中考复习讲义-三角形-(教师版)

三角形的有关概念一、角平分线、垂直平分线 知识考点： 了解角平分线、垂直平分线的有关性质和定理，并能解决一些实际问题。精典例题：【例题】如图，已知在ABC中，ABAC，B300，AB的垂直平分线EF交AB于点E，交BC于点F，求证：CF2BF。分析一：要证明CF2BF，由于BF与CF没有直接联系，联想题设中EF是中垂线，根据其性质可连结AF，则BFAF。问题转化为证CF2AF，又BC300，这就等价于要证CAF900，则根据含300角的直角三角形的性质可得CF2AF2BF。分析二：要证明CF2BF，联想B300，EF是AB的中垂线，可过点A作AGEF交FC于G后，得到含300角的RtABG，且EF是RtABG的中位线，因此BG2BF2AG，再设法证明AGGC，即有BFFGGC。 分析三：由等腰三角形联想到“三线合一”的性质，作ADBC于D，则BDCD，考虑到B300，不妨设EF1，再用勾股定理计算便可得证。以上三种分析的证明略。 探索与创新：【问题】请阅读下面材料，并回答所提出的问题：三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。如图，ABC中，AD是角平分线。求证：。分析：要证，一般只要证BD、DC与AB、AC或BD、AB与DC、AC所在三角形相似，现在B、D、C在同一条直线上，ABD与ADC不相似，需要考虑用别的方法换比。我们注意到在比例式中，AC恰好是BD、DC、AB的第四比例项，所以考虑过C作CEAD交BA的延长线于E，从而得到BD、CD、AB的第四比例项AE，这样，证明就可以转化为证AEAC。21世纪教育网证明：过C作CEAD交BA的延长线于E CEADE3AEAC CEAD （1）上述证明过程中，用了哪些定理（写出两个定理即可）；（2）在上述分析、证明过程中，主要用到了三种数学思想的哪一种？选出一个填入后面的括号内（ ）数形结合思想 转化思想 分类讨论思想答案：转化思想来源:21世纪教育网（3）用三角形内角平分线性质定理解答问题：已知AD是ABC中BAC的角平分线，AB5 cm，AC4 cm，BC7 cm，求BD的长。答案：cm评注：本题的目的主要在于考查学生的阅读理解能力。3、如图，在ABC中，B22.50，C600，AB的垂直平分线交BC于点D，BD，AEBC于点E，求EC的长。二、三角形、梯形的中位线知识考点：掌握三角形、梯形的中位线定理，并会用它们进行有关的论证和计算。精典例题：【例1】如图，梯形ABCD中，ADBC，M是腰AB的中点，且ADBCDC。求证：MDMC。分析：遇到腰上中点的问题构造梯形中位线可证明，也可以因为腰上有中点，延长DM与CB的延长线交于E点进行证明。 【例2】如图，ABC的三边长分别为AB14，BC16，AC26，P为A的平分线AD上一点，且BPAD，M为BC的中点，求PM的长。分析：A的平分线与BP边上的垂线互相重合，通过作辅助线延长BP交AC于点Q，由ABPAQP知ABAQ14，又知M是BC的中点，所以PM是BQC的中位线，于是本题得以解决。答案：PM6探索与创新：【问题一】 E、F为凸四边形ABCD的一组对边AD、BC的中点，若EF，问：ABCD为什么四边形？请说明理由。分析与结论：如图，利用三角形和梯形的中位线定理，连结AC，取AC的中点G，连EG、FG，则EGCD，FGAB，EGFG，即EGFGEF，则G点在EF上，EFCD，EFAB，故ABCD。（1）若ADBC，则凸四边形ABCD为平行四边形；（2）若AD不平行于BC，则凸四边形ABCD为梯形。评注：利用中位线构造出CD、AB，其关键是连AC，并取其中点G。2、如图，在四边形ABCD中，ABCD，E、F分别是对角线BD、AC的中点，求证：EF 3、如图，在等腰梯形ABCD中，ABDC，ABC600，AC平分DAB，E、F是对角线AC、BD的中点，且EF，求梯形ABCD的面积。 三、直角三角形、勾股定理、面积知识考点：了解直角三角形的判定与性质，理解直角三角形的边角关系，掌握用勾股定理解某些简单的实际问题。它的有关性质广泛应用于线段计算、证明线段倍分关系、证明线段平方关系及与面积有关的问题等方面。精典例题：【例1】如图，在四边形ABCD中，A600，BD900，BC2，CD3，则AB？分析：通过作辅助线，将四边形问题转化为三角形问题来解决，其关键是对内分割还是向外补形。答案： 【例2】如图，P为ABC边BC上一点，PC2PB，已知ABC450，APC600，求ACB的度数。分析：本题不能简单地由角的关系推出ACB的度数，而应综合运用条件PC2PB及APC600来构造出含300角的直角三角形。这是解本题的关键。