2014年高考(四川卷)文科数学

2014年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)文科数学第卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1(2014四川，文1)已知集合Ax|(x1)(x2)0，集合B为整数集，则AB()A1,0 B0,1C2，1,0,1 D1,0,1,2答案：D解析：Ax|(x1)(x2)0x|1x2，ABAZx|1x2Z1,0,1,2，故选D.2(2014四川，文2)在“世界读书日”前夕，为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析在这个问题中，5 000名居民的阅读时间的全体是()A总体 B个体C样本的容量 D从总体中抽取的一个样本答案：A解析：由题意知，5 000名居民的阅读时间是总体，200名居民的阅读时间为一个样本；每个居民的阅读时间为个体；200为样本容量；故选A.3(2014四川，文3)为了得到函数ysin(x1)的图象，只需把函数ysin x的图象上所有的点()A向左平行移动1个单位长度B向右平行移动1个单位长度C向左平行移动个单位长度D向右平行移动个单位长度答案：A解析：根据图象的变换规律“左加右减”知，选A.4(2014四川，文4)某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是（锥体体积公式：，其中S为底面面积，h为高）()A3 B2 C D1答案：D解析：由俯视图知该三棱锥的底面积，由侧视图知该三棱锥的高.所以，故选D.5(2014四川，文5)若ab0，cd0，则一定有()A BC D答案：B解析：ab0，cd0，cd0，acbd，即acbd.又dc0，即，故选B.6(2014四川，文6)执行如图的程序框图，如果输入的x，yR，那么输出的S的最大值为()A0 B1 C2 D3答案：C解析：记.由程序框图知，当(x，y)M时，S2xy；当(x，y)M时，S1.如图，画出集合M表示的可行域(阴影部分)移动直线l0：y2x.由图可知，当直线l0过点A(1,0)时，目标函数S2xy取得最大值，此时Smax2102.所以，当(x，y)M时，S的最大值为21，所以输出的S的最大值为2.故选C.7(2014四川，文7)已知b0，log5ba，lg bc,5d10，则下列等式一定成立的是()Adac BacdCcad Ddac答案：B解析：由log5ba，得；由5d10，得dlog510，又lg bc，所以cda.故选B.8(2014四川，文8)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于()A BC D答案：C解析：如图，作ADBC，垂足为D.由题意，得DC60tan 60 (m)，DB60tan 1560tan(4530).所以，故选C.9(2014四川，文9)设mR，过定点A的动直线xmy0和过定点B的动直线mxym30交于点P(x，y)，则|PA|PB|的取值范围是()A BC D答案：B解析：由题意，得A(0,0)，B(1,3)，因为1mm(1)0，所以两直线垂直，所以点P在以AB为直径的圆上，所以PAPB.所以|PA|2|PB|2|AB|210，设ABP，则.因为|PA|0，|PB|0，所以.所以，故选B.10(2014四川，文10)已知F为抛物线y2x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，(其中O为坐标原点)，则ABO与AFO面积之和的最小值是()A2 B3 C D答案：B解析：设AB所在直线方程为xmyt.由消去x，得y2myt0.设，(不妨令y10，y20)，故，y1y2t.而.解得y1y22或y1y21(舍去)所以t2，即t2.所以直线AB过定点M(2,0)而SABOSAMOSBMO，故SABOSAFO.由，得SABOSAFO的最小值为3，故选B.第卷(非选择题共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11(2014四川，文11)双曲线的离心率等于_答案：解析：，a24，b21，c2a2b25，a2，.12(2014四川，文12)复数_.答案：2i解析：.13(2014四川，文13)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x1,1)时，f(x)则_.答案：1解析：f(x)的周期为2，.又当x1,0)时，f(x)4x22，.14(2014四川，文14)平面向量a(1,2)，b(4,2)，cmab(mR)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m_.答案：2解析：a(1,2)，b(4,2)，cmab(m4,2m2)又c与a的夹角等于c与b的夹角，cosc，acosc，b，即，10m168m20，m2.15(2014四川，文15)以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数(x)组成的集合：对于函数(x)，存在一个正数M，使得函数(x)的值域包含于区间M，M例如，当1(x)x3，2(x)sin x时，1(x)A，2(x)B.现有如下命题：设函数f(x)的定义域为D，则“f(x)A”的充要条件是“bR，aD，f(a)b”；若函数f(x)B，则f(x)有最大值和最小值；若函数f(x)，g(x)的定义域相同，且f(x)A，g(x)B，则f(x)g(x)B；若函数f(x)aln(x2)(x2，aR)有最大值，则f(x)B.其中的真命题有_(写出所有真命题的序号)答案：解析：对于，若对任意的bR，都aD使得f(a)b，则f(x)的值域必为R.反之，f(x)的值域为R，则对任意的bR，都aD使得f(a)b，故正确对于，比如对，但它无最大值也无最小值对于，f(x)A，f(x)(，)g(x)B，存在正数M使得Mg(x)M，故f(x)g(x)(，)，正确对于，当a0或a0时，aln x(，)，f(x)均无最大值，若f(x)有最大值，则a0，此时，f(x)B，故正确三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16(本小题满分12分)(2014四川，文16)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足abc”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率分析：(1)利用列举法分别求出基本事件空间和所求事件包含的基本事件，然后代入古典概型公式求解；注意该题抽取方式为有放回地抽取，故a，b，c可取相同的数字；(2)因为a，b，c不完全相同包含的基本事件较多，故可转化为其对立事件“a，b，c相同”的概率求解解：(1)由题意，(a，b，c)所有的可能为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种设“抽取的卡片上的数字满足abc”为事件A，则事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种所以.