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文档简介
1向量的内积、长度及正交性,一、内积的定义及性质,二、向量的长度及性质,三、正交向量组的概念及求法,四、正交矩阵与正交变换,一、内积定义及性质,1.定义1设有n维向量,令x,y=x1y1+x2y2+xnyn,称x,y为向量x与y的内积(Innerproduct).,说明1.n(n4)维向量的内积是3维向量数量积的推广,但是没有3维向量直观的几何意义,2.若向量x与y均为列向量,内积可用矩阵记法表示为:x,y=xTy.,2.内积的运算性质,(其中x,y,z为n维向量,为实数).,(1)x,y=y,x;,(2)x,y=x,y;,(3)x+y,z=x,z+y,z;,(4)当x=时,x,x=0;,当x时,x,x0.,施瓦茨(Schwarz)不等式:x,y2x,xy,y.,1.定义2令,二、向量的长度及性质,称|x|为n维向量x的长度(或范数).,向量的长度具有下述性质：,(1)非负性:,当x=时,|x|=0;,当x时,|x|0.,(2)齐次性:,|x|=|x|;,(3)三角不等式:,|x+y|x|+|y|;,(4)|x,y|x|y|.,当|x|y|0时,有:,2.当|x|=1时,称x为单位向量.,若,则,为单位向量.,若,称为把向量单位化.,解,(3)当|x|y|0时,称为向量x与y的夹角.,1.当x,y=0时,称向量x与y的正交.,三、正交向量组的概念及求法,有x,y=0,故向量x与y正交.,由定义可知:若x=时,则x与任何向量都正交.,2.若一非零向量组中的向量两两正交,则称该向量组为正交向量组,定理若n维向量1,2,r是正交向量组,则1,2,r线性无关.,证明,定理若n维向量1,2,r是正交向量组,则1,2,r线性无关.,3.正交单位向量组,每个向量都是单位向量的正交向量组.,4.向量空间的正交基,例1已知R3空间中两个向量正交,试求3使1,2,3构成R3的一个正交基.,解题分析:即求3使1,2,3为正交向量组.,解,设3=(x1,x2,x3)T,且与1,2正交,则有,解得：,令x3=1,得:3=(1,0,1)T,则1,2,3构成R3的一个正交基.,5.规范正交基,例如,定义,(标准),同理可知：初始单位向量组,6、求规范正交基的方法,下面介绍施密特正交化方法（Gram-Schmidtorthogonalizationsmethod）,(1)正交化取b1=a1,(2)单位化,例2用施密特正交化方法将向量组正交规范化:,解,取b1=a1=(1,1,1,1)T,单位化得如下规范正交向量组:,例2,解,定义4,四、正交矩阵与正交变换,定理A为正交矩阵的充要条件是A的列向量都是单位向量且两两正交,例5判别下列矩阵是否为正交阵,正交矩阵的性质：,定义若P为正交阵,称线性变换y=Px为正交变换,性质正交变换保持向量的
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