《数理金融理论与模型》习题解答

。数理金融理论与模型运动解决方案第一章金融市场第一章习题解决问题1.众所周知，一家上市公司明年将以每股2元的价格分红。公司业绩将以年均5%的速度增长，股息分配也将以同样的速度增长。假设每年10%的贴现率，现在上市公司股票的内在价值是多少？回答：2.下表给出了“2005年记账(四期)国债”的基本信息。假设2010年3月19日观察到的到期收益率曲线是一条4%的水平直线，那么请问“2005年簿记(四阶段)国债”在这一天的价值是多少？债券名称2005年记帐(四次发行)国债债券缩写05国债(4)债券代码010504发行金额(亿元)339.20发行价格(人民币)100.00分发模式利率投标持续时间(年)20点发行票面利率(%)4.11上市地点上海证券交易所起期2005-05-15到期日2025-05-15发行开始日期2005-05-15发布截止日期2005-05-19发行者财政部偿债方法每半年支付一次利息到期收益率(%)3.8903剩余期限(年)15.0795问题对象各类投资者在证券登记公司开立股票和基金账户，在国债登记公司开立一级债券账户。回答：3.请简要描述使用复制技术和无套利原理对金融衍生产品定价的原理和步骤，并认真理解为什么用这种方法设定的价格称为无套利价格。本章还仔细回顾了如何利用复制技术和无套利原则对衍生品进行定价，并推导出期权的价格本质。答：见第2节4.请用构造股票和储蓄存款组合的方法来复制远期合约，用无套利原理来证明股票远期的定价公式。请分别为股票不分红和股票分红的情况构造投资组合，并给出无套利定价公式。回答：案例1:无奖金支付：组合1:长期合同；组合2:不支付股息的目标股票的长期头寸和存款(即贷款)；如果这两个组合的值函数分别是和，那么很明显，这两个组合此刻的值是，也就是说，这个矩的值可以完全复制。从无套利原则中，我们可以看出，对于任何一种情况，都有，即：由于签订远期合同没有成本，而且当时也没有收入，所以当时的合同价值应该等于零，也就是说，对任何一方来说，都有，因此获得远期执行价格的定价公式如下：案例2:连续股息的支付q:组合1:长期合同；组合2:支付股息的基础股票的长期头寸和存款(即贷款)；如果两个组合的值函数是和，那么显然组合一的值现在是。由于股息的不断累积，一股在时间t的价值是，所以组合2在时间的价值是，也就是说，在时间的价值可以完全复制。从无套利原则中，我们可以看出，对于任何一种情况，都有，即：由于签订远期合同没有成本，而且当时也没有收入，所以当时的合同价值应该等于零，也就是说，对任何一方来说，都有，因此获得远期执行价格的定价公式如下：5.假设投资者于2010年3月12日签订了一份股票远期合同，合同到期日为2010年9月12日，当日标的股票价格为每股5元。如果一年期银行存款利率是3%，合同的执行价格是多少？如果股价在2010年7月12日上涨到6元，一年期银行存款利率仍然是3%，那么当天的长期合约价值是多少？回答：2010年3月12日：对应t=0，此时S0=5，r=3%，T=0.5，因此本远期合同执行价格应为：2010年7月12日：对应于t=1/12，此时St=6，r=3%，T-t=5/12，因此分远期合同的长期价值为：6.假设2010年6月17日的6个月期和1年期无风险利率分别为2.5%和3%，那么当天确定的36年期远期单一利率是多少？回答：以连续复利表示的两种即期利率为：以连续复利表示的36个远期利率为：那么36个长期单个兴趣是：7.请利用复制技术和无套利原理证明欧式看涨期权和欧式看跌期权的价格分别相对于执行价格单调递减和单调递增。回答：仅证明看涨期权：设置组合1:带有执行价格的多头看涨期权；组合2:带有执行价格的多头看涨期权；然后。有三种情况：一种是分别讨论，另一种是分别讨论。也就是说，就是说8.H公司和L公司都需要向B银行借款，期限为3年，本金为1000万元人民币。