复变函数论课件

数学物理方法,复变函数论,复变函数论,复数复变函数导数解析函数本章小结,复数,数的扩张（完善化）自然数减法不封闭整数除法不封闭有理数不完备2实数方程可解性复数,复数,复数的表示代数表示z=x+iyx=Real(z),y=Imagine(z)三角表示z=r(cos+isin)r=|z|,=Arg(z)指数表示z=rexp(i)exp(i)=cos+isin,湖南癫痫病医院,复数,几何表示,关系x=rcosy=rsinr=(x2+y2)=Arctan(y/x)特点无序性复数无大小矢量性复数有方向,复数,运算加减法(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2)+i(y1y2)乘除法r1exp(i1)r2exp(i2)=r1r2expi(1+2)幂和开方rexp(i)n=rnexp(in)rexp(i)1/n=r1/nexp(i/n)复共轭z=x+iyz*=xiyz=rexp(i)z*=rexp(-i),西安癫痫病医院,复变函数,概念定义函数：从一个数域(定义域）到另一个数域（值域）的映射实变函数：f:xy复变函数：f:zw举例f(n)=fn=(1+i)n,nNf(z)=znf(z)=exp(z)f(z)=ln(z),复变函数,更多的例子w=az2w=az2+bz+cw=1/(az+b)w=(az+b)w=Ln(az+b)w=sinzw=Arccoszw=anznw=ansin(nz)w=(1-z2/n22)w=exp(-z2)dz,拉萨癫痫病医院,复变函数,复变函数,分析与比较定义域和值域相同点：都是数集不同点：实数集是一维的，可以在(直)线上表示；复数集是二维的，必须在(平)面上表示。典型例子：|x|2是连通的，1|x|是不连通的；|z|2是单连通的，1|z|是复连通的。,复变函数,映射相同点在形式上：y=f(x),w=f(z)不同点在变量上：z=x+iy,w=u+iv在描述上：实变函数可以用两个数轴组成的平面上的曲线表示；复变函数不能用一个图形完全表示。联系u=u(x,y),v=v(x,y)可以用两个曲面分别表示复变函数的实部与虚部。,复变函数,结构相同点：复杂函数都可以分解为简单的基本函数组成。不同点：基本实变函数xn,x1/n,exp(x),ln(x),sin(x),arctan(x)基本复变函数zn,z1/n,exp(z),ln(z)原因cos(z)=(eiz+e-iz)/2,sin(z)=(eiz-e-iz)/2i,复变函数,基本函数二次函数定义w=z2分析u+iv=(x+iy)2=x2+2ixy-y2u=x2-y2,v=2xy性质对称性无周期性无界性单值性,番禺信息资讯网,复变函数,三次函数定义w=z3分析u+iv=(x+iy)3=x3+3ix2y-3xy2-iy3u=x33xy2,v=3x2y-y3性质对称性无周期性无界性单值性,复变函数,指数函数定义w=exp(z)分析u+iv=exp(x+iy)=exp(x)cosy+isinyu=exp(x)cosy,v=exp(x)siny性质不对称性周期性exp(z+2i)=exp(z)无界性单值性,复变函数,对数函数定义w=Ln(z)分析u+iv=Lnrexp(i)=lnr+iu=lnr,v=性质对称性非周期性无界性多值性：|,复变函数,三角函数定义w=sin(z)分析u+iv=sin(x+iy)=sin(x)ch(y)+icos(x)sh(y)u=sin(x)ch(y),v=cos(x)sh(y)性质对称性周期性无界性单值性,复变函数的导数,基本概念,羊羔疯治疗,复变函数的导数,可导条件分析,C-R条件ux=vyvx=-uy充要条件偏导数ux，vy，vx，uy连续满足C-R条件意义可导函数的虚部与实部不是独立的，而是相互紧密联系的。,复变函数的导数,典型情况初等函数在定义域内都可导；函数Re(z),Im(z),|z|,Arg(z),z*不可导。导数的计算法则：复变函数的求导法则与实变函数完全相同；例子：(sin2z)=2sinzcoszexp(z2)=2zexp(z2)(z3)”=6z,复变函数的导数,导数的意义微商表示f(z)=dw/dz模：|f(z)|=|dw|/|dz|幅角：Argf(z)=Arg(dw)-Arg(dz),解析函数,定义点解析函数f(z)在点z0及其邻域上处处可导区域解析函数f(z)在区域B上每一点都解析性质调和性解析函数的实部与虚部都是调和函数，即u=uxx+uyy=0,v=vxx+vyy=0正交性解析函数的实部与虚部梯度正交，即uv=（uxi+uyj)（vxi+vyj)=uxvx+uyvy=0或曲线u(x,y)=C1,v(x,y)=C2相互垂直。,解析函数,应用例1：已知平面电场的电势为u=x2-y2，求电力线方程。分析：等势面与电力线相互正交，对应的函数组成一个解析函数的实部与虚部，满足C-R条件。解：设电力线为v(x,y)=C,由C-R条件得vx=-uy=2y,vy=ux=2xdv=vxdx+vxdy=2ydx+2xdy=d(2xy)v=2xy注意：电力线方程的一般形式为f(2xy)=C,解析函数,例2：已知平面电场的等势线为x2+y2=C，求电势u(x,y)。分析：等势线方程的左边不一定恰好是电势表达式，电势必须有调和性，可看成某个解析函数的实部。解：设电势为u=f(x2+y2)ux=2xf,uxx=2f+4x2f”uy=2yf,uyy=2f+4y2f”uxx+uyy=4f+4(x2+y2)f”=0令t=x2+y2,g=f(t)g+tg=0g=-lnt+Cf=,解析函数,例3：已知平面温度场的温度分布为u=x2-y2，求热流量函数。分析：热流的方向与等温线相互正交，对应的函数组成一个解析函数的实部与虚部，满足C-R条件。解：设热流量函数为v(x,y)=C,由C-R条件得vx=-uy=2y,vy=ux=2xdv=vxdx+vxdy=2ydx+2xdy=d(2xy)v=2xy注意：热流线方程的一般形式为f(2xy)=C,湖北癫痫病医院,本