数的概念：有理数和无理数统称为实数 实数的分类： 0 正整数 整数 负整数有理数有限小数或无限循环小数 正分数实数 分数 负分数 正无理数 无理数无限不循环小数 负无理数 4实数的性质实数的性质： （1）任何实数 a，都有一个相反数-a （2）任何非 0 实数 a，都有倒数 1 a （3）正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0 （4）正实数大于 0，负实数小于 0；两个正实数，绝对值大的数大，两个负实数，绝对值大的反而小 5实数与数轴上的点一一对应实数与数轴上的点一一对应： 即数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示，反过来，每个实数都可以在数轴上找到表示它的点 2 / 9 6无理数的无理数的判定方法判定方法 方法：反证法假设数 a 为有理数，则 a 可以表示为既约分数 p a q 的形式，即paq，,1p q 再 根据整数的有关性质去构造矛盾 例：证明2是无理数 假设：2是有理数，那么可以得到2 a b ，其中 a、b 为互素的整数，且0b ； 平方： 2 2 a b ，则 22 2ab，即 a 为 2 的倍数； 再设2am，其中 m 为整数，即2 2 22mb，即 22 2bm，即 b 为 2 的倍数； 矛盾：与题设 a、b 互素矛盾因此2是无理数 7无理数无理数的性质一则的性质一则 设 a、b 为有理数，为无理数，则0ab当且仅当0ab 【平方根、算术平方根】 1平方根平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根 也就是说，若 2 xa，则x就叫做a的平方根 一个非负数a的平方根可用符号表示为“a” 2算术平方根算术平方根：一个正数a有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做a的算术平方根，可用 符号表示为“a”；0有一个平方根，就是0，0的算术平方根也是0，负数没有平方根，当然也没有 算术平方根 （负数的平方根在实数域内不存在，具体内容高中将进学习研究） 一个非负数的平方根不一定是非负数，但它的算术平方根一定是非负数，即若0a ，则0a 3平方根的计算平方根的计算：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方 开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个数是 不是另一个数的平方根或算术平方根 3 / 9 【实数】 【例1】 判断正误 （1）实数是由正实数和负实数组成 （ ） （2）0 属于正实数 （ ） （3）数轴上的点和实数是一一对应的 （ ） （4）如果一个数的立方等于它本身，那么这个数是1 （ ） （5）若2x 则2x （ ） （6）2是近似值，无法在数轴上表示准确 （7）无理数都是无限不循环小数 （8）带根号的数都是无理数 （6）； （7）； （8） 【例2】 下列实数 31 7 ，3.14159，8， 3 27， 2 1中无理数有（ ） A个 B个 C个 D个 答案：A 【例3】 已知等腰三角形一边长为a，一边长b，且 22 (2)90abb求它的周长 【例4】 仿照“2是无理数”的证明方法，求证：3是无理数 证明：略 2345 4 / 9 【平方根】 【例5】 判断题： （1）a一定是正数 ( ) （2） 2 a的算术平方根是a ( ) （3）若 2 ()6a，则6a ( ) （4）若 2 64x ，则648x ( ) （5）64的平方根是8 ( ) （6）若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等 ( ) （7）如果一个数的平方根存在，那么必有两个，且互为相反数 ( ) （8） 2 a没有平方根 ( ) （9）如果两个非负数相等，那么他们各自的算术平方根也相等 ( ) 【例6】 x 为何值时，下列各式有意义？ （1）2x； （2） 2 x； （3）2x ； （4） x ； （5） 1 1x ； （6）11 2xx ； 【例7】 求下列各式的值 （1）2 36 （2）4925 （3）0.090.64 （4） 4 0.81 169 （5） 22 2921 （6） 11 0.64625 45 【例8】 求下列各式中 x 的值 （1） 2 9x ； （2） 2 2500 x （3） 2 1 (51)30 3 x （4） 2 (100.2 )0.64x 5 / 9 【例9】 如果3ab与22ab互为相反数，求27()ab的值 【例10】 已知4 942 492baa，求 11 ab 的平方根 【例11】 已知 x，y，z 满足 2 11 4412()0 52 xyyzz，求()xz y的值 【例12】 写出符合条件的数 （1）小于2 5的所有正整数； （2）绝对值小于2 2的所有整数 答案： （1）1、2、3、4； （2）012、 、 【例13】 一个底为正方形的水池的容积是 3150m3，池深 14m，求这个水底的底边长 解：设底边长为 x 米，则 2 143150 x ， 2 225x ， 12 15,15xx 舍。 【例14】 已知 a 是11的整数部分，b 是它的小数部分，求 32 ()(3)ab的值 【例15】 设75 的小数部分为 a，75 的小数部分为 b，求bab5 的值 分析： . 27373)5(5 ,73275275 , 27775775 abbab b a ，则的整数部分为 ，则的整数部分为 6 / 9 【例16】 已知 x、y 是有理数，且 3252 275 2xy，求 x 和 y 的值 解：1,2xy 【例17】 估计77的大小应在（ ） A78 之间 B8.08.5之间 C8.59.0之间 D910 之间 答案：C 【例18】 实数2.6，7和2 2的大小关系是 （ ） A2.62 27 B2.672 2 C72.62 2 D72 22.6 答案：B 【例19】 已知a b，为两个连续整数，且10ab，则ab_ 答案：7 【例20】 若01b则 2 b，b，b， 1 b 这四个数有下列关系（ ） A. 2 bb b 1 b B. 2 bb 1 b b C. 1 b bb 2 b D. b 1 b 2 bb 7 / 9 【练习 1】下列说法正确是（ ） A有理数都是实数 B实数都是有理数 C带根号的数都是无理数 D无理数包含0 答案：A 【练习 2】下列命题中，真命题是（ ） A 2 2011的平方根是 2011 B64的平方根是8 C366 D若 22 ab，则 22 ab 答案：D 【练习 3】有一个数值转换器原理如图所示，则当输入x为36时，输出的y是（ ） A6 B6 C3 D3 2 答案：B 【练习 4】数轴上，有一个半径为 1 个单位长度的圆上的一点 A 与原点重合，该圆从原点向正方向滚 动一周，这时点 A 与数轴上一点重合，这点表示的实数是 【练习 5】 2 56 的相反数是 ；倒数是 ；绝对值是 是无理数 输出y 是有理数 取算术平方根输入x 8 / 9