B银行向两家公司提供的贷款利率如下：固定利率浮动汇率h公司5.0%SHIBOR 0.2%l公司6.5%SHIBOR 0.7%H公司需要浮动利率贷款，而L公司需要固定利率贷款。请设计一个利率互换，其中b银行作为中介获得0.1%的利差，并要求双方平均分享互换收益。回答：H公司需要浮动利率贷款。它可以获得的浮动利率是0.2%的SHIBORL公司需要一笔固定利率贷款，可以获得6.5%的固定利率整体利率为(SHIBOR 0.2%)6.5%=SHIBOR 6.7%=SHIBOR 6.7%如果这两家公司利用它们的比较优势，它们可以获得的总利率是：(SHIBOR 0.7%) 5.0%=SHIBOR 5.7%因此，利用比较优势，如果H公司以固定利率借款，L公司以浮动利率借款，然后再以两种汇率借款，总利率可以节省1%。节省的成本为银行b预留0.1%，剩余的0.9%在两者之间平均分配，即两者都获得0.45%的成本节约。因此，利率互换合同设计如下：h公司：以5.0%的固定利率借款，并将SHIBOR利率支付给L公司；l公司：以Shibor 0.7%的浮动利率借款，并向H公司支付x%的利率；因此，对于公司H，有：x%=5.3%对于l公司，有：x%=5.3%在等式的右边：粉红：应该在利率互换之前支付红色：两家公司在利率互换中的利润蓝色：利率互换应该给B银行(总共1%，由两家公司分享)9.H公司想以固定利率借入美元，而L公司想以固定利率借入欧元，本金的价值与即期汇率非常接近。这两家公司的市场报价如下：欧元美元h公司5.0%9.6%l公司6.5%10.0%请设计一个货币互换。作为中介，银行将获得50个基点的报酬，互换双方将被要求平均分享互换收益。汇率风险将由银行承担。回答：H公司需要以9.6%的固定利率借入美元l公司需要以6.5%的固定利率借入欧元由于两家公司的本金在同一货币中相等，因此两家公司可以获得的总利率为：9.6% 6.5%=16.1%如果这两家公司利用它们的比较优势，它们可以获得的总利率是：10% 5.0%=15%因此，利用比较优势，如果H公司以固定利率借入欧元，L公司以固定利率借入美元，然后两种货币互换，总利率可节省1.1%。节省下来的成本有0.5%留给银行，剩下的0.6%在两者之间平均分配，即两者都节省了0.3%的成本。由于汇率风险不需要由两家公司承担，在货币兑换后，h公司支付9.3%的美元利率，l公司支付6.2%的欧元利率。因此，货币互换合同设计如下：h公司：以5.0%的固定利率借入欧元，在期初将欧元本金兑换成等值美元，然后在期末将本金兑换回来。l公司：以10%的固定利率借入美元，在期初从L公司将美元本金兑换成等值欧元，并在期末将本金兑换回来；此外，H公司、L公司和银行(中介)进行以下交换：注：H公司和L公司都实现了各自的目标，并且都已经以规定的货币支付了款项。没有汇率方向。作为中介，银行赚取了0.5%的收入，但这是1.2%的欧元利率减去0.7%的美元利率，这0.5%的收入包含了汇率风险。10.请比较CDS和CSO合同的区别，并指出它们各自的区别信用违约互换的主题是信用事件。只要规定的违约发生，违约互换合同的补偿机制将被激活，合同将被终止。信贷息差期权CSO的目标是信贷息差，当到期日的目标息差达到执行息差时，将进行相应的支付。因此，信用违约互换保护违约造成的风险，而信用违约互换保护信用利差变化的风险。11.请参见下图：回答：1)可直接验证；2)可直接验证；12.请参见下图：回答：13.请参见下图：回答：公司a:P0=24.25，D0=1.1，r=8.5%，可通过下式求解b公司：G=3.8%，D0=2，r=8.5%，可通过下式求解元/股第二章效用理论1.参考书的相关内容。2.b)订单。如果，根据性质a)，有一个由和组成的复合随机规划严格优于。这与。