平面及其方程18824PPT课件

.,1,第七节平面及其方程,一、平面的点法式方程,1.法向量:,若一非零向量n垂直于一平面.则称向量n为平面的法向量.,注:1对平面,法向量n不唯一;,2平面的法向量n与上任一向量垂直.,.,2,2.平面的点法式方程,设平面过定点M0(x0,y0,z0),且有法向量n=A,B,C.,得:,A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0,称方程(1)为平面的点法式方程.,(1),.,3,例1:求过点(2,3,0)且以n=1,2,3为法向量的平面的方程.,解:根据平面的点法式方程(1),可得平面方程为:,1(x2)2(y+3)+3(z0)=0,即:x2y+3z8=0,.,4,解:先找出该平面的法向量n.,=14i+9jk,例2:求过三点M1(2,1,4),M2(1,3,2)和M3(0,2,3)的平面的方程.,所以,所求平面的方程为:,14(x2)+9(y+3)(z4)=0,即:14x+9yz15=0,.,5,二、平面的一般方程,证:A,B,C不能全为0,不妨设A0,则方程可以化为,它表示过定点,且法向量为n=A,B,C的平面.,注：一次方程:Ax+By+Cz+D=0(2),称为平面的一般方程.,.,6,例2:已知平面过点M0(1,2,3),且平行于平面2x3y+4z1=0,求其方程.,解:所求平面与已知平面有相同的法向量n=23,4,2(x+1)3(y2)+4(z3)=0,即:2x3y+4z4=0,.,7,2.平面方程的几种特殊情形,(1)过原点的平面方程,由于O(0,0,0)满足方程,所以D=0.于是,过原点的平面方程为:,Ax+By+Cz=0,.,8,(2)平行于坐标轴的方程,考虑平行于x轴的平面Ax+By+Cz+D=0,它的法向量n=A,B,C与x轴上的单位向量i=1,0,0垂直,所以,ni=A1+B0+C0=A=0,于是:,平行于x轴的平面方程是By+Cz+D=0;,平行于y轴的平面方程是Ax+Cz+D=0;,平行于z轴的平面方程是Ax+By+D=0.,特别:D=0时,平面过坐标轴.,.,9,(3)平行于坐标面的平面方程,平行于xOy面的平面方程是Cz+D=0;,平行于xOz面的平面方程是By+D=0;,平行于yOz面的平面方程是Ax+D=0.,.,10,例3:求通过x轴和点(4,3,1)的平面方程.,解:由于平面过x轴,所以A=D=0.,设所求平面的方程是By+Cz=0,又点(4,3,1)在平面上,所以,3BC=0,C=3B,所求平面方程为By3Bz=0,即:y3z=0,.,11,例4:设平面与x,y,z轴的交点依次为P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)三点,求这平面的方程.,解:设所求平面的方程为,Ax+By+Cz+D=0,因P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)三点都在这平面上,于是,aA+D=0bB+D=0cC+D=0,解得:,.,12,所求平面的方程为:,即:,(3),.,13,三、两平面的夹角,1.定义:两平面的法向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角.,若已知两平面方程是:,1:A1x+B1y+C1z+D1=0,法向量n1=A1,B1,C1,2:A2x+B2y+C2z+D2=0,法向量n2=A2,B2,C2,.,14,所以,.,15,2.平面1与2相互垂直A1A2+B1B2+C1C2=0,平面1与2相互平行,规定:若比例式中某个分母为0,则相应的分子也为0.,.,16,例6:一平面通过两点M1(1,1,1)和M2(0,1,1),且垂直于平面x+y+z=0,求它的方程.,解:设所求平面的一个法向量n=A,B,C,已知平面x+y+z=0的法向量n1=1,1,1,于是:,A(1)+B0+C(2)=0A1+B1+C1=0,.,17,解得:,B=CA=2C,取C=1,得平面的一个法向量,n=2,1,1,所以,所求平面方程是,2(x1)+1(y1)+1(z1)=0,即:2xyz=0,.,18,例:设P0(x0,y0,z0)是平面Ax+By+Cz+D=0外一点,求P0到这平面的距离d.,解:在平面上任取一点P1(x1,y1,z1),P0,P1,N,n,过P0点作一法向量n=A,B,C,于是:,.,19,又A(x0x1)+B(y0y1)+C(z0z1),=Ax0+By0+Cz0+D(Ax1+