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(选修2-1)第三章空间向量与立体几何,3.2立体几何中的向量方法,1,用空间向量解决立体几何问题的步骤:,(1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题;,(2)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题;,(3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。,(化为向量问题),(进行向量运算),(回到图形),2,一个结晶体的形状为四棱柱,其中,以顶点A为端点的三条棱长都相等,且它们彼此的夹角都是60,那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系?,A1,B1,C1,D1,A,B,C,D,解:如图1,设,化为向量问题,依据向量的加法法则,,进行向量运算,所以,回到图形问题,这个晶体的对角线的长是棱长的倍。,3,思考:,(1)本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系?,(2)如果一个四棱柱的各条棱长都相等,并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于,那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?,分析:,分析:,这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。,4,(3)本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少?设AB=1(提示:求两个平行平面的距离,通常归结为求两点间的距离),H,分析:面面距离,点面距离,解:,所求的距离是,问题:如何求直线A1B1到平面ABCD的距离?,5,向量法求点到平面的距离:,其中,也就是AP在法向量n上的投影的绝对值,6,已知正方形ABCD的边长为4,CG平面ABCD,CG=2,E、F分别是AB、AD的中点,求点B到平面GEF的距离。,D,A,B,C,G,F,E,7,D,A,B,C,G,F,E,8,甲站在水库底面上的点A处,乙站在水坝斜面上的点B处。从A,B到直线(库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为和,CD的长为,AB的长为求库底与水坝所成二面角的余弦值。,解:如图,,化为向量问题,根据向量的加法法则,进行向量运算,于是,得,设向量与的夹角为,就是库底与水坝所成的二面角。,因此,所以,回到图形问题,库底与水坝所成二面角的余弦值为,9,F1,F2,F3,A,C,B,O,500kg,例4,10,F1,F2,F3,A,C,B,O,500kg,z,x,y,11,F1,F2,F3,A,C,B,O,500kg,z,x,y,12,如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EFPB交PB于点F.(1)求证:PA/平面EDB(2)求证:PB平面EFD(3)求二面角C-PB-D的大小。,A,B,C,D,P,E,F,例5,13,A,B,C,D,P,E,F,G,解:如图所示建立空间直角坐标系,点D为坐标原点,设DC=1,(1)证明:连结AC,AC交BD于点G,连结EG,14,A,B,C,D,P,E,F,G,15,A,B,C,D,P,E,F,G,16,17,向量的模,用空间向量解决立体几何
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