常微分方程常数变异法

第四章常微分方程,第一节常微分方程的基本概念与分离变量法,第二节一阶线性微分方程,机动目录上页下页返回结束,一、微分方程的基本概念,微分方程：含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程,特别当微分方程中所含的未知函数是一元函数时，时的微分方程就称为常微分方程.,微分方程的阶：微分方程中，所含未知函数的导数的最高阶数定义为该微分方程的阶数,机动目录上页下页返回结束,线性微分方程:当微分方程中所含的未知函数及其各阶导数全是一次幂时，微分方程就称为线性微分方程.,在线性微分方程中，若未知函数及其各阶导数的系数全是常数，则称这样的微分方程为常系数线性微分方程,微分方程的解：如果将函数,代入微分方程后,能使方程成为恒等式，,这个函数就称为该微分方程的解,微分方程的解有两种形式：,常微分方程的通解,微分方程的特解,如果解中包含任意常数，且独立的任意常数的个数与方程的阶数相同，则称这样的解为,不含有任意常数的解，称为,机动目录上页下页返回结束,初始条件：用未知函数及其各阶导数在某个特定点的值作为确定通解中任意常数的条件，称为初始条件,机动目录上页下页返回结束,二、分离变量法,称为可分离变量的方程.,可分离变量方程的特点：,等式右边可以分解成两个函数之积，,其中一个只是的函数，另一个只是的函数,机动目录上页下页返回结束,可分离变量方程的解法：,（1）分离变量：将该方程化为等式一边只含变量，,而另一边只含变量的形式，即,（2）两边积分：,机动目录上页下页返回结束,例2.求微分方程,的通解.,解:分离变量得,两边积分,得,即,(C为任意常数),或,说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、,减解.,(此式含分离变量时丢失的解y=0),机动目录上页下页返回结束,解方程变形为,分离变量得,两边积分得,求积分得,所以,即,(此式含分离变量时丢失的解y=0),机动目录上页下页返回结束,例4.解初值问题,解:分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得C=1,(C为任意常数),故所求特解为,机动目录上页下页返回结束,例5.,成正比,求,解:根据牛顿第二定律列方程,初始条件为,对方程分离变量,然后积分:,得,利用初始条件,得,代入上式后化简,得特解,并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度,降落伞下落速度与时间的函数关系.,t足够大时,机动目录上页下页返回结束,内容小结,1.微分方程的概念,微分方程;,初始条件;,2.可分离变量方程的求解方法:,说明:通解不一定是方程的全部解.,有解,后者是通解,但不包含前一个解.,例如,方程,分离变量后积分;,根据初始条件定常数.,解;,阶;,通解;,特解,y=x及y=C,机动目录上页下页返回结束,找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.,常用的方法:,1)根据几何关系列方程,2)根据物理规律列方程,3)根据微量分析平衡关系列方程,(2)利用反映事物个性的特殊状态确定初始条件.,(3)求通解,并根据初始条件确定特解.,3.解微分方程应用题的方法和步骤,机动目录上页下页返回结束,练习:,解法1分离变量,即,(C0),解法2,故有,积分,(C为任意常数),所求通解:,机动目录上页下页返回结束,引例1.,一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的,解:设所求曲线方程为y=y(x),则有如下关系式:,(C为任意常数),由得C=1,因此所求曲线方程为,由得,切线斜率为2x,求该曲线的方程.,机动目录上页下页返回结束,一、一阶线性微分方程,一阶线性微分方程标准形式:,若Q(x)0,称为非齐次方程.,1.解齐次方程,分离变量,两边积分得,故通解为,称为齐次方程;,机动目录上页下页返回结束,已知函数,对应齐次方程通解,齐次方程通解,非齐次方程特解,2.解非齐次方程,用常数变易法:,则,故原方程的通解,即,即,作变换,两端积分得,机动目录上页下页返回结束,上述求解方法称为常数变易法,用常数变易法求一阶非齐次线性方程的通解的步骤为：,（1）先求出非齐次线性方程所对应的齐次方程的通解,（3）将所设解代入非齐次线性方程,解出,并写出非齐次线性方程的通解.,（2）根据所求出的齐次方程的通解设出非齐次线性方程的解(将所求出的齐次方程的通解中的任意常数C改为待定函数即可).,齐次方程通解,非齐次方程特解,机动目录上页下页返回结束,首先对(1)式所对应的齐次方程求解,方程(2)分离变量得,两边积分得,所以,齐次方程（2）的通解为,机动目录上页下页返回结束,将通解中的任意常数,换成待定函数,即令,为原方程的通解,将其代入原方程得,于是,