师大专升本微分方程第一轮复习课件

第六章微分方程,第一节微分方程的基本概念第二节可分离变量的微分方程第三节齐次方程第四节一阶线性微分方程第五节可降阶的高阶微分方程第六节二阶常系数齐次线性微分方程第七节二阶常系数非齐次线性微分方程复习,第一节微分方程的基本概念,一、问题的提出二、微分方程的定义三、主要问题求方程的解,解,一、问题的提出,微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.,例,实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.,二、微分方程的定义,微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之.,一阶微分方程,高阶(n)微分方程,另一种分类:,未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程。我们只学习常微分方程，有时把常微分方程简称为微分方程。,微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之.,微分方程的解的分类：,三、主要问题-求方程的解,(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.,(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.,初始条件:用来确定任意常数的条件.,初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.,解,所求特解为,练习：P1591,第二节可分离变量的微分方程,可分离变量的微分方程.,1、可分离变量的微分方程的定义,分离变量法,所以,例2求解微分方程,解,分离变量,两端积分,求积分得,练习：求的通解。（2010年考题）,分离变量法步骤:,分离变量;,两端积分-隐式通解.,3、小结,计算上述不定积分，得通解。,看P160例题1，2,练习：P1611（1）（3）2（1）（2）,第三节齐次方程,的微分方程称为齐次方程.,2.解法,作变量代换,代入原式,可分离变量的方程,1.定义,课本P163的定义,解：原方程可化为,分离变量得,代入上式得,两边积分得,从而有,第四节、一阶线性微分方程,即一个微分方程中仅含有未知函数及其各阶导数的一次幂，则称它为线性微分方程。,课本P164-165的定义,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,利用公式法求解,解：(公式法),例2,例3,（2010年考题）,牢记P166页公式（5）（6）,练习：P1681(1)(2)2(1)(2),第五节、可降阶的高阶微分方程,练习：P170第1题（1）（2）,复合函数的求导,解,代入原方程得,原方程通解为,例,第六节二阶常系数齐次线性微分方程,一、二阶常系数线性微分方程解的性质,二阶常系数线性微分方程解的性质,二、二阶常系数齐次线性方程解法,-特征方程法,将其代入上方程,得,故有,特征方程,特征根,有两个不相等的实根,两个线性无关的特解,得齐次方程的通解为,特征根为,有两个相等的实根,一特解为,得齐次方程的通解为,特征根为,有一对共轭复根,重新组合,得齐次方程的通解为,特征根为,见课本P172表格,定义,由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例1,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例2,练习：,所以,所给微分方程的通解为,三、小结,二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:,（1）写出相应的特征方程;（2）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.,(见下表),牢记P172结论,练习：P17423,第七节二阶常系数非齐次线性微分方程,一、二阶常系数非齐次线性微分方程解的性质,二阶常系数非齐次线性微分方程解的性质,二阶常系数非齐次线性方程,对应齐次方程,通解结构,常见类型,难点：如何求特解？,方法：待定系数法.,二、二阶常系数非齐次线性微分方程的求解方法,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入方程,得,原方程通解为,练习:,小结：二阶常系数非齐次线性微分方程解法,二阶常系数非齐次线性方程,解法待定系数法.,代入方程得：,基本概念,一阶方程,类型1.直接积分法2.可分离变量3.齐次方程4.一阶线次微分方程,可降阶方程,线性方程解的结构定理1;定理2定理3;定理4,二阶常系数线性方程解的结构,特征方程的根及其对应项,f(x)的形式及其特解形式,高阶方程,待定系数法,特征方程法,复习：第六章微分方程的主要内容,微分方程解题思路,一阶方程,高阶方程,分离变量法,齐次方程,常数变易法,特征方程法,待定系数法,降阶,作变换,1、基本概念,微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程,微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶,微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解,通解如果微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解,特解确定了通解中的任意常数以后得到的解，叫做微分方程的特解,初始条件用来确定任意常数的条件.,初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题，叫初值问题,(1)可分离变量的微分方程,解法,分离变量法,2、一阶微分方程的解法,(2)齐次方程,解法,作变量代换,(3)一阶线性微分方程,上方程称为齐次的,上方程称为非齐次的.,齐次方程的通解为,（使用分离变量法）,解法,非齐次微分方程的通解为,（公式法或常数变易法）,3、可降阶的高阶微分方程的解法,解法,特点,型,接连积分n次，得通解,型,解法,代入原方程,得,特点,型,解法,代入原方程,得,、线性微分方程解的结构,（1）二阶齐次方程解的结构:,（2）二阶非齐次线性方程的解的结构:,、二阶常系数齐次线性方程解法,n