复变函数论及其应用1

复变函数的理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中平面问题的有力工具。,复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数领域的推广和发展。,第一章复数与复变函数,1.1复数及其表示法,一对有序实数（）构成一个复数，记为.,自变量为复数的函数就是复变函数,它是本课程的研究对象.由于在中学阶段已经学过复数的概念和复数的运算,本章将在原有的基础上作简要的复习和补充;然后再介绍复平面上的区域以及复变函数的极限与连续性的概念,为进一步研究解析函数理论和方法奠定必要的基础.,x,y分别称为Z的实部和虚部,记作x=Re(Z),y=Im(Z),.,称为Z的共轭复数。,与实数不同,一般说来,任意两个复数不能比较大小.,两个复数相等,他们的实部和虚部都相等,特别地，,1.代数形式:,复数的表示法,1)点表示,2)向量表示,-复数z的辐角(argument),记作Argz=q.,任何一个复数z0有无穷多个幅角,将满足,-pq0p的q0称为Argz的主值,记作q0=argz.则,Argz=q0+2kp=argz+2kp(k为任意整数),0,x,y,x,y,q,z=x+iy,|z|=r,-复数z的模,当z=0时,|z|=0,而幅角不确定.argz可由下列关系确定:,说明：当z在第二象限时，,2.指数形式与三角形式,利用直角坐标与极坐标的关系:x=rcosq,y=rsinq,可以将z表示成三角表示式:,利用欧拉公式eiq=cosq+isinq得指数表示式:,例1将下列复数化为三角表示式与指数表示式.,解,1),z在第三象限,因此,因此,2)显然,r=|z|=1,又,因此,练习：,写出的辐角和它的指数形式。,解：,1.2复数复数的运算,设,z1+z2=z2+z1;z1z2=z2z1;z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3)z1(z2z3)=(z1z2)z3;z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.,复数运算满足交换律,结合律和分配律:,1.四则运算,加减法与平行四边形法则的几何意义:,乘、除法的几何意义:,定理1两个复数乘积的模等于它们的模的乘积,两个复数乘积的幅角等于它们幅角的和.,等式Arg(z1z2)=Argz1+Argz2,的意思是等式的两边都是无限集合,两边的集合相等,即每给定等式左边的一个数,就有等式右边的一个数与之对应,反之亦然.,几何上z1z2相当于将z2的模扩大|z1|倍并旋转一个角度Argz1.,0,1,例2：设,求：,解：,若取,则,若取,则,;,按照乘积的定义,当z10时,有,定理2两个复数的商的模等于它们的模的商,两个复数的商的辐角等于被除数与除数的幅角之差.,2.乘方与开方运算,1）乘方,DeMoivre公式：,2）开方:,若满足，,则称w为z的n次方根，,记为,于是,推得,从而,几何解释：z1/n的n个值就是以原点为中心,r1/n为半径的圆的内接正n边形的n个顶点。,例2求,解因为,所以,即,四个根是内接于中心在原点半径为21/8的圆的正方形的四个顶点.,1.3复数形式的代数方程与平面几何图形,很多平面图形能用复数形式的方程(或不等式)来表示;也可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来确定它所表示的平面图形.,例3将通过两点z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的直线用复数形式的方程来表示.解通过点(x1,y1)与(x2,y2)的直线可用参数方程表示为,因此,它的复数形式的参数方程为,z=z1+t(z2-z1).(-t+),由此得知由z1到z2的直线段的参数方程可以写成z=z1+t(z2-z1).(0t1),取,得知线段,的中点为,例4求下列方程所表示的曲线:,解：,设z=x+iy,方程变为,几何上,该方程表示到点2i和-2的距离相等的点的轨迹,所以方程表示的曲线就是连接点2i和-2的线段的垂直平分线,方程为y=-x,也可用代数的方法求出。