华东师范数学分析--一般项级数

3一般项级数,三、Abel判别法和Dirichlet判别法,由于非正项级数(一般项级数)的收敛性问题要比正项级数复杂得多,所以对一般项级数的收敛性讨论只限于某些特殊类型级数.,一、交错级数,二、绝对收敛级数及其性质,一、交错级数,若级数的各项un符号正负相间,即,定义1交错级数：,定理12.11(Leibniz判别法)若交错级数(-1)n+1un满足:,(-1)n+1un收敛.,证:记交错级数(-1)n+1un的部分和数列Sn:,un单减,上式中(ui-ui+1)0,从而S2m,S2m-1是一个区间套.,由区间套定理,|SR,使得,推论若(-1)n+1un满足Leibniz判别法的条件,收敛级数(-1)n+1un的余项估计式:,Leibniz判别法,收敛,收敛,收敛,P24Ex.1(2,2-6);3,8,收敛,各项取绝对值，,性质1(定理12.12)绝对收敛的级数是收敛的.,证|un|收敛,根据级数的柯西收敛准则,二、绝对收敛级数及其性质,若级数,由柯西准则知级数un也收敛.,注:级数un绝对收敛|un|收敛,可用正项级数判别法,定义2级数un为绝对收敛级数：,绝对值收敛否？,例1级数,例E1.1:级数绝对收敛？,解：,收敛，,绝对收敛,若级数un收敛,但|un|不收敛,定义un为条件收敛:,Th:级数|un|收敛un收敛,收敛,条件,绝对收敛,绝对收敛,un收敛,绝对收敛：,|un|收敛,条件收敛:,|un|发散,正项级数判别法,Leibniz判别法,P24Ex.1;4,1.级数的重排-绝对收敛级数性质,正整数列一一映射k：1,2,n,1,2,n,正整数列的重排,级数的重排,性质2(定理12.13)设un绝对收敛,其和为S,任意重排后的级数vn绝对收敛,且和也为S.,性质2(定理12.13)设un绝对收敛,其和为S,任意重排后的级数vn绝对收敛,且和也为S.,注定理12.13只对绝对收敛级数成立.但条件收敛级数,适当重排后,既可以得到发散级数,也可以收敛于,任何事先指定的数.,例:,%条件收敛,%上两级数相加,是的重排，,重排后级数和有变化.,重排后可发散,性质2(Th12.13)un绝对收敛重排后仍绝对收敛,和不变,解:,发散(积分判别法),n1使得,n2n1使,发散，,n3n2使,发散，,nini-1使,发散，,为原级数的一个重排,发散，,重排后级数可发散,收敛级数,收敛,2.级数的乘积,将级数un与vn中每一项所有可能的乘积列表如下,这些乘积uivj可以按各种方法排成不同的级数,常用的排序:按正方形顺序或按对角线顺序.,特点:书写第n个正方形:uivn(in)+unvi(in),特点:书写第n条对角线:uivj+(i,i+j=n),性质3(Th12.14柯西定理)若un、vn都绝对收敛,所有uiuj按顺序排列所得wn绝对收敛,且和等于AB.,例2等比级数绝对收敛,注:级数乘积在幂级数(CH14)中有重要应用.,P25Ex.5;6,三、一般项级数收敛性判别法:Abel和Dirichlet判别法,引理(分部求和公式,也称阿贝尔变换),分部求和公式:,证,推论(阿贝尔引理)若,证由(i)知,同号.不妨设为正,%由(ii),%由(i),收敛性的判别法？.,定理12.15(Abel判别法),(ii)级数bn收敛.,(i)数列an单调有界,证,-Abel引理条件(i),由Cauchy收敛准则,单调有界,收敛,当nN时,对正整数p,有,-Abel引理条件(ii),由Abel引理得，,由Cauchy收敛准则得，级数anbn收敛.,对0，N0,P24Ex.2(1),定理12.16(Dirichlet判别法),(ii)bn的部分和数列有界,级数anbn收敛.,证,M0,使,对n,p+,(i)an单调递减,且,对,由Abel引理得，,由Cauchy收敛准则得，级数anbn收敛.,-Abel引理条件(i),-Abel引理条件(ii),例3若数列an具有性质:,都收敛.,证,的部分和有界,例3若数列an具有性质:,都收敛.,特例：,解,绝对值级数,为条件收敛.,P24Ex.2(2)(3),【小结】,三、Abel判别法和Dirichlet判别法,一、交错级数收敛性,二、绝对收敛级数及其性质,(莱布尼茨判别法):(-1)n+1un,级数(-1)n+1un收敛.,1.定义：级数|un|收敛.,2.性质(1)|un|收敛un收敛,(2)绝对收敛级数可以重排，和不变,(3)绝对收敛级数的积绝对收敛,和是乘积,Abel引理:,Abel判别法：,(i)数列an单调有