答案：ACB750（提示：过C作CQAP于Q，连结BQ，则AQBQCQ）探索与创新：【问题一】如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且QPN300，点A处有一所中学，AP160米，假设汽车行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么汽车在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声的影响？如果受影响，已知汽车的速度为18千米小时，那么学校受影响的时间为多少秒？分析：从学校（A点）距离公路（MN）的最近距离（AD80米）入手，在距A点方圆100米的范围内，利用图形，根据勾股定理和垂径定理解决它。略解：作ADMN于D，在RtADP中，易知AD80。所以这所学校会受到噪声的影响。以A为圆心，100米为半径作圆交MN于E、F，连结AE、AF，则AEAF100，根据勾股定理和垂径定理知：EDFD60，EF120，从而学校受噪声影响的时间为：21世纪教育网（小时）24（秒）评注：本题是一道存在性探索题，通过给定的条件，判断所研究的对象是否存在。 【问题二】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力如图12，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米的B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米时的速度沿北偏东300方向往C移动，且台风中心风力不变。若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响。（1）该城市是否会受到这次台风的影响? 请说明理由。来源:21世纪教育网（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长?（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级? 解：（1）如图1，由点A作ADBC，垂足为D。AB220，B30AD110（千米）。由题意知，当A点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响。故该城市会受到这次台风的影响。（2）由题意知，当A点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响。则AEAF160。当台风中心从E处移到F处时，该城市都会受到这次台风的影响。由勾股定理得：。EF60（千米）。该台风中心以15千米时的速度移动。这次台风影响该城市的持续时间为（小时）。（3）当台风中心位于D处时，A市所受这次台风的风力最大，其最大风力为126.5（级）。评注：本题是一道几何应用题，解题时要善于把实际问题抽象成几何图形，并领会图形中的几何元素代表的意义，由题意可分析出，当A点距台风中心不超过160千米时，会受台风影响，若过A作ADBC于D，设E，F分别表示A市受台风影响的最初，最后时台风中心的位置，则AEAF160；当台风中心位于D处时，A市受台风影响的风力最大。7、如图，等腰梯形ABCD中，ADBC，腰长为8cm，AC、BD相交于O点，且AOD600，设E、F分别为CO、AB的中点，则EF 。 8、如图，点D、E是等边ABC的BC、AC上的点，且CDAE，AD、BE相交于P点，BQAD。已知PE1，PQ3，则AD 。9、如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A、B、C、D的面积的和是 。4、 全等三角形知识考点：掌握用三角形全等的判定定理来解决有关的证明和计算问题，灵活运用三角形全等的三个判定定理来证明三角形全等。精典例题：【例1】如图，已知ABBC，DCBC，E在BC上，AEAD，ABBC。求证：CECD。分析：作AFCD的延长线（证明略）评注：寻求全等的条件，在证明两条线段（或两个角）相等时，若它们所在的两个三角形不全等，就必须添加辅助线，构造全等三角形，常见辅助线有：连结某两个已知点；过已知点作某已知直线的平行线；延长某已知线段到某个点，或与已知直线相交；作一角等于已知角。来源:21世纪教育网 【例2】如图，已知在ABC中，C2B，12，求证：ABACCD。分析：采用截长补短法，延长AC至E，使AEAB，连结DE；也可在AB上截取AEAC，再证明EBCD（证明略）。探索与创新：【问题一】阅读下题：如图，P是ABC中BC边上一点，E是AP上的一点，若EBEC，12，求证：APBC。证明：在ABE和ACE中，EBEC，AEAE，12 ABEACE（第一步） ABAC，34（第二步） APBC（等腰三角形三线合一）上面的证明过程是否正确？