实变函数论课件20讲

第20讲Lebesgue积分的极限定理(续)、可测矩形,目的：掌握Vitali定理，并能熟练运用。熟悉乘积空间中的可测矩形概念。重点与难点：Vitali定理及其证明。,基本内容：一.Vitali定理问题1：Lebesgue控制收敛定理中的控制函数起什么作用？为什么要这个控制函数？问题2：能否用类似的条件取代控制函数？,第20讲Lebesgue积分的极限定理(续)、可测矩形,第20讲Lebesgue积分的极限定理(续)、可测矩形,从Lebesgue控制收敛定理定理的证明可以看出，之所以需要一个可积的控制函数，是为了使得函数序列在测度充分小的集合上的积分可以由某个可积函数在该集合上的积分控制，进而其积分的绝对连续性相对于n具有某种“一致连续性”条件来替代，这种一致连续性即下面的,第20讲Lebesgue积分的极限定理(续)、可测矩形,(1)等度绝对连续函数簇,设E是可测集，F是E上一簇可积函数，如果对任意，存在仅与有关的，使得当时，对一切都有，则称F是E上的积分等度绝对连续的函数簇。,第20讲Lebesgue积分的极限定理(续)、可测矩形,如果F是定义中的函数簇，即对任意，存在，只要，对任意都有，若记则也有，从而,第20讲Lebesgue积分的极限定理(续)、可测矩形,所以,由于是任意的，故也是任意的，因此，定义中的不等式可以换成,第20讲Lebesgue积分的极限定理(续)、可测矩形,(2)Vitali定理的叙述,设是E上积分等度绝对连续的函数序列，在E上，则f(x)在E上可积，且,第20讲Lebesgue积分的极限定理(续)、可测矩形,(3)Vitali定理的证明,由(ii)，对每一正整数i，可取，使时，。(1),第20讲Lebesgue积分的极限定理(续)、可测矩形,令,利用(iii)选取正整数Ni，使时，由于，,第20讲Lebesgue积分的极限定理(续)、可测矩形,所以时，从而,第20讲Lebesgue积分的极限定理(续)、可测矩形,由Riesz定理，有f(x)的子序列，使，不妨设，于是。令，,第20讲Lebesgue积分的极限定理(续)、可测矩形,则f(x)是E上的非负可测函数，且。由Lebesgue基本定理知,第20讲Lebesgue积分的极限定理(续)、可测矩形,可知F(x)在E上可积，从而f(x)也在E上可积。设是任给的正数，则由积分的绝对连续性知存在，使时，于是。(2),第20讲Lebesgue积分的极限定理(续)、可测矩形,若i充分大，使，则当时，从知，因此由En(i)的定义及(1),(2)两式得,第20讲Lebesgue积分的极限定理(续)、可测矩形,故。证毕。,二乘积空间上的测度(1)可测矩形定义1设A,B是两个集合，A与B的笛卡儿积指的是集合:。,第20讲Lebesgue积分的极限定理(续)、可测矩形,第20讲Lebesgue积分的极限定理(续)、可测矩形,当时，就是欧氏空间。若，则，称为中的矩形。,第20讲Lebesgue积分的极限定理(续)、可测矩形,一个基本的问题是：若均为可测集，是否为中的可测集？如果也可测，那么的Lebesgue测度与A及B的Lebesgue测度是什么关系？下面的定理回答了这个问题。,(2)矩形的可测性,第20讲Lebesgue积分的极限定理(续)、可测矩形,定理1如果都是可测集，则是中的可测集，且当都不为零，有。当至少有一个为零时，也为零。,第20讲Lebesgue积分的极限定理(续)、可测矩形,证明：(1)有界情形,问题3：回忆Rn中可测集的结构？,问题4：如何由Rn中可测集的结构证明Rn+m中矩形的可测性？,第20讲Lebesgue积分的极限定理(续)、可测矩形,(i)如果A,B都是长方体，则AB是中的长方体，显然可测。(ii)如果A,B都为开集，则由第二章2节的引理1知存在两个互不相交的长方体序列，使得,首先假设A与B都有界。,第20讲Lebesgue积分的极限定理(续)、可测矩形,于是,这说明AB也是互不相交的长方体序列的并,它当然可测,且,第20讲Lebesgue积分的极限定理(续)、可测矩形,(iii)如果A,B都是型集,则可以找到两个单调下降的开集序列,使得,于是,第20讲Lebesgue积分的极限定理(续)、可测矩形,注意到每个都可测，故可测，且,第20讲Lebesgue积分的极限定理(续)、可测矩形,(iv)现在假设A,B是一般的有界可测集，则存在型集G及，使，且，于是。由(iii)知可测，且。,第20讲Lebesgue积分的极限定理(续)、可测矩形,注意到,故,第20讲Lebesgue积分的极限定理(续)、可测矩形,我们证明,事实上，故存在型集及，使且。,第20讲Lebesgue积分的极限定理(续)、可测矩形,又由于假设了A,B都有界，所以存在长方体I,J，使，于是,进而,第20讲Lebesgue积分的极限定理(续)、可测矩形,但，因此，这说明均是零测集从而可测。同理可证的外测度也为零从而可测。,第20讲Lebesgue积分的极限定理(续)、可测矩形,综上知AB是可测集，且,第20讲Lebesgue积分的极限定理(续)、可测矩形,最后，假设A,B是无界可测集，则A与B可以写成一些互不相交的有界可测集之并：，从而,(2)无界情形,第20讲Lebesgue积分的极限定理(续)、可测矩形,然而可测，且,于是AB可测，若mA与mB都不为0，则由测度的可数可加性得,第20讲Lebesgue积分的