函数单调性奇偶性经典例题

函数的性质的运用1若函数是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数图象上的是（ ）A. B. C. D.2. 已知函数是奇函数，则的值为（ ）A B C D3已知f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，若，则f（x）的解析式为_4已知函数f（x）为偶函数，且其图象与x轴有四个交点，则方程f（x）0的所有实根之和为_5.定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log3且对任意x，yR都有f(x+y)=f(x)+f(y)(1)求证f(x)为奇函数；(2)若f(k3)+f(3-9-2)0对任意xR恒成立，求实数k的取值范围6.已知定义在区间（0，+）上的函数f(x)满足f(=f(x1)-f(x2)，且当x1时，f(x)0.（1）求f(1)的值；（2）判断f(x）的单调性；（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)-2.7.函数f(x)对任意的a、bR,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x0时，f(x)1.（1）求证：f(x)是R上的增函数；（2）若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)3. 8.设f（x）的定义域为（0，+），且在（0，+）是递增的，（1）求证：f（1）=0，f（xy）=f（x）+f（y）；（2）设f（2）=1，解不等式。9.设函数对都满足,且方程恰有6个不同 的实数根，则这6个实根的和为（ ）A 0 B9 C12 D1810.关于的方程 的两个实根 、 满足 ， 则实数m的取值范围 11.已知函数满足，且1,1时， 则与的图象交点的个数是( )A3 B4 C5D612.已知函数满足：，则；当时，则 13.已知函数f(x)在(1，1)上有定义，f()=1,当且仅当0x1时f(x)0,且对任意x、y(1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试证明：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(1，1)上单调递减.14.函数f(x)=的图象( )A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于直线x=1对称15.函数f(x)在R上为增函数，则y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是_.16.若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d满足f(0)=f(x1)=f(x2)=0 (0x11).(1)证明：函数f(x)在(1，+)上为增函数.(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.18.求证函数f(x)=在区间(1，+)上是减函数.19设函数f(x)的定义域关于原点对称且满足：(i)f(x1x2)=；(ii)存在正常数a使f(a)=1.求证：(1)f(x)是奇函数.(2)f(x)是周期函数，且有一个周期是4a.20.已知函数f(x)的定义域为R，且对m、nR,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)1,且f()=0,当x时，f(x)0.(1)求证：f(x)是单调递增函数；(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证.21.已知奇函数f(x)是定义在(3，3)上的减函数，且满足不等式f(x3)+f(x23)0,设不等式解集为A，B=Ax|1x,求函数g(x)=3x2+3x4(xB)的最大值.22.设f(x)是(,+)上的奇函数，f(x+2)=f(x),当0x1时，f(x)=x,则f(7.5)等于( )A.0.5B.0.5C.1.5D.1.523.已知定义域为(1，1)的奇函数y=f(x)又是减函数，且f(a3)+f(9a2)0,则a的取值范围是( )A.(2，3)B.(3，)C.(2，4)D.(2，3)24.若f(x)为奇函数，且在(0，+)内是增函数，又f(3)=0,则xf(x)0的解集为_.25.如果函数f(x)在R上为奇函数，在(1，0)上是增函数，且f(x+2)=f(x),试比较f(),f(),f(1)的大小关系_.参考答案6.（1）f(1) = f(1/1) = f(1) - f(1) = 0。（2）当0 x 1，所以f(y) - f(x) = f(y/x) 9 x9或x-97.（1）设x1,x2R，且x1x2, 则x2-x10,f(x2-x1)1. f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+x1)-f(x1) =f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1) =f(x2-x1)-10. f（x2）f(x1).即f(x)是R上的增函数. （2）f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5，f（2）=3，原不等式可化为f(3m2-m-2)f(2),f(x)是R上的增函数，3m2-m-22, 解得-1m ,故解集为 . 13.证明：(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=x,得f(x)+f(x)=f()=f(0)=0f(x)=f(x).f(x)为奇函数.(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减.令0x1x21,则f(x2)f(x1)=f(x2)f(x1)=f()0x1x20,1x1x20，0,又(x2x1)(1x2x1)=(x21)(x1+1)0x2x11x2x1,01,由题意知f()0，即f(x2)0.又知0x1x,得x1+x20,b=a(x1+x2)0.答案：(,0）17.证明：(1）设1x1x2+,则x2x10, 1且0,0,又x1+10,x2+100,于是f(x2)f(x1)=+ 0f(x)在(1，+）上为递增函数.(2）证法一：设存在x00(x01)满足f(x0)=0,则且由01得01,即x02与x00矛盾，故f(x)=0没有负数根.证法二：设存在x00(x01)使f(x0)=0,若1x00,则2,1,f(x0)1与f(x0)=0矛盾，若x01,则0, 0，f(x0)0与f(x0)=0矛盾，故方程f(x)=0没有负数根.18.证明：x0,f(x)=,设1x1x2+,则.f(x1)f(x2),故函数f(x)在(1，+）上是减函数.19.证明：(1）不妨令x=x1x2,则f(x)=f(x2x1)= =f(x1x2)=f(x).f(x)是奇函数.(2）要证f(x+4a)=f(x),可先计算f(x+a),f(x+2a).f(x+a)=fx(a)=.f(x+4a)=f(x+2a)+2a=f(x),故f(x)是以4a为周期的周期函数.20.证明：设x1x2,则x2x1,由题意f(x2x1)0,f(x2)f(x1)=f(x2x1)+x1f(x1)=f(x2x1)+f(x1)1f(x1)=f(x2x1)1=f(x2x1)+f()1=f(x2x1)0,f(x)是单