第一章-复数与复变函数

,复变函数、积分变换与场论,1.自我介绍范成贤martin_fa气学院电工理论与新技术研究所,2.课程的性质、任务和目的复变函数、场论与积分变换是高等院校工科本科有关专业的一门基础理论课。本课程旨在使学生初步掌握复变函数、场论与积分变换方面的基本理论和方法，使学生掌握矢量分析与场论方面的有关知识及基本方法，为学好后续专业课程（如电工学、电磁学、电动力学、流体力学、热力学、控制论等）奠定必要的基础，更为学生今后的实际工作及研究生阶段的课题研究储备必须的数学应用能力。,3.课程的主要学习内容复数与复变函数，复变函数的导数，解析函数及其性质，初等复变函数及其解析性，复变函数的积分及其性质，柯西积分公式，复合闭路定理，高阶导数公式、复变函数展开为幂级数、洛朗级数，孤立奇点的分类（包括无穷远点），留数及其在实变函数积分中的应用；数量场的梯度，矢量场的散度与旋度；拉普拉斯变换的概念、性质、计算及基本应用。,4.学习方法认真听课-课后复习-独立完成作业-上好习题课,5.作业要求一定要认真并独立完成作业，有图的一定要画上图，标注要清楚，步骤要详细，字迹要清晰，新的一章上课之前将前一章的作业交上。,参考书1.刘建亚主编,大学数学教程微积分，高等教育出版社。2.复变函数与积分变换学习辅导与习题全解，高等教育出版。3.工程应用数学场论、复变函数、积分变换，南海出版公司。,引言：复数与复变函数论产生的背景,卡丹诺（GirolamoCardano,1501-1576)：在十六世纪中叶(1545年)，意大利数学家卡丹诺在研究一元二次方程x(10-x)=40时引进了复数。,笛卡尔(15961650)：给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔，他在几何学（1637年发表）中使“虚的数”与“实的数”相对应，从此，虚数才流传开来。,欧拉(17071783)：瑞士数学大师欧拉说；“一切形如x2=负数的数学式子都是不可能有的，想象的数，因为它们所表示的是负数的平方根”，它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们纯属虚幻。,复数产生的背景,欧拉在1748年发现了有名的欧拉公式，并且是他在微分公式（1777年）一文中第一次用i来表示-1的平方根，首创了用符号i作为虚数的单位。,高斯(17771855)：德国数学家高斯在1831年，用实数组（a，b）代表复数abi，并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也象实数一样地“代数化”。他又在1832年第一次提出了“复数”这个名词。至此，复数理论才比较完整和系统地建立起来了。,达朗贝尔(17171783)：法国数学家达朗贝尔在1747年指出，如果按照多项式的四则运算规则对虚数进行运算，那么它的结果总是的形式（a、b都是实数）。,为复变函数论作了早期工作的是：欧拉、达朗贝尔与拉普拉斯。,为复变函数论发展作了大量奠基工作的是：法国数学家柯西（1789-1857），德国数学家黎曼(1826-1866)和德国数学家维尔斯特拉斯(1815-1897)。,复变函数的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中平面问题的有力工具。,复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数领域的推广和发展。,自变量为复数的函数就是复变函数,它是本课程的研究对象。由于在中学阶段已经学过复数的概念和复数的运算，第一章将在原有的基础上作简要的复习和补充;然后再介绍复平面上的区域以及复变函数的极限与连续性的概念,为进一步研究解析函数理论和方法奠定必要的基础。,第二节目录上页下页返回结束,第一章复数与复变函数,1.1复数及其运算1.2复平面上的曲线和区域1.3复变函数1.4复变函数的极限和连续性,一、复数的概念,称为Z的共轭复数。,2.共轭复数：,共轭复数的性质：,1.1复数及其运算,二、复数的表示法,1.(复平面上的)点表示-用坐标平面上的点表示。,复数z=x+iy与点(x,y)构成一一对应关系。,2.向量表示：,-复数z的模,-复数z的辐角(argument),记作Arg(z).,任何一个复数z0有无穷多个幅角，将满足-Arg(z)的辐角值称为Arg(z)的主值,记作arg(z)。则Arg(z)=arg(z)+2k(k为任意整数),当z=0时,|z|=0,而幅角不确定；z0时,arg(z)可由下列关系确定:,第二节目录上页下页返回结束,3、三角表示,利用欧拉公式,5、代数表示-,4.指数形式和极坐标形式,例1将下列复数化为三角表示式与指数表示式.,解,1),z在第三象限,因此,因此,第二节目录上页下页返回结束,2)显然,r=|z|=1,又,练习：,写出的辐角和它的指数形式。,解：,第二节目录上页下页返回结束,三、复数的运算,1.加减运算,设,(1)代数形式,(2)平行四边形法则:,2.乘、除运算,(1)代数形式,(2)指数形式,几何上z1z2相当于将z2的模扩大|z1|倍并旋转一个角度Arg(z1).,0,1,第二节目录上页下页返回结束,(3)复数乘法的几何意义,z1+z2=z2+z1;z1z2=z2z1；z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3;z1(z2+z3)=z1z2+z1z3,复数运算满足交换律，结合律和分配律：,第二节目录上页下页返回结束,例2：设,求,解：,3.