平面的基本性质.ppt

平静的水面,1.2.1平面的基本性质与推论,复习回顾：,初中几何中点和直线的基本性质：连接两点的线中，线段最短；过两点有一条直线，并且只有一条直线探索：几何中的点，直线都是抽象概念，我们通过观察，想象来探讨几何平面的概念及性质。,同学们看到的平静的水面给了我们以平面的形象.和点、直线一样,平面也是从现实世界中抽象出来的几何概念.,问题:那我们怎样来认识和表示一个平面呢?,桌面,黑板面,平静的水面,平面的形象,几何里的平面是无限延展的.,平面的概念,平面的画法,我们常常把水平的平面画成一个平行四边形，用平行四边形表示平面,平行四边形的锐角通常画成45，且横边长等于其邻边长的2倍,被遮挡部分用虚线表示,平面的画法,为了增强立体感，常常把被遮挡部分用虚线画出来,平面的表示,平面,常把希腊字母、等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面、平面等；也可以用代表平面的四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称,A,点与平面的位置关系,平面内有无数个点，平面可以看成点的集合点在平面内和点在平面外都可以用元素与集合的属于、不属于关系来表示,如果直线l与平面有一个公共点P，直线l是否在平面内？,思考,平面公理,实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边缘上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上,思考,平面公理,如果直线l与平面有两个公共点，直线l是否在平面内？,文字语言,图形语言,符号语言,m,B,A,.,.,作用？,平面公理,在生产、生活中，人们经过长期观察与实践，总结出关于平面的一些基本性质，我们把它作为公理这些公理是进一步推理的基础,基本性质1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内,判定直线是否在平面内,A,l,点A在直线l上,点A在直线l外,直线l在平面外,直线l在平面内,平面经过直线l,图形、文字、符号,用手指头将一本书平衡地摆放在空间某一位置，至少需要几个手指头？,思考：,这些手指需要满足什么条件？,基本性质2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面,存在性,唯一性,确定平面的主要依据,平面公理,不在一条直线上的三个点A、B、C所确定的平面，可以记成“平面ABC”,文字语言,图形语言,符号语言,作用？,把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？,B,思考,平面公理,把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？,思考,平面公理,基本性质3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线,判断两个平面相交的依据,判断点在直线上,平面公理,文字语言,图形语言,符号语言,作用？,1.如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系,（1）,（2）,解：在（1）中，,在（2）中，,随堂练习,D,随堂练习,3.用符号表示：点A在直线L上,L在平面外,是.,，,4.在正方体中，判断下列命题是否正确，并说明理由：,直线在平面内；,错误,随堂练习,在正方体中，判断下列命题是否正确，并说明理由：,(2)由点A，O，C可以确定一个平面；,错误,随堂练习,5、在正方体中，判断下列命题是否正确，并说明理由：,(1)由确定的平面是；,(2)由确定的平面与由确定的平面是同一个平面,正确,正确,随堂练习,基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.,基本性质3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.,基本性质2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.,平面的基本性质,想一想？,过一条直线L和直线外一点A的平面有几个?,不共线的三点确定一个平面,基本性质2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.,推论1:经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面.,分析：先在直线上任取两点,，这样,三点就能确定一个平面，再证明在这个平面内,平面的基本性质的推论,推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面.,推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.,推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.,基本性质2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.,不共线的三点确定一个平面,右图是一张倒置的课桌，你能用所学的知识检查一下桌子的四条腿是否在同一个平面内？,随堂练习,有三个公共点的两个平面重合梯形的四个顶点在同一个平面内三条互相平行的直线必共面四条线段顺次首尾连接，构成平面图形,2、下列命题正确的是,A、两条直线可以确定一个平面B、一条直线和一个点可以确定一个平面C、空间不同的三点可以确定一个平面D、两条相交直线可以确定一个平面,随堂练习,例1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内。(如图),已知：ABAC=A，ABBC=B，ACBC=C,求证：直线AB，BC，AC共面,典型例题,证法二:因为A直线BC上，所以过点A和直线BC确定平面.(推论1)因为A，BBC，所以B.故AB，同理AC，所以AB，AC，BC共面.,证法三:因为A，B，C三点不在一条直线上，所以过A，B，C三点可以确定平面.(公理3)因为A，B，所以AB.(公理1)同理BC，AC，所以AB，BC，CA三直线共面.,分析：因为直线与点可以确定平面所以只需证明,都在平面内,随堂练习,例如图，在长方体中，为棱的中点，画出由，三点所确定的平面与长方体表面的交线,分析：因为点既在平面内又在平面内，所以点P在平面与平面AB1的交线上.同理,点A1在平面与平面AB1的交线上,因此,PA1就是平面与平面AB1的交线.,作法:连结A1P,PC1,A1C1,它们就是平面与长方体表面的交线.,典型例题,1.不共面的四点可以确定个平面,2.三条直线两两相交，它们能确定个平面,1或,随堂练习,共面与异面直线,例1如图，平面ABEF记作，平面ABCD记作，根据图形填写：（1）A，B，E，C，D；（2）A，B，C，D，E，F；（3）=；,AB,例2如图中ABC，若AB、BC在平面内，判断AC是否在平面内？,解：AB在平面内，A点一定在平面内，又BC在平面内，C点一定在平面内，(点A、点C都在平面内，)直线AC在平面内（公理1）.,例3（1）不共面的四点可以确定几个平面？（2）三条直线两两平行，但不共面，它们可以确定几个平面？（3）共点的三条直线可以确定几个平面？,4个,3个,1个或3个,例4如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为CC1和AA1上的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线.,解：在平面AA1D1D内，延长D1F，D1F与DA不平行，因此D1F与DA必相交于一点，设为P，,又D1F平面BED1F，P在平面BED1F内.,则PD1F，PDA，,AD平面ABCD，P平面ABCD，,又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点，连结PB，PB即为平面BED1F与平面ABCD的交线.,例5.如图所示，已知ABC的三个顶点都不在平面内，它的三边AB、BC、AC延长线后分别交平面于点P、Q、R，求证：点P、Q、R在同一条直线上.,证明：由已知AB的延长线交平面于点P，根据公理3，平面ABC与平面必相交于一条直线，设为l，,P直线AB，P面ABC，又直线AB面=P，P面.,P是面ABC与面的公共点，,面ABC面=l，Pl，,同理，Ql，Rl，,点P、Q、R在同一条直线l上.,知识小结,平面的基本性质、推论及应用(共点、共线、共面）,经过不共线三点,确定平面的条件：,