2018高考复习极坐标与参数方程-导学案(教师版)

极坐标与参数方程环节1 明晰高考要求高考对极坐标与参数方程考查主要突出其工具性的作用，突出极坐标以及参数方程的几何用法，考查学生能根据实际问题的几何背景选择恰当的方法解决问题的能力，命题考查形式以极坐标与直角坐标的互化，参数方程的消参以及极坐标的几何意义与参数方程的参数的几何意义的综合应用。主要考查四类题型： 极坐标系中，极坐标的几何意义的应用真题示例题1 (2017年全国)在直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1) 为曲线上的动点,点在线段上,且满足,求点的轨迹的直角坐标方程；(2) 设点的极坐标为,点在曲线上,求面积的最大值.【解析】(1)设,则,依题意,解得,化为直角坐标系方程为.常规方法:曲线:,设,则且,将(),即点的轨迹的直角坐标方程为.(2)连接,易知为正三角形,为定值.所以当边上的高最大时,面积最大,如图,过圆心作垂线,交于点,交圆于点,此时最大 别解:设(),由题意知, 所以的面积 ,当时,取得最大值,所以面积的最大值为.题2 (2015年课标文理)选修:坐标系与参数方程在直角坐标系中,曲线:,(是参数,),其中,在以为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线:,:.() 求与的交点的直角坐标；() 若与相交于点,与相交于点,求的最大值.【解析】()曲线的直角坐标方程为,曲线的直角坐标方程为. 联立,解得或,所以与的交点的直角坐标为和. ()曲线的极坐标方程为(,),其中. 因为的极坐标为,的极坐标为, 所以,当时,取得最大值,且最大值为. 直角坐标系中，曲线参数方程的直接应用真题示例题1 (2017年全国)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),直线的参数方程为(为参数).(1) 若,求与的交点坐标；(2) 若上的点到的距离的最大值为,求.【解析】(1)时,直线的方程为,曲线的标准方程是,联立方程,解得或,则与交点坐标是和.(2)直线一般式方程是,设曲线上点,则到距离,其中.当即时,即,解得.当即时,解得.综上,或.题2 (2017年江苏)在平面直角坐标系中,已知直线的参考方程为(为参数),曲线的参数方程为(为参数).设为曲线上的动点,求点到直线的距离的最小值.【解析】直线的普通方程为,因为在曲线上,设, 故点到直线的距离,当时, 因此当的坐标为时,曲线上的点到直线的距离取得最小值. 直角坐标系中，直线参数方程的参数几何意义的应用真题示例题1 【2018全国二卷22】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）（1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率（1）曲线的直角坐标方程为当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以有两个解，设为，则又由得，故，于是直线的斜率题2【2018全国三卷22】在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点（1）求的取值范围；（2）求中点的轨迹的参数方程（1）的直角坐标方程为当时，与交于两点当时，记，则的方程为与交于两点当且仅当，解得或，即或综上，的取值范围是（2）的参数方程为为参数，设，对应的参数分别为，则，且，满足于是，又点的坐标满足所以点的轨迹的参数方程是为参数， 通过互化或消参呈现几何背景，利用相关的几何法解决真题示例题5 【2018全国一卷22】在直角坐标系中，曲线的方程为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的直角坐标方程；（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程.（1）由，得的直角坐标方程为（2）由（1）知是圆心为，半径为的圆由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线记轴右边的射线为，轴左边的射线为由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点综上，所求的方程为题6 （2017年深圳二模）已知直线的参数方程是，圆C的极坐标方程为（1）求圆心C的直角坐标；（2）由直线上的点向圆C引切线，求切线长的最小值解析：（I）， （2分）， （3分）即，（5分）（II）方法1：直线上的点向圆C 引切线长是， （8分）直线上的点向圆C引的切线长的最小值是 （10分）方法2：， （8分）圆心C到距离是，直线上的点向圆C引的切线长的最小值是环节2 问题自主解决1回归教材题组1 人教A版选修4-4 P12 课本习题编选：题1 在极坐标系中，表示的点有什么关系？你是如何刻画这些点的位置的？题2已知点的极坐标分别为，求它们的直角坐标 题3已知点的直角坐标分别为，求它们的极坐标问题自主探索： 极坐标与直角坐标之间的区别与联系是什么？ 极坐标的几何意义是什么？题组2人教A版选修4-4 P15 课本习题编选：题1 说明下列极坐标方程表示什么曲线？（1） （2） （3） （4） （5） （6）题2 将下列直角坐标方程化成极坐标方程 （1） （2） （3） （4）题3 在极坐标系中，求适合下列条件的曲线的极坐标方程（1）过极点，倾斜角是的直线 （2）圆心在，半径为1的圆（3）过点，且和极轴垂直的直线 （4）过点，且与垂直的直线 题4 设点的极坐标为，直线过点且与极轴所成的角为，求直线的极坐标方程题5 已知椭圆的中心为，长轴、短轴的长分别，分别为椭圆上的两点，并且,求证：为定值问题自主探索： 实现曲线极坐标方程与直角坐标方程互化的桥梁是什么？ 求解曲线极坐标方程，你是怎么处理的？它跟直角坐标求点轨迹方程的思路一样吗？ 极坐标的几何意义是如何应用的？题组3 人教A版选修4-4 P25-34 课本例题编选题1把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线（1）（为参数） （2） （为参数） 题2把下列普通方程化为参数方程，并说明它们各表示什么曲线（1） （2） 题3 在椭圆上求一点,使点到的距离最小，并求出最小距离。