实变函数论第14讲依测度收敛

第14讲依测度收敛,目的：理解依测度收敛概念，掌握Lebesgue定理与Riesz定理。重点与难点：Lebesgue定理与Riesz定理及其证明。,第14讲依测度收敛,基本内容：一依测度收敛定义鲁津定理实际是说，任意可测函数都可以用连续函数在某种意义下逼近。我们可以将定理2改述成：若是E上的可测函数，则对任意，存在上的连续函数，使得,第14讲依测度收敛,注意到所以对任意n，有进一步，对任意，有取，则存在上的连续函数，使,第14讲依测度收敛,得这种收敛性与前面的几乎处处收敛概念不同的。我们称它为依测度收敛，具体说来即下面的。定义2设E是可测集，都是E上几乎处处有限的可测函数，如,第14讲依测度收敛,果对于任意，都有则称在E上依测度收敛到，记作下面的定理说明：几乎处处收敛蕴含依测度收敛。,第14讲依测度收敛,二Lebesgue定理（1）Lebesgue定理的叙述定理4（lebesgue定理）设E是测度有限的可测集，是E上几乎处处有限的可测函数，若则必有,第14讲依测度收敛,证明：由叶果洛夫定理，对任意，存在E的可测子集，使得且在上一致收敛到，于是对任意，存在，当时，有于是，任,第14讲依测度收敛,意，从而由的任意性立得。证毕。问题1：Lebesgue定理中E为有限测度集的条件可否去掉？为什么？,第14讲依测度收敛,问题2：Lebesgue定理的逆是否成立？举例说明。（3）反例定理4的逆一般是不对的，即依测度收敛不一定意味着几乎处处收敛，下面的例子说明了这一点。,第14讲依测度收敛,例设，对任意正整数k，将区间k等分，并定义令,第14讲依测度收敛,于是是E上的处处有限的可测函数。对任意，若则显然有若，则当是第k次等分区间后所对应的函,第14讲依测度收敛,数组中第i个函数时有所以注意到当时，做这说明。然而，对任意,第14讲依测度收敛,总有无穷多个函数在该点等于1，也有无穷多个函数在该点等于0，所以在上处处不收敛于0。虽然几乎处处收敛强于依测度收敛，但我们可以从依测度收敛的函数序列中找一个几乎处处收敛的子序列。这就是著名的黎斯（Riesz）定理。,第14讲依测度收敛,三Riesz定理（1）Riesz定理的叙述*定理5（Riesz定理）设是E上的可测函数，如果，则存在子序列，使得（2）Riesz定理的证明,第14讲依测度收敛,证明：首先设。注意到对任何可测函数序列，它不收敛到某个函数的点集是因此我们只要找到的一个子序列使得,第14讲依测度收敛,即可。这等价于说对任意的k，有对每个k，由，知故对任意i及k存在，当时，有,第14讲依测度收敛,特别地由于此处都是任意的，所以在上述不等式中可以取，即如果必要，还可以使满足,第14讲依测度收敛,于是对任意的k，只要，就有，从而这说明,第14讲依测度收敛,因此进而,第14讲依测度收敛,所以下设，令则是测度有限的可测集，且对任意。由前面的证明，对，存在的子序列，使,第14讲依测度收敛,，当然在每个上仍有。同理可从中取子列，使，依此类推，由归纳法可作出一串子序列，任得对任意m，是的子序列，且。令,第14讲依测度收敛,则显然仍是的子序列。记则，且对任意，存在M，使得时，于是，显然当时，是,第14讲依测度收敛,的子序列，故也有，即。证毕。问题3：一个依测度收敛的函数列是否有唯一的极限？如果极限不唯一，这些极限有什么关系？,第14讲依测度收敛,三依测度收敛函数列极限的唯一性下面的定理说明：依测度收敛的可测函数序列在几乎处处相等意义下有唯一的极限。,第14讲依测度收敛,定理6设是E上的可测函数，若，且，则证明：因为所以对任意正整数k，有,第14讲依测度收敛,但因,第14讲依测度收敛,所以由于故换言之，证毕作业：P7821，22,第14讲依测度收敛,习题三1、设f是E上的可测函数，证明：对任意实数a，是可测集。2、设f是E上的函数，证明：f在E上可测当且仅当对一切有理数r，是可测集。,第14讲依测度收敛,3、设f是R1上的可测函数，证明：对任意常数a，仍是R1上的可测函数。4、设是E上的可测函数，证明：在E上也可测。5、若a,b上的函数在任意线段上可测，试证它在整个闭区间a,b上也可测。,第14讲依测度收敛,6、设f是R1上的可测函数，证明：（当时，规定）都是R1上的可测函数。7、设f是E上的可测函数，证明：（i）对R1上的任何开集O，f-1(O)是可测集；（ii）对R1上的任何闭集F，f-1(F)是可测集；,第14讲依测度收敛,（iii）对R1上的任何型集或型集M，f-1(M)是可测集。8、设是E上几乎处处有限的非负可测函数，证明对任意存在闭集，使，而在F上，有界。,第14讲依测度收敛,9、设是E上的非负可测函数序列.证明：如果对任意，都有则必有10、证明：如果是Rn上的连续函数，则在Rn的任何可测子集E上都可测。11、证明：如果是Rn上的可微函数，,第14讲依测度收敛,证明都是Rn上的可测函数。12、设是E上的两个可测函数序列，且都是E上的有限函数），证明：（i）对任意实数，若，则还有,第14讲依测度收敛,（ii）若,且在E上几乎处处不等于0，则（iii）13、设是E上的可测函数，则当且f是有限函数，对任意，,第14讲依测度收敛,有(i)(ii)对E上任意可测函数h，有14、设f是a,b上的函数，则f可测当且仅当下列几个条件之一成立。,第14讲依测度收敛,（i）存在多项式序列，在a,b上，（ii）若，存在三角多项式序列，在上15、设f是R1上的可测函数，且在某个点to处连续，若对任意有,第14讲依测度收敛,证明必有常数c，使得。16、Egoroff定理中的条件能否去掉？17、设，是E上几乎处处有限的可测函数序列，若，,第14讲依测度收敛,试证存在E的可测子集列使，且，而在每个上，都一致收敛到0。18、证明任意有