类似地，在那个时候，有一个复合随机程序，其总和严格优于，也就是说，有一个机制。这也与。因此c)d)如果是，因为是的。然后，矛盾。类似的证据也会导致矛盾。因此。e)如果是的话。同样，这也是可以证明的。如果是，那么。另外，因为否则会有冲突。假设，那么，因为，存在使。因此，这与a)的性质相矛盾。同样，如果它能被证明。3.假设字典顺序关系具有效用函数表示，即当且仅当。取任意实数，考虑选择集中的以下四个元素。根据字典顺序关系的定义，有、和。如果定义了开区间，那么对于任何实数，实轴包含不可数的无限个不相交的开区间。但同时，由于实数中有理数的密度，每一个都有有理数。这与有理数的可数性相矛盾。4.没有完全解决。例如，对于冯诺伊曼-摩根斯坦效用函数，对于随机计划，圣彼得堡形式的悖论仍然存在。5.如果投资者选择前者，这表明他厌恶风险。6.预期效用的挑战见第二节。7.根据定理2.3.2和定理2.3.3，效用函数反映了初始财富增加时，风险资产的绝对投资额和风险资产的比重都减少的投资决策特征，而效用函数反映了初始财富增加时，风险资产的绝对投资额增加，风险资产投资的比重不变的投资决策特征。8.对于广义功率效用函数，根据定理2.3.2和定理2.3.3，广义功率效用函数反映了当初始财富增加时，风险投资的绝对投资额增加，但风险投资的投资比例下降的投资决策特征。9.只需计算相应的阿罗-普拉特绝对风险厌恶系数。所以10.二阶随机优势被用来检验规避风险的个人的偏好。因此，二阶随机优于二阶随机，厌恶风险的个人更喜欢二阶随机。11.二阶单调随机优势的等价条件描述见定理2.4.3。定理证明的思想与二阶随机优势定理证明的思想相同，只需要做几个小的改动。1)=3)因为，根据定理2.4.2之后的讨论，这并不难得到。因此。因此。3)=1)假设由于连续性，存在使得。类似于定理2.4.2，如果满足并且可以获得与3)相矛盾。2)=3)3)=2)稍微。12.关于数学意义，请参见书中随机优势的定义。经济意义：A的一阶随机优势优于B。对于所有偏好更多、厌恶更少的人来说，甲优于乙；二阶随机优势优于B。在所有厌恶风险的个人看来，甲优于乙；A的二阶单调随机优势优于B。从偏好多、厌恶和风险厌恶少的个体来看，甲优于乙；A的三阶随机优势优于B。就偏好多而厌恶少、厌恶风险和绝对厌恶风险递减的所有个人而言，a优于B。第三章现代投资组合理论第三章习题答案1.据了解，这两只股票在第五阶段的价格数据和fin2)如果两只股票的投资者比例分别为30%和70%，则计算该投资组合在每个时期的收益率，并根据这些收益率数据计算该投资组合的预期收益率和方差。时间股票1价格股票2价格股票1的最终股息股票2的最终股息04.569.4214.2210.440.200.4524.7810.970.320.5735.6311.980.430.6145.0111.840.190.3355.9512.580.400.45回答：1)，记住股票1，2在k时刻的股价是，(k-1，k)回报率是，那么：回报率是：预期回报率为：退货差异为：产量相关系数为：2)投资组合P对股票1和2的权重为，并记录投资组合的到期收益率，即投资组合的预期收益率和方差为：投资组合的预期收益率：投资组合回报的方差：2.根据练习1中的股价数据和股息数据：1)，分别找出这两种股票在5期的离散复合收益率，即：然后求出这两种股票在五个时期内的连续复合收益率，即：2)如果两种股票的投资者比例分别为30%和70%，计算该投资组合在五个时期内的离散复合收益率和连续复合收益率。回答：1)对于由第一个问题计算的收益率为1和2的股票，离散收益率y可由以下公式表示：对于股票1，22)对于收益率为1和2的股票，通过第一个问题计算，连续收益率r可以用以下公式表示：对于股票1，23.根据练习1中的股票价格数据和股息数据以及练习1中计算的收益率数据，改变