若正确，请写出每一步的推理依据；若不正确，请指出关键错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程。略解：不正确，错在第一步。正确证法为：BECEEBCECB 又12ABCACB，ABAC21世纪教育网ABEACE（SAS）34 又ABAC21世纪教育网APBC评注：本题是以考查学生练习中常见错误为阅读材料设计而成的阅读性试题，其目的是考查学生阅读理解能力，证明过程中逻辑推理的严密性。阅读理解题是近几年各地都有的新题型，应引起重视。【问题二】众所周知，只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等，你能想办法安排和外理这三个条件，使这两个三角形全等吗？请同学们参照下面的方案（1）导出方案（2）（3）（4）。解：设有两边和一角对应相等的两个三角形，方案（1）：若这个角的对边恰好是这两边中的大边，则这两个三角形全等。方案（2）：若这个角是直角，则这两个三角形全等。方案（3）：若此角为已知两边的夹角，则这两个三角形全等。评注：这是一道典型的开放性试题，答案不是唯一的。如方案（4）：若此角为钝角，则这两个三角形全等。（5）：若这两个三角形都是锐解（钝角）三角形，则这两个三角形全等。能有效考查学生对三角形全等概念的掌握情况，这类题目要求学生依据问题提供的题设条件，寻找多种途径解决问题。本题要求学生着眼于弱化题设条件，设计让命题在一般情况不成立，而特殊情况下成立的思路。 4、如图，在ABC中，AD是A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB，PC，AB，AC，则与的大小关系是（ ） A、 B、C、 D、无法确定 4、如图，已知MON的边OM上有两点A、B，边ON上有两点C、D，且ABCD，P为MON的平分线上一点。问：（1）ABP与PCD是否全等？请说明理由。（2）ABP与PCD的面积是否相等？请说明理由。21世纪教育网五、补形法的应用一些几何题的证明或求解，由原图形分析探究，有时显得十分繁难，若通过适当的“补形”来进行，即添置适当的辅助线，将原图形填补成一个完整的、特殊的、简单的新图形，则能使原问题的本质得到充分的显示，通过对新图形的分析，使原问题顺利获解。这种方法，我们称之为补形法，它能培养思维能力和解题技巧。我们学过的三角形、特殊四边形、圆等都可以作为“补形”的对象。现就常见的添补的图形举例如下，以供参考。一、补成三角形1.补成三角形例1.如图1，已知E为梯形ABCD的腰CD的中点；证明：ABE的面积等于梯形ABCD面积的一半。分析：过一顶点和一腰中点作直线，交底的延长线于一点，构造等面积的三角形。这也是梯形中常用的辅助线添法之一。略证：2.补成等腰三角形例2 如图2.已知A90，ABAC，12，CEBD，求证：BD2CE分析：因为角是轴对称图形，角平分线是对称轴，故根据对称性作出辅助线，不难发现CF2CE，再证BDCF即可。略证：图33.补成直角三角形例3.如图3，在梯形ABCD中，ADBC，BC90，F、G分别是AD、BC的中点，若BC18，AD8，求FG的长。分析：从B、C互余，考虑将它们变为直角三角形的角，故延长BA、CD，要求FG，需求PF、PG。略解：4.补成等边三角形例4.图4，ABC是等边三角形，延长BC至D，延长BA至E，使AEBD，连结CE、ED。证明：ECED分析：要证明ECED，通常要证ECDEDC，但难以实现。这样可采用补形法即延长BD到F，使BFBE，连结EF。二、补成特殊的四边形1.补成平行四边形例5.如图5，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，并且E、F、G、H不在同一条直线上，求证：EF和GH互相平分。分析：因为平行四边形的对角线互相平分，故要证结论，需考虑四边形GEHF是平行四边形。略证：2.补成矩形图6例6.如图6，四边形ABCD中，A60，BD90，AB200m，CD100m，求AD、BC的长。分析：矩形具有许多特殊的性质，巧妙地构造矩形，可使问题转化为解直角三角形，于是一些四边形中较难的计算题不难获解。略解：图73.补成菱形例7.如图7，凸五边形ABCDE中，A=B120，EAABBC2，CDDE4，求其面积分析：延长EA、CB交于P，根据题意易证四边形PCDE为菱形。略解：图84.补成正方形例8.如图8，在ABC中，ADBC于D，BAC45，BD3，DC2。求ABC的面积。分析：本题要想从已知条件直接求出此三角形的面积确实有些困难，如果从题设BAC45，ADBC出发，可以捕捉到利用轴对称性质构造一个正方形的信息，那么问题立即可以获解。 略解：图95.补成梯形例9如图9，已知：G是ABC中BC边上的中线的中点，L是ABC外的一条直线，自A、B、C、G向L作垂线，垂足分别为A1、B1、C1、G1。求证：GG1 (2AA1BB1CC1)。