乘方与开方运算,(1)乘方：,特别的，当z的摸r=1时，可得DeMoivre（棣摩佛）公式：,第二节目录上页下页返回结束,(2)开方:,记为,于是,推得,从而,几何解释：z1/n的n个值就是以原点为中心,r1/n为半径的圆的内接正n边形的n个顶点。,例3求,解因为,所以,第二节目录上页下页返回结束,即,注：四个根是内接于中心在原点半径为21/8的圆的正方形的四个顶点.,第二节目录上页下页返回结束,答疑解惑,答：不能，实数能比较大小，是因为实数是有序的；而复数是无序的，所以不能比较大小。假设复数有大小，其大小关系应与实数中大小关系保持一致，(因为实数是复数的特例)，不妨取0和i加以讨论：,1、复数能否比较大小，为什么？,注：复数的模、实部和虚部都是实数，辐角也是实数，可比较大小。,2、复数可以用向量表示，则复数的运算与向量的运算是否相同？,答：有相同之处，但也有不同之处。,加减和数乘运算相同，乘积运算不同，向量运算有数量积、向量积和混合积，复数则没有；复数运算有乘除及乘幂、方根，但向量没有；乘积运算的几何意义不同。,典型例题,例1、判断下列命题是否正确？,（1）（2）（3）,（）,（）,（）,例2、求下列复数的模与辐角,解：,例3、求满足下列条件的复数z：,1.2复平面上的曲线和区域,一、复平面上的曲线方程,复平面上的曲线方程也可写成两种形式：,整理得：,解：设,解：,二、简单曲线与光滑曲线,3.光滑曲线：若函数f(z)在区间(a,b)内具有一阶连续导数，则其图形为一条处处有切线的曲线，且切线随切点的移动而连续转动，这样的曲线称为光滑曲线。,三、区域,1.区域的概念,平面上以z0为中心,d(任意的正数)为半径的圆:|z-z0|d内部的点的集合称为z0的邻域,而称由不等式00,称为无穷远点的邻域.即它是圆|z|=M的外部且包含无穷远点本身.不包括无穷远点本身的仅满足|z|M的所有点称为无穷远点的去心邻域,也记作M|z|.,第二节目录上页下页返回结束,设G为一平面点集,z0为G中任意一点.如果存在z0的一个邻域,该邻域内的所有点都属于G,则称z0为G的内点.如果G内的每个点都是它的内点,则称G为开集,平面点集D称为一个区域,如果它满足下列两个条件:1)D是一个开集;2)D是连通的。就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连接起来.,设D为复平面内的一个区域,如果点P不属于D,但在P的任意小的邻域内总包含有D中的点,这样的点P称为D的边界点.D的所有边界点组成D的边界.区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的.,第二节目录上页下页返回结束,区域D与它的边界一起构成闭区域或闭域,记作D.如果一个区域可以被包含在一个以原点为中心的圆里面,即存在正数M,使区域D的每个点z都满足|z|M,则称D为有界的,否则称为无界的.,2.单连通域与多连通域,第二节目录上页下页返回结束,简单闭曲线：起点与终点重合的简单曲线。,简单闭曲线的特点：任意一条简单闭曲线C把整个复平面分成三个互不相交的点集,其中除去C外,一个是有界区域,称为C的内部,另一个是无界区域,称为C的外部,C为它们的公共边界.,如图所示：,定义复平面上的一个区域B,如果在其中任作一条简单闭曲线,而曲线的内部总属于B,就称为单连通域,一个区域如果不是单连通域,就称为多连通域.,第二节目录上页下页返回结束,1.3复变函数,1.复变函数的定义,定义设D是复平面中的一个点集,称为复变函数.,u,v是自变量为x和y的两个二元实变函数。,例如,考察函数w=z2.令z=x+iy,w=u+iv,则u+iv=(x+iy)2=x2-y2+i2xy,因而w=z2对应于两个二元函数:u=x2-y2,v=2xy,第二节目录上页下页返回结束,2、复变函数w=f(z)与实函数的关系,讨论一个复变函数,研究两个实二元函数,3、复变函数的单值性讨论,在以后的讨论中,如无特别声明,所讨论的函数均为单值函数.,在G内一个z对应一个（或多个）w，称为单值或多值函数。,由此得到：,例：判断下列复变函数是单值函数还是多值函数。,4.映射的概念,函数w=f(z)在几何上可以看做是把z平面上的一个点集D(定义集合)变到w平面上的一个点集G(函数值集合)的映射(或变换).如果D中的点z被映射w=f(z)映射成G中的点w,则w称为z的象(映象),而z称为w的原象.,x,u,D,G,Z,z,w,W=f(z),v,y,W,特别的，如果函数(映射)w=f(z)与它的反函数(逆映射)z=j(w)都是单值的,则称函数(映射)w=f(z)是一一的.此时,我们也称集合D与集合G是一一对应的.,例1设函数w=z=xiy;u=x,v=-y,x,y,O,u,v,O,第二节目录上页下页返回结束,例2设函数w=z2=(x+iy)2=x2-y2+i2xy,有u=x2-y2,v=2xy,举例：曲线在映射下的像,例3,例4,例5,例6,第二节目录上页下页返回结束,答案：v1/2,1.4复变函数的极限和连续性,则称A为f(z)当z趋向于z0时的极限,记作,或记作当zz0时,f(z)A.,一、函数的极限,|f(z)-A|e,第二节目录上页下页返回结束,几何意义:,第二节目录上页下页返回结束,定理1.4.1,设f(z)=u(x,y)+iv(x,y),A=u0+iv0,z0=x0+iy0,则,证明：,即,第二节目录上页下页返回结束,即,第二节目录上页下页返回结束,定理1.4.2,第二节目录上页下页返回结束,例1：计算,解：,第二节目录上页下页返回结束,证明：令z=x+iy,则,由此得,让z沿直线y=kx趋于零,我们有,故极限不存在.,第二节目录上页下页返回结束,3.定理1.4.4,目录上页下页返回结束,二、复变函数的连续性,2.定理1.4.