复变函数 2.3初等多值解析函数ppt课件

第三节初等多值解析函数,2.3.1根式函数,2.3.2对数函数,2.3.3一般幂函数与一般指数函数,2.3.4具有多个有限支点的情形,2.3.5反三角函数和反双曲函数,2.3.6小结与思考,.,2,定义2.8(单叶函数）设函数f(z)在区域D内有定义,且对D内任意不同的两点z1及z2都有f(z1)f(z2),则称函数f(z)在D内是单叶的.并且称区域D为f(z)的单叶性区域.显然,区域D到区域G的单叶满变换w=f(z)就是D到G的一一变换.f(z)=z2不是C上的单叶函数.f(z)=z3是C上的单叶函数,.,3,2.3.0幂函数的变换性质及其单叶性区域,设有幂函数:w=zn令z=rei,w=ei,则：w=znei=rnein=rn,=n于是得到幂函数有如下的变换性质：,z平面,w平面,射线=0,射线=n0,圆周r=r0,圆周=r0n,.,4,W=zn,z平面,w平面,射线=0,射线=n0,圆周r=r0,圆周=r0n,0,n0,角域00,射线0n0,),),),.,5,从原点起沿负实轴剪开的w平面,G0,z平面,w平面,W=zn,角域00,角域01)单叶性区域是顶点在原点，张度不超过2/n的角形区域,的角形域,但张角变成为原来的n倍.,是幂函数的单叶性区域的一种分法,总之：,把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点,.,7,2.3.1根式函数,定义2.9若z=wn,则称w为z的n次根式函数，记为：,i.e.根式函数,为幂函数z=wn的反函数.,(1)根式函数的多值性.,.,8,(2)分出根式函数的单值解析分支.,1)产生多值的原因.,产生多值的原因是:当z取定后，其辐角不固定，可以连续改变2的整数倍，对应的函数值连续改变到下一个值,.,9,2)解决的办法.,限制z的辐角的变换，使其辐角的该变量argz2,理论上的的做法：,从原点O起到点任意引一条射线将z平面割破，该直线称为割线，在割破了的平面(构成以此割线为边界的区域，记为G)上，argz2，从而可将其转化为单值函数来研究,常用的做法：,从原点起沿着负实轴将z平面割破：,z,G,.,10,结论：,从原点起沿着负实轴将z平面割破,即可将根式函数:,分成如下的n个单值函数：,定义域为,wk在Gk上解析,且,.,11,G1,3,G0,-,-,T0,T1,T2,G2,3,5,.,12,2.3.2对数函数,1.定义,说明：,w=Lnz是指数函数ew=z的反函数,Lnz一般不能写成lnz,2.计算公式及多值性说明：,.,13,由于Argz的多值性导致w=Lnz是一个具有无穷多值的多值函数,规定：,为对数函数Lnz的主值,于是：,z的主辐角,.,14,特殊地,.,15,例4,解,注意:在实对数函数中,零和负数无对数,这一点在复对数函数中不再成立.,.,16,例5,解,.,17,例6,解,.,18,.,19,2.性质,.,20,证(3),证毕,.,21,(3)(4)错了,例：,错了，同志哥！,决不会相等！,原因,Bernoulli悖论,Lnz是集合记号，应该理解为两个集合相加,A=0,1A+A=0,1,22A=0,2A+A2A,.,22,3.分出w=Lnz的单值解析分支,从原点起沿着负实轴将z平面割破，就可将,对数函数w=Lnz分成如下n个单值解析分支：,定义域为,wk在Gk上解析,且,.,23,2.3.3一般幂函数与一般指函数,1.一般幂函数,称为z的一般幂数函数,2.一般指数函数,称为z的一般指数函数,都是多值函数，适当割破z平面，都可转化为单值函数,.,24,注意:,1.一般幂函数,称为z的一般幂数函数,.,25,.,26,特殊情况:,.,27,.,28,例7,解,答案,课堂练习,.,29,例8,解,.,30,2.幂函数的解析性,它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,.,31,它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,.,32,2.3.4反三角函数和反双曲函数,1.反三角函数的定义,两端取对数得,.,33,同样可以定义反正弦函数和反正切函数,重复以上步骤,可以得到它们的表达式:,2.反双曲函数的定义,.,34,例14,解,.,35,2.3.6小结