分析：本题从已知条件可知，中点多、垂线多特点，联想到构造直角梯形来加以解决比较恰当，故过D作DD1L于D1，则DD1既是梯形BB1C1C的中位线，又是梯形DD1A1A的一条底边，因而，可想到运用梯形中位线定理突破，使要证的结论明显地显示出来，从而使问题快速获证。略证：六、三角形的有关概念知识考点：理解三角形三边的关系及三角形的主要线段（中线、高线、角平分线）和三角形的内角和定理。关键是正确理解有关概念，学会概念和定理的运用。应用方程知识求解几何题是这部分知识常用的方法。精典例题：【例1】已知一个三角形中两条边的长分别是、，且，那么这个三角形的周长的取值范围是（ ）A、 B、C、 D、分析：涉及构成三角形三边关系问题时，一定要同时考虑第三边大于两边之差且小于两边之和。答案：B变式与思考：在ABC中，AC5，中线AD7，则AB边的取值范围是（ ）A、1AB29 B、4AB24 C、5AB19 D、9AB19评注：在解三角形的有关中线问题时，如果不能直接求解，则常将中线延长一倍，借助全等三角形知识求解，这也是一种常见的作辅助线的方法。【例2】如图，已知ABC中，ABC450，ACB610，延长BC至E，使CEAC，延长CB至D，使DBAB，求DAE的度数。分析：用三角形内角和定理和外角定理，等腰三角形性质，求出DE的度数，即可求得DAE的度数。略解：ABDB，ACCE DABC，EACB DE（ABCACB）530 DAE1800（DE）1270探索与创新：【问题一】如图，已知点A在直线外，点B、C在直线上。21世纪教育网（1）点P是ABC内任一点，求证：PA；（2）试判断在ABC外，又和点A在直线的同侧，是否存在一点Q，使BQCA，并证明你的结论。 分析与结论：（1）连结AP，易证明PA；（2）存在，怎样的角与A相等呢？利用同弧上的圆周角相等，可考虑构造ABC的外接O，易知弦BC所对且顶点在弧AB，和弧AC上的圆周角都与A相等，因此点Q应在弓形AB和AC内，利用圆的有关性质易证明（证明略）。【问题二】如图，已知P是等边ABC的BC边上任意一点，过P点分别作AB、AC的垂线PE、PD，垂足为E、D。问：AED的周长与四边形EBCD的周长之间的关系？来源:21世纪教育网分析与结论：（1）DE是AED与四边形EBCD的公共边，只须证明ADAEBEBCCD（2）既有等边三角形的条件，就有600的角可以利用；又有垂线，可造成含300角的直角三角形，故本题可借助特殊三角形的边角关系来证明。略解：在等边ABC中，BC600 又PEAB于E，PDAC于D BPECPD300 不妨设等边ABC的边长为1，BE，CD，那么：BP，PC，而AE，AD AEAD 又BECDBC21世纪教育网 ADAEBEBCCD 从而ADAEDEBEBCCDDE 即AED的周长等于四边形EBCD的周长。 评注：本题若不认真分析三角形的边角关系，而想走“全等三角形”的道路是很难奏效的。七、 全等三角形知识考点：掌握用三角形全等的判定定理来解决有关的证明和计算问题，灵活运用三角形全等的三个判定定理来证明三角形全等。精典例题：【例1】如图，已知ABBC，DCBC，E在BC上，AEAD，ABBC。求证：CECD。分析：作AFCD的延长线（证明略）评注：寻求全等的条件，在证明两条线段（或两个角）相等时，若它们所在的两个三角形不全等，就必须添加辅助线，构造全等三角形，常见辅助线有：连结某两个已知点；过已知点作某已知直线的平行线；延长某已知线段到某个点，或与已知直线相交；作一角等于已知角。来源:21世纪教育网 【例2】如图，已知在ABC中，C2B，12，求证：ABACCD。分析：采用截长补短法，延长AC至E，使AEAB，连结DE；也可在AB上截取AEAC，再证明EBCD（证明略）。探索与创新：【问题一】阅读下题：如图，P是ABC中BC边上一点，E是AP上的一点，若EBEC，12，求证：APBC。证明：在ABE和ACE中，EBEC，AEAE，12 ABEACE（第一步） ABAC，34（第二步） APBC（等腰三角形三线合一）上面的证明过程是否正确？若正确，请写出每一步的推理依据；若不正确，请指出关键错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程。略解：不正确，错在第一步。正确证法为：BECEEBCECB 又12ABCACB，ABAC21世纪教育网ABEACE（SAS）34 又ABAC21世纪教育网APBC评注：本题是以考查学生练习中常见错误为阅读材料设计而成的阅读性试题，其目的是考查学生阅读理解能力，证明过程中逻辑推理的严密性。阅读理解题是近几年各地都有的新题型，应引起重视。【问题二】众所周知，只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等，你能想办法安排和外理这三个条件，使这两个三角形全等吗？