因此，“抽取的卡片上的数字满足abc”的概率为.(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种所以.因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.17(本小题满分12分)(2014四川，文17)已知函数.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若是第二象限角，求cos sin 的值分析：(1)利用换元法，将视为整体t，即可将其转化为ysin t的单调增区间，然后解不等式即得；(2)首先代入，然后化简等式，根据sin cos 是否为0进行分类讨论，即可求得cos sin 的值解：(1)因为函数ysin x的单调递增区间为，kZ，由，kZ，得，kZ，所以，函数f(x)的单调递增区间为，kZ.(2)由已知，有，所以，即sin cos (cos sin )2(sin cos )当sin cos 0时，由是第二象限角，知，kZ.此时，.当sin cos 0时，有(cos sin )2.由是第二象限角，知cos sin 0，此时cos sin .综上所述，cos sin 或.18(本小题满分12分)(2014四川，文18)在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形(1)若ACBC，证明：直线BC平面ACC1A1；(2)设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE平面A1MC？请证明你的结论分析：(1)首先利用两个矩形中的垂直关系证明AA1平面ABC，进而得到AA1BC，然后结合已知ACBC即可证得结论；(2)当M为线段AB中点时，取平行四边形ACC1A1的对角线交点O，即可利用中位线的性质构造平行关系证明DE平面A1MC.解：(1)因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形，所以AA1AB，AA1AC.因为AB，AC为平面ABC内两条相交直线，所以AA1平面ABC.因为直线BC平面ABC，所以AA1BC.又由已知，ACBC，AA1，AC为平面ACC1A1内两条相交直线，所以BC平面ACC1A1.(2)取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点由已知，O为AC1的中点连接MD，OE，则MD，OE分别为ABC，ACC1的中位线所以，MDAC，OEAC，因此MDOE.连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，则DEMO.因为直线DE平面A1MC，MO平面A1MC，所以直线DE平面A1MC.即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE平面A1MC.19(本小题满分12分)(2014四川，文19)设等差数列an的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)2x的图象上(nN*)(1)证明：数列bn为等比数列；(2)若a11，函数f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为，求数列的前n项和Sn.分析：(1)利用点(an，bn)在函数图象上建立an与bn的关系式，然后利用等差数列和等比数列的定义证明结论；(2)先利用导数几何意义求出函数f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线方程，根据已知截距求出a2的值，从而求出数列的通项公式，然后根据通项的结构特征利用错位相减法求和(1)证明：由已知，bn0.当n1时，.所以，数列bn是首项为，公比为2d的等比数列(2)解：函数f(x)2x在(a2，b2)处的切线方程为y(ln 2)(xa2)，它在x轴上的截距为.由题意，.解得a22.所以，da2a11，ann，bn2n，n4n.于是，Tn14242343(n1)4n1n4n，4Tn142243(n1)4nn4n1.因此，Tn4Tn4424nn4n1.所以，.20(本小题满分13分)(2014四川，文20)已知椭圆C：(ab0)的左焦点为F(2,0)，离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设O为坐标原点，T为直线x3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P，Q.当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积分析：(1)由焦点可求c，然后利用离心率即可求a，再求b，即可求得方程；(2)由题意设T(3，m)，然后利用TFPQ求出PQ的斜率，从而设出直线PQ方程，与椭圆C方程联立后，根据平行四边形OPTQ的性质：对边平行且相等，即可求出m的值，最后将四边形OPTQ的面积转化为OPQ面积的两倍求解解：(1)由已知可得，c2，所以.又由a2b2c2，解得，所以椭圆C的标准方程是.(2)设T点的坐标为(3，m)，则直线TF的斜率.当m0时，直线PQ的斜率，直线PQ的方程是xmy2.当m0时，直线PQ的方程是x2，也符合xmy2的形式设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得消去x，得(m23)y24my20，其判别式16m28(m23)0.所以，x1x2m(y1y2)4.因为四边形OPTQ是平行四边形，所以，即(x1，y1)(3x2，my2)所以解得m1.此时，四边形OPTQ的面积SOPTQ2SOPQ.21(本小题满分14分)(2014四川，文21)已知函数f(x)exax2bx1，其中a，bR，e2.718 28为自然对数的底数(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间0,1上的最小值；(2)若f(1)0，函数f(x)在区间(0,1)内有零点，证明：e2a1.分析：(1)先利用求导求出g(x)的解析式，再求出其导函数g(x)，根据a的不同取值分类讨论g(x)的符号变化，判断其单调性，从而求其最值；(2)先根据已知分析f(x)在(0,1)上的单调性与零点个数，将其转化为g(x)的零点个数，进而利用(1)中的结论判断a的范围及其零点所在区间，结合函数g(x)在区间端点处的函数值及f(1)0即可证得结论解：(1)由f(x)exax2bx1，有g(x)f(x)ex2axb.所以g(x)ex2a.当x0,1时，g(x)12a，e2a当时，g(x)0，所以g(x)在0,1上单调递增，因此g(x)在0,1上的最小值是g(0)1b；当时，g(x)0，所以g(x)