1-2-2-2 整数裂项-教师用

整数裂项整数裂项 知识点拨知识点拨 整数裂项基本公式 1 (1)12 23 34. (n 1)n(n1)n(n1) 3 1 (2)123 234345.(n2)(n1)n (n2)(n1)n(n1) 4 【例【例 1 1】1 2 23 3 4 4950=_=_ 【考点】整数裂项【难度】3 星【题型】计算 【解析】这是整数的裂项。裂项思想是：瞻前顾后，相互抵消。 设 S1 2 23 3 4 4950 123123 23323（41）234123 34334（52）345234 495034950（5148）=495051484950 3S12323334349503495051 S495051341650 【答案】41650 1 2 23 34 45 56 67 78 89 910 _【巩巩固固】 【考点】整数裂项【难度】3 星【题型】计算 【解析】本题项数较少，可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和，但是对于项数较多的情况显然 不能这样进行计算对于项数较多的情况，可以进行如下变形： nn 1n 2n 1nn 111 nn 1nn 1n 2 n 1nn 1， 333 111 1 1 所以原式123234123910118910 333 33 1 91011330 3 另解：由于nn1 n2 n，所以 原式 121 222 929 例题精讲例题精讲 11 12 22921 2991019910 330 62 1 采用此种方法也可以得到12 23 nn1nn1n 2这一结论 3 【答案】330 【例【例 2 2】1 4 47 710 4952=_ 【考点】整数裂项【难度】3 星【题型】计算 【解析】设设 S14 47 710 4952 149147142 47947（101）4710147 7109710（134）710134710 . 495294952（5546）495255464952 9S495255142 S=（495255142）915572 【答案】15572 【例【例 3 3】1 23 23 4 3 45 91011 【考点】整数裂项【难度】3 星【题型】计算 11 【解析】nn1n 2nn1n 2n3 n1nn 1n 2，所以， 44 111 1 1 原式123423451234 9101112891011 444 44 1 9101112 2970 4 1 从中还可以看出，123 234345 nn1n 2nn1n 2n3 4 【答案】2970 【例【例 4 4】 计算：计算：135 357 171921 【考点】整数裂项【难度】3 星【题型】计算 【解析】可以进行整数裂项 357 579 35791357 ， 8 579113579 ， 8 1719212315171921 ， 8 357913571719212315171921 88 171921 所以原式 135 135 17192123135717192123135 19503 88 也可适用公式 原式3 233 25 255 21921919 2 32223522251922219 335319343519 1333531934135193 而133353193 13 2333 203 23 4363 203 11 202212810211219900， 44 13519 10 100，所以原式19900 4100 3 19503 【答案】19503 【巩巩固固】计计算：算：1016 22 16 22 28 707682 768288 【考点】整数裂项【难度】3 星【题型】计算 【解析】可进行整数裂项： 10162228 4101622 16222834 10162228 原式= 2424 2 7076828864707682 76828894 70768288 2424 1016222841016221622283410162228 = 24242424 70768288647076827682889470768288 24242424 768288944101622 = 2424 768288944101622 = 24 =2147376 【答案】2147376 【巩巩固固】计计算：算：1 23 4 3 456 5678 979899100 【考点】整数裂项【难度】3 星【题型】计算 【解析】一般的整数裂项各项之间都是连续的，本题中各项之间是断开的，为此可以将中间缺少的项补上， 再进行计算 记原式为A，再设B 2345 4567 6789 96979899， 则A B 1 23 4 23 45 3 456 979899100 1 9798991001011901009880， 5 现在知道A与B的和了，如果能再求出A与B的差，那么A、B的值就都可以求出来了 A B 1 23 4 23 45 3 456 4567 5678 979899100 4(123 345567 .979899) 2222 42(2 1) 4(4 1)6(6 1)98(98 1) 4(23 4363983)4(2 4698) 11 48492502410049 48010200 42 所以，A 1901009880 480102002 974510040 【答案】974510040 【例【例 5 5】2004 2003 2003 2002 2002 2001 20012000 21 【考点】整数裂项【难度】3 星【题型】计算 【解析】原式 20032 20012 32 1 2 2135 2001 2003 21 200310022 2008008 其中也可以直接根据公式13572n1 n2得出 135 2001 2003 10022 【答案】2008008 【例【例 6 6】11! 2 2! 33! 2008 2008! 【考点】整数裂项【难度】4 星【题型】计算 【解析】观察发现22! 221 (31)21 3! 2!， 33! 3321 (4 1)321 4!3!， 20082008! 20082008200721 (2009 1)2008200721 2009! 2008! ， 可见，原式1! (2!1!) (3! 2!) (2009! 2008!) 2009! 【答案】2009! 【例【例 7 7】 计算： 12345699100 23 459899 【考点】整数裂项【难度】5 星【题型】计算 【解析】设原式= B A A B 1 2 23 3 4 9899 99100 1 3 1 2 3 0 1 2 2 3