请同学们参照下面的方案（1）导出方案（2）（3）（4）。解：设有两边和一角对应相等的两个三角形，方案（1）：若这个角的对边恰好是这两边中的大边，则这两个三角形全等。方案（2）：若这个角是直角，则这两个三角形全等。方案（3）：若此角为已知两边的夹角，则这两个三角形全等。评注：这是一道典型的开放性试题，答案不是唯一的。如方案（4）：若此角为钝角，则这两个三角形全等。（5）：若这两个三角形都是锐解（钝角）三角形，则这两个三角形全等。能有效考查学生对三角形全等概念的掌握情况，这类题目要求学生依据问题提供的题设条件，寻找多种途径解决问题。本题要求学生着眼于弱化题设条件，设计让命题在一般情况不成立，而特殊情况下成立的思路。跟踪训练：一、填空题：1、三角形的三边为1，9，则的取值范围是 。2、已知三角形两边的长分别为1和2，如果第三边的长也是整数，那么第三边的长为 。3、在ABC中，若C2（AB），则C 度。4、如果ABC的一个外角等于1500，且BC，则A 。5、如果ABC中，ACB900，CD是AB边上的高，则与A相等的角是 。6、如图，在ABC中，A800，ABC和ACB的外角平分线相交于点D，那么BDC 。7、如图，CE平分ACB，且CEDB，DABDBA，AC18cm，CBD的周长为28 cm，则DB 。8、纸片ABC中，A650，B750，将纸片的一角折叠，使点C落在ABC内（如图），若1200，则2的度数为 。9、在ABC中，A500，高BE、CF交于点O，则BOC 。10、若ABC的三边分别为、，要使整式，则整数应为 。 二、选择题：1、若ABC的三边之长都是整数，周长小于10，则这样的三角形共有（ ）A、6个 B、7个 C、8个 D、9个2、在ABC中，ABAC，D在AC上，且BDBCAD，则A的度数为（ ）A、300 B、360 C、450 D、7203、等腰三角形一腰上的中线分周长为15和12两部分，则此三角形底边之长为（ ）A、7 B、11 C、7或11 D、不能确定4、在ABC中，B500，ABAC，则A的取值范围是（ ）21世纪教育网A、00A1800 B、00A800C、500A1300 D、800A13005、若、是三角形的三个内角，而，那么、中，锐角的个数的错误判断是（ ） A、可能没有锐角 B、可能有一个锐角C、可能有两个锐角 D、最多一个锐角6、如果三角形的一个外角等于它相邻内角的2倍，且等于它不相邻内角的4倍，那么这个三角形一定是（ ） A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、正三角形三、解答题：1、有5根木条，其长度分别为4，8，8，10，12，用其中三根可以组成几种不同形状的三角形？2、长为2，3，5的线段，分别延伸相同长度的线段后，能否组成三角形？若能，它能构成直角三角形吗？为什么？来源:21世纪教育网3、如图，在ABC中，A960，延长BC到D，ABC与ACD的平分线相交于，BC与CD的平分线相交于，依此类推，BC与CD的平分线相交于，则的大小是多少？4、如图，已知OA，P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），AON600，填空：（1）当OP 时，AOP为等边三角形；（2）当OP 时，AOP为直角三角形；（3）当OP满足 时，AOP为锐角三角形；（4）当OP满足 时，AOP为钝角三角形。 跟踪训练：一、填空题：1、若ABCEFG，且B600，FGEE560，则A 度。2、如图，ABEFDC，ABC900，ABDC，那么图中有全等三角形 对。3、如图，在ABC中，C900，BC40，AD是BAC的平分线交BC于D，且DCDB35，则点D到AB的距离是 。 4、如图，在ABC中，ADBC，CEAB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件： ，使AEHCEB。5、如图，把一张矩形纸片ABCD沿BD对折，使C点落在E处，BE与AD相交于点O，写出一组相等的线段 （不包括ABCD和ADBC）。6、如图，EF900，BC，AEAF。给出下列结论：12；BECF；ACNABM；CDDN。其中正确的结论是 （填序号）。二、选择题：1、如图，ADAB，EAAC，AEAD，ABAC，则下列结论中正确的是（ ） A、ADFAEG B、ABEACDC、BMFCNG D、ADCABE 2、如图，AEAF，ABAC，EC与BF交于点O，A600，B250，则EOB的度数为（ ） A、600 B、700 C、750 D、8503、如果两个三角形的两边和其中一边上的高分别对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角（ ） A、相等 B、不相等 C、