向量组与矩阵ppt课件

1向量组与矩阵2极大线性无关组与向量组的秩3向量组的秩与矩阵秩的关系,第三章第二讲,1,一、向量组与矩阵,由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.,m个n维的行向量所组成的向量组构成矩阵：,n个m维的列向量所组成的向量组构成矩阵：,2,向量组称为矩阵A的行向量组,问题：是否可以利用矩阵来研究向量组的相关问题？,3,例如研究列向量组的线性相关性，只须考察方程,是否有非零解。,利用矩阵乘法，方程变形为,这样由上一章线性方程组有解的条件可得如下结论：,4,行向量组线性相关的充要条件是,线性无关的充要条件是,推论,定理1,若列向量组所构造的矩阵A，则,例1讨论下列向量组的线性相关性,解（1）向量组是3个二维向量，故线性相关。,（2）由矩阵,5,(1)如果线性相关，那么也线性相关。,定理3在r维向量组的各向量添上n-r个分量变成n维向量组。,(2)如果线性无关，那么也线性无关。,定理2设p1,p2,pn为1，2，n的一个排列，和为两向量组，其中,即是对各分量的顺序进行重排后得到的向量组，则这两个向量组有相同的线性相关性。,6,证明：考察向量组,设,则其行列式|B|为范德蒙行列式，,所以线性无关，,从而线性无关。,7,二、极大线性无关组与向量组的秩,定义1一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这向量组中向这部分组任意添一个向量（如果还有的话），所得的部分组都线性相关。极大无关组中向量的个数就称为向量组的秩。,易知有如下结论：（1）一向量组的极大线性无关组与向量组本身等价。（2）向量组线性无关当且仅当其秩等于向量组所含向量的个数。,例3基本向量组是Rn的极大无关组。,解由上一节，基本向量组是线性无关的，且任何一个n维向量都可以由它线性表示（即坐标表示）。,8,定理4如果向量组能由向量组线性表出，且向量组A线性无关，那么。,证明,不妨设所给向量都是列向量，记矩阵,由已知可得,记,则,反证法，假设，则矩阵K的列向量组线性相关，即有不全为0的数,使得,9,即,与向量组A线性无关矛盾，所以,推论2等价的向量组必有相同的秩。,推论1等价的线性无关向量组必含有相同个数的向量。,推论3秩为r的向量组中任意含r个向量的线性无关的部分组都是极大线性无关组。,10,三、向量组的秩与矩阵的秩的关系,设矩阵,则矩阵A可以看作由m个n维行向量或n个m维列向量构成，从而可以得到一个行向量组和列向量组。矩阵A行向量组的秩称为A的行秩，列向量组的秩称为列秩。,11,定理5矩阵的行秩等于列秩等于矩阵的秩。,证设矩阵A的行秩为r1,A的列秩为r2。,那么,A中有r1个行向量线性无关,从而A中有一个r1级子式D不为零,那么A中子式D所在的r1个列向量也线性无关;,即有。再由矩阵秩的定义，,证毕。,定理6如果矩阵A经过有限次初等行变换变为B,则A的列向量与B中对应的列向量有相同的线性关系。,因此，我们不仅可以利用矩阵的初等行变换求出列向量的秩，还可以进一步确定其中某个部分组的线性相关性，并求出出它的极大线性无关组。,同理可证。,因而。,12,例4求下面向量组的秩和一个极大无关组，并把不属于该极大无关组的向量用该极大无关组线性表示：,解把向量组按列排成矩阵A,13,注意：求向量组的秩和极大线性无关组时，若所给向量是行向量，也要先按列排成矩阵，再作初等行变换。若没有要求交其余向量用所求的极大线性无关组线性表示，则只要化为行阶梯形就行了，而不必化为行最简形。,14,例5求下面向量组的秩和一个极大无关组：,解把向量组按列排成矩阵A,15,四、小结,初等变换法求秩,3.向量组的秩的概念及与矩阵秩的关系,(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).,2.极大线性无关向量组的概念