题3 （选讲）已知椭圆上任意一点（除短轴两端点外）与短轴两端点的连线分别与轴交于两点，为椭圆的中心，求证：为定值问题自主探索： 用参数表达曲线的普通方程，意义何在？通过消参得到普通方程需要注意什么？ 常见圆锥曲线的参数方程怎么表达？ 比较用圆锥曲线参数方程与几何通法解决问题，优劣势在哪里？题组4 人教A版选修4-4 P36-37 课本例1例2题1 已知直线与抛物线交于两点，求线段的长和点到两点的距离之积。题2 经过点作直线与交椭圆于两点，如果恰好为线段的中点，求直线的方程问题自主探索： 直线参数方程如何求解？标准的直线参数方程指的是什么？ 参数的几何意义是什么？怎么证明？是不是所有直线参数方程都具备几何意义？ 参数的几何意义如何应用？ 比较用直线参数方程与几何通法解决问题，优劣势在哪里？2高考真题精编题1 （2017年全国）在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),直线的参数方程为(为参数),设与的交点为,当变化时,的轨迹为曲线.(1) 写出的普通方程；(2) 以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,设:,为与的交点,求的极径.【解析】(1)将参数方程转化为一般方程,得: :消可得,即的轨迹方程为.将参数方程转化为一般方程:联立,消去得,解得,所以的坐标为,所以,即的极径为.题2 已知曲线C1的极坐标方程为2cos2=8，曲线C2的极坐标方程为，曲线C1、C2相交于A、B两点（pR）（）求A、B两点的极坐标；（）曲线C1与直线（t为参数）分别相交于M，N两点，求线段MN的长度【解答】解：（）由得：，2=16，即=4A、B两点的极坐标为：或（）由曲线C1的极坐标方程2cos2=8化为2（cos2sin2）=8，得到普通方程为x2y2=8将直线代入x2y2=8，整理得|MN|=题3.(2015年湖南理)已知直线:(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.() 将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；() 设点的直角坐标为,直线与曲线的交点为,求的值.【解析】() 即,即,所以曲线:.()将直线:代入曲线中可得,设这个方程的两个实数根分别为,则.题4选修:坐标系与参数方程选讲(2016年全国理)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.() 写出的普通方程和的直角坐标方程；() 设点在上,点在上,求的最小值及此时的直角坐标.【解析】()的普通方程为,的直角坐标方程为. ()依题意,设,因为是直线,所以的最小值即为到的距离的最小值, 当且仅当()时,取得最小值,此时的直角坐标为.环节3 经典考题选讲题1 在极坐标系中，极点为坐标原点，已知圆的圆心坐标为，半径为，直线的极坐标方程为.（1） 求圆的极坐标方程；（2）若圆和直线相交于两点，求线段的长.题2 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（，为参数），在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线是圆心在极轴上，且经过极点的圆已知曲线上的点对应的参数，射线与曲线交于点（I）求曲线，的方程；（II）若点，在曲线上，求的值（I）将及对应的参数，代入，得，即，所以曲线的方程为（为参数），或.设圆的半径为,由题意,圆的方程为,(或).将点代入,得,即.(或由,得,代入,得),所以曲线的方程为,或.（II）因为点， 在在曲线上,所以,所以题3 在直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线,已知过点的直线的参数方程为:直线与曲线分别交于(1)写出曲线和直线的普通方程;(2)若，成等比数列,求的值. (1)(2)【解析】(1)对于直线l两式相减，直接可消去参数t得到其普通方程，对于曲线C，两边同乘以,再利用可求得其普通方程.（2）将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程可知，,借助韦达定理可建立关于a的方程，求出a的值.题4 在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴)中，圆的方程为()求圆的直角坐标方程；()设圆与直线交于点，若点的坐标为(3，)，求与解：()由=2sin，得2=2sin，x2+y2=2y,所以()直线的一般方程为，容易知道P在直线上，又，所以P在圆外，联立圆与直线方程可以得到：，所以|PA|+|PB|=|AB|+2|PA|=.同理，可得题5 在直角坐标系中，曲线的参数方程为以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中曲线的极坐标方程为（）分别把曲线化成普通方程和直角坐标方程；并说明它们分别表示什么曲线（）在曲线上求一点，使点到曲线的距离最小，并求出最小距离，题6 (2015年课标理)在直角坐标系中,直线:,圆:,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.() 求,的极坐标方程；() 若直线的极坐标方程为(),设与的交点为,求的面积.【解析】()因为,所以的极坐标方程为. :,对应极坐标方程为. ()将代入,得,解得,故,即,由于的半径为,所以的面积为.环节4 规律总结1.2.3.4.