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,复变函数论,By王建Email:wjmath,多媒体教学课件,第六章留数理论及其应用,第一节留数第二节用留数理论计算实积分第三节辐角原理及其应用,2011年5月13日,第二十一讲,3,第一节留数,1.留数的定义及留数定理,2.留数的求法,3.函数在无穷远点的留数,4,一、留数的定义及留数定理,定义6.1,注1,由Laurent定理,.,5,解,由于,有限可去奇点的留数为零.,注2,6,证明,如图,根据复围线的柯西积分定理3.10，,Cauchy留数定理,定理6.1,C,D,7,注3,留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求,被积函数在C内各孤立奇点处的留数.,二、留数的求法,(一般规则说明),则有如下计算规则,8,法1.应用Laurent展式求,解,由于,9,法2.求n阶极点的一般方法,定理6.2,证明,10,注4,11,推论6.3,推论6.4,12,解,13,定理6.5,证明,14,解,三.利用留数计算周线积分,解,15,由推论6.4,推论6.3得,故由留数定理,16,解,由定理6.5得,17,解法一,应用Laurent展式,18,解法2,19,四、函数在无穷远点的留数,取顺时针方向),注2,注1,定义6.2,20,证明,则由留数定理得,定理6.6,21,注3由定理得,(留数定理),22,计算积分,计算无穷远点的留数.,优点:使计算积分进一步得到简化.,(有时避免了计算诸有限点处的留数),1.,2.,23,注4计算函数在无穷远点处留数的另一公式,证法一,24,于是得到，,计算周线积分的又一种方法:,现取正向简单闭曲线为半径足够大的,正向圆周,证法二,25,于是有,26,证毕,灵活应用定理6.6,将给计算留数和周线积分带来方便.,注5,27,例8,解,被积函数一共有七个奇点,则由留数定理及定理6.6得,28,29,也可以用公式（6.7）来算，注意到,30,解,故可展成Laurent级数,31,32,则,解,33,34,35,作业,P269习题(一
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