单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义

4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义,都昌三中高一数学组,锐角的正弦、余弦函数的定义：,对边,邻边,斜边,以原点为O圆心，以单位长度为半径的圆叫做单位圆,下面我们在直角坐标系中，利用单位圆来进一步研究锐角的正弦函数、余弦函数,任意角的正弦函数、余弦函数定义：,（1）v叫做的正弦，记作sin，即sin=v；,（2）u叫做的余弦，记作cos，即cos=u,如图，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(u,v)，那么：,三角函数都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐标(比值)为函数值的函数.,角(弧度数)实数,三角函数可以看成是自变量为实数的函数,一一对应,定义域,函数,1.单位圆中任意角的正弦函数、余弦函数,v,u,全体实数,全体实数,2.正弦函数、余弦函数的值在各象限的符号,方法规律：正弦上正下负，余弦右正左负。,3.任意角的正弦函数、余弦函数(1)前提：设角的顶点是坐标系的原点，始边与x轴的非负半轴重合，角终边上任一点Q(x,y).(2)结论：OQ的长度为且sin=_，cos=_.,1.判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)sin,cos中可以将“”与“sin”，“cos”分开.()(2)同一个三角函数值能找到无数个角与之对应.()(3)角终边上有一点P(1，1)，故cos=1.(),【解析】(1)错误.符号sin,cos是一个整体，不能分开.(2)正确.终边相同的角的同一三角函数值相等.(3)错误.P(1,1),x=1,y=1,故cos=,2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)已知角终边经过点则角的最小正值是_.(2)角的终边经过点P(m,4)，且cos=则m=_.(3)角满足sin0,cos0时,在第一、二象限及y轴正半轴，当cos0,cos0时，在第二象限.答案：二,【即时练】当角=0时，sin=_；若角=-3，则sin的符号为_(填“正”或“负”).【解析】当角=0时，sin=0；若角=-3，则角是第三象限角，所以sin0.答案：0负,【题型示范】类型一任意角的正弦函数、余弦函数【典例1】(1)(2014石家庄高一检测)已知角与单位圆的一个交点坐标是则cos等于()(2)已知角的终边经过点P(2,4)，求角的正、余弦函数值.,【自主解答】(1)选D.因为所以故cos=(2)因为点P(2,4)在角的终边上，故u1=2，v1=4，可知r=OP=所以sin=cos=,【变式训练】已知角的终边经过点P(2，-3)，则cos的值是()【解析】选C.角的终边经过点P(2，-3)，故由三角函数的定义知故选C,【考题链接】(2013西安高一检测)已知角为第二象限的角.P(a,4)为终边上一点，且sin=则sin+cos的值为_.,【解析】|OP|=r=由sin=得所以a=3.又为第二象限的角,所以a=-3,所以cos=所以sin+cos=,类型二三角函数值的符号的应用【典例2】(1)(已知角是第二象限角，则点P(sin,cos)在第_象限.(2)确定下列各式的符号.cos200.sin160+cos(-40).sin210cos260.,【自主解答】(1)因为角是第二象限角，所以sin0，cos0，所以点P的坐标符号是(+,)，所以点P在第四象限.,(2)200为第三象限的角，所以cos2000.160为第二象限的角，所以sin1600.-40为第四象限的角，所以cos(-40)0,所以sin160+cos(-40)0.210为第三象限的角，sin2100,260为第三象限的角，所以cos2600,所以sin210cos2600.,四,【方法技巧】正弦、余弦函数值的正负规律,【变式训练】确定下列各式的符号.(1)sin2014.(2)(3)sin4cos4.,【解析】(1)2014=3605+214,所以2014为第三象限的角,所以sin20140.(2)为第四象限的角,所以cos0.(3)4所以4rad为第三象限的角.所以cos40，sin40.所以sin4cos40.,【考题链接】（2014西安高一检测)sin(140)cos740的值()A.大于0B.等于0C.小于0D.不确定【解析】选C.140是第三象限角，所以sin(140)0，740=2360+20，所以740是第一象限角，所以cos7400，所以sin(140)cos7400.,【易错误区】处理三角函数问题时忽视参数的符号致误【典例】(2014泰安高一检测)已知角的终边经过点P(3m,m)(m0)，则sin=_.,【解析】由题意得：|OP|=当m0时，|OP|=则sin=当m0时，|OP|=则sin=答案：或,【类题试解】已知角的终边过点P(-3a，4a)(a0)，则cos=_.【解析】由题意可得：|OP|=当a0时，|OP|=5a，则当a0时，|OP|=-5a，则答案：或,课堂总结,1、任意角三角函数的定义：,2、解题方