环节5 考题精选精做题1 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系已知直线 l：（2cossin）=6（）试写出直线l的直角坐标方程和曲线C1的参数方程；（）在曲线C1上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值【解答】解：（）曲线C1：，设为参数，令x=cos，y=2sin，则曲线C1的参数方程为（为参数）；又直线 l：（2cossin）=6，即2cossin6=0，化为直角坐标方程是2xy6=0；（）在曲线C1上求一点P，设P（cos，2sin），则P到直线l的距离为d=，cos（+）=1，即P（，1）时，点P到直线l的距离最大，最大值为=2题2 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（为参数）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（）求直线l和曲线C的极坐标方程；（）已知直线l上一点M的极坐标为（2，），其中射线OM与曲线C交于不同于极点的点N，求|MN|的值【解答】解：（）直线l的参数方程为（t为参数），直线的普通方程为，极坐标方程为曲线C的普通方程为，极坐标方程为（5分）（）点M在直线l上，且点M的极坐标为（2，），射线OM的极坐标方程为联立，解得=3|MN|=|NM|=1题3 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系（1）求曲线C的极坐标方程；（2）设，若l1，l2与曲线C分别交于异于原点的A，B两点，求AOB的面积【解答】解：（1）曲线C的参数方程是（为参数），将C的参数方程化为普通方程为（x3）2+（y4）2=25，即x2+y26x8y=0 （2分）C的极坐标方程为=6cos+8sin （4分）（2）把代入=6cos+8sin，得， （6分）把代入=6cos+8sin，得， （8分）SAOB= （10分）题4 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为（1）求C的普通方程和l的倾斜角；（2）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|【解答】解：（1）由消去参数，得即C的普通方程为由，得sincos将代入得y=x+2所以直线l的斜率角为（2）由（1）知，点P（0，2）在直线l上，可设直线l的参数方程为（t为参数）即（t为参数），代入并化简得设A，B两点对应的参数分别为t1，t2则，所以t10，t20所以题5 在直角坐标系xOy中，直线l经过点P（2，0），其倾斜角为，在以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位），曲线C的极坐标方程为4cos=0（）若直线l与曲线C有公共点，求倾斜角的取值范围；（）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求的取值范围【解答】解：（）由曲线C的极坐标方程得24cos=0，又x=cos，y=sin，曲线C的直角坐标方程为x2+y24x=0，即（x2）2+y2=4（1分）曲线C是圆心为C（2，0），半径为2的圆直线l过点P（2，0），当l的斜率不存在时，l的方程为x=2与曲线C没有公共点，直线l的斜率存在，设直线l：y=k（x+2），即kxy+2k=0直线l与圆有公共点，则圆心C到直线l的距离，得，0，），的取值范围是（）法一：由（）曲线C的直角坐标方程为（x2）2+y2=4，故其参数方程为（为参数）M（x，y）为曲线C上任意一点，因此，的取值范围是2，6题6 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A，B为C上两点，且OAOB，设射线OA：=，其中0（1）求曲线C的极坐标方程；（2）求|OA|OB|的最小值【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（为参数）化为直角坐标方程为：再转化为极坐标方程为：（2）根据题意：射线O的极坐标方程为或所以：|OA|=，=，所以：|OA|OB|=12=，当且仅当sin2=cos2，即时，函数的最小值为题7 已知曲线C的参数方程为，其中为参数，且，在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线C的极坐标方程；（2）设T是曲线C上的一点，直线OT与曲线C截得的弦长为，求T点的极坐标【解答】解：（1）曲线C的参数方程为，其中为参数，且，转化为直角坐标方程为：x2+（y1）2=1（0x1）所以曲线C的极坐标方程为：=2sin，（）（2）由题意知：令，解得：，所以：点T的极坐标为：（，）题8 在平面直角坐标系中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，取相同的长度单位，若曲线C1的极坐标方程为sin=1，曲线C2的参数方程为（为参数），设P是曲线C1上任一点，Q是曲线C2上任一点（1）求C1与C2交点的极坐标；（2）已知直线l：xy+2=0，点P在曲线C2上，求点P到l的距离的最大值【解答】解：（1）曲线C1的极坐标方程为sin=1，转化为C1的直角坐标方程为y=1，曲线C2的参数方程为（为参数），转化为C2的普通方程为x2+（y+2）2=4由，得或又，所以C1与C2的交点极坐标为与（2）圆C2的圆心（0，2）到直线l的距离为，圆半径为2所以点P到l的距离的最大值为题9 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知曲线C：2=，0，直线l：（t是参数）（1）求出曲线C的参数方程，及直线l的普通方程；（2）P为曲线C上任意一点，Q为直线l上任意一点，求|PQ|的取值范围【解答】解析：（1）曲线C的普通方程为：（y0），曲线C的参数方程（为参数，0，）直线l：（t是参数）转化成普通方程为：，（2）设P（2cos，sin）P到直线l的距离d=，0，则：，题10 在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线kl的极坐标方程为cos）=3（1）求C的极坐标方程；（2）射线OM：=1（1）与圆C的交点为O，P，与直线Ll的交点为Q，求|OP|OQ|的范围【解答】（1）圆C的参数方程为（参数），转化为圆C的普通方程是（x1）2+