,O,x,y,-2,2i,y=-x,设z=x+iy,那末,可得所求曲线的方程为y=-3.,O,y,x,y=-3,1.4复数域的几何模型-复球面,0,N,x1,x2,x3,o,z(x,y),x,y,P(x1,x2,x3),x1,x2,x3,N(0,0,2r),除了复数的平面表示方法外,还可以用球面上的点来表示复数.,对复平面内任一点z,用直线将z与N相连,与球面相交于P点,则球面上除N点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系,而N点本身可代表无穷远点,记作.这样的球面称作复球面.,扩充复数域-引进一个“新”的数:,扩充复平面-引进一个“理想点”:无穷远点.,约定:,1.4区域,1.区域的概念,平面上以z0为中心,d(任意的正数)为半径的圆:|z-z0|d内部的点的集合称为z0的邻域,而称由不等式00,称为无穷远点的邻域.即它是圆|z|=M的外部且包含无穷远点本身.不包括无穷远点本身的仅满足|z|M的所有点称为无穷远点的去心邻域,也记作M|z|.,设G为一平面点集,z0为G中任意一点.如果存在z0的一个邻域,该邻域内的所有点都属于G,则称z0为G的内点.如果G内的每个点都是它的内点,则称G为开集,平面点集D称为一个区域,如果它满足下列两个条件:1)D是一个开集;2)D是连通的。就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连接起来.,设D为复平面内的一个区域,如果点P不属于D,但在P的任意小的邻域内总包含有D中的点,这样的点P称为D的边界点.D的所有边界点组成D的边界.区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的.,区域D与它的边界一起构成闭区域或闭域,记作D.如果一个区域可以被包含在一个以原点为中心的圆里面,即存在正数M,使区域D的每个点z都满足|z|M,则称D为有界的,否则称为无界的.,2.单连通域与多连通域平面曲线在数学上,经常用参数方程来表示各种平面曲线.如果x(t)和y(t)是两个连续的实变函数,则方程组x=x(t),y=y(t),(atb)代表一条平面曲线,称为连续曲线.如果令z(t)=x(t)+iy(t)则此曲线可用一个方程z=z(t)(atb)来代表.这就是平面曲线的复数表示式.,设C:z=z(t)(atb)为一条连续曲线,z(a)与z(b)分别为C的起点与终点.对于满足at1b,at2b的t1与t2,当t1t2而有z(t1)=z(t2)时,点z(t1)称为曲线C的重点.没有重点的连续曲线C,称为简单曲线或若尔当(Jardan)曲线.如果简单曲线C的起点与终点闭合,即z(a)=z(b),则曲线C称为简单闭曲线.,任意一条简单闭曲线C把整个复平面唯一地分成三个互不相交的点集,其中除去C外,一个是有界区域,称为C的内部,另一个是无界区域,称为C的外部,C为它们的公共边界.简单闭曲线的这一性质,其几何直观意义是很清楚的.,定义复平面上的一个区域B,如果在其中任作一条简单闭曲线,而曲线的内部总属于B,就称为单连通域,一个区域如果不是单连通域,就称为多连通域.,1.5复变函数,1.复变函数的定义,定义设D是复平面中的一个点集,称为复变函数.,其确定了自变量为x和y的两个二元实变函数u,v.,例如,考察函数w=z2.令z=x+iy,w=u+iv,则u+iv=(x+iy)2=x2-y2+i2xy,因而函数w=z2对应于两个二元函数:u=x2-y2,v=2xy,在以后的讨论中,D常常是一个平面区域,称之为定义域,并且,如无特别声明,所讨论的函数均为单值函数.,2.映射的概念,函数w=f(z)在几何上可以看做是把z平面上的一个点集D(定义集合)变到w平面上的一个点集G(函数值集合)的映射(或变换).如果D中的点z被映射w=f(z)映射成G中的点w,则w称为z的象(映象),而z称为w的原象.,x,u,D,G,Z,z,w,W=f(z),v,y,W,设函数w=z=xiy;u=x,v=-y,x,y,O,u,v,O,设函数w=z2=(x+iy)2=x2-y2+i2xy,有u=x2-y2,v=2xy,1.6复变函数的极限和连续性,1.函数的极限定义设函数w=f(z)定义在z0的去心邻域00,相应地必有一正数d(e)(0d),使得当0|z-z0|d时有|f(z)-A|e,则称A为f(z)当z趋向于z0时的极限,记作,或记作当zz0时,f(z)A.,几何意义:,等价定义：,设f(z)=u(x,y)+iv(x,y),A=u0+iv0,z0=x0+iy0,则,运算性质：,当z0时的极限不存在,例1证明函数,证令z=x+iy,则,由此得,让z沿直线y=kx趋于零,我们有,故极限不存在.,2.函数的连续性定义,则说f(z)在z0处连续.如果f(z)在区域D内处处连续,我们说f(z)在D内连续.,函数f(z)=u(x,y)+i