概率论第1章ppt课件

.,概率论与数理统计,参考书:（1）概率论与数理统计.浙大盛骤等编高教出版社（2）概率论与数理统计上海市教委组编科学出版社（3）概率论与数理统计同济数学系编同济出版社,绪论1.概率论研究的对象:随机现象的统计规律性.2.排列与组合,.,例:1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字可以排成多少个数字不重复的三位数;其中偶数有多少个;可以排成多少个数字允许重复的三位数;如果允许两个数字可以重复的有多少个;恰有两个数字重复的有多少个.16支中超球队进行单循环赛,共需赛几场;如果进行双循环赛,共需赛几场.24支球队先分为4组进行单循环赛，每组的前2名再进行淘汰赛，共需赛几场。52张扑克牌分给4个人,每人13张,共有多少种不同的分法.,.,第一章随机事件及其概率,1.1随机事件,一、随机现象,在一定条件下必然发生或必然不发生的现象称确定性现象在一定条件下其可能结果不止一种,且事先不能确定哪一种结果发生,这种现象称为随机现象.(不确定现象)也可以说:个体试验中其结果呈现出不确定性，在大量重复试验中其结果具有一定的规律性的现象，称之为随机现象。,.,二、随机试验,若某种试验具有以下的特点：1.可重复性。在相同条件下可重复地进行；2.可观察性。每次试验的可能结果不止一个，所有可能的结果事先知道；3.不确定性。试验之前不能确定哪一种结果发生;这种试验称为随机试验。通常用E表示也可以说:对随机现象的观察称为随机试验.,例:E1：将一枚硬币抛掷一次，观察出现正反面的情况;E2：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数；E3：抛一颗骰子，观察其出现的点数；E4：在一个袋子中放有4黑2白6个球，反复从袋中摸一个球，观察其颜色后，再放回袋中，记录第一次摸到白球时已进行的摸球次数；E5:观察上海市一天的用电量。,.,三、样本空间,我们将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为样本空间，记为S，称样本空间的元素为样本点。样本空间中的元素可以是有限个，也可以是无穷多个，甚至可以组成一个或几个区间。,上抛一枚分币,S1：正，反；抛一颗骰子,S2:1，2，3，4，5，6向一个目标射击,直到射中为止,观察其射击次数,S3：观察上海市一天的用电量,S4:(0,+),.,四、随机事件,随机试验的一种可能结果称为一个随机事件简称事件，因此事件是样本空间S的一个子集。只包含一个样本点的称为基本事件，必然发生的事件（样本空间S）称为必然事件，必然不发生的事件（空集）称为不可能事件。,事件由基本事件组成，即事件可以分解为基本事件的并.在一次试验中，只要这个事件包含的基本事件中有一个基本事件发生，则这一事件就发生。,例:E:抛一颗骰子,S1,2,3,4,5,6A:3;B:1,2,3;C:2,4,6,A,B,C都是事件其中A是基本事件,B,C不是基本事件称为复合事件复合事件可以分解为基本事件的并.,.,五、事件的运算和关系(1)包含A发生必导致B发生称B包含A记为,(2)和(并)运算A,B至少一个发生称A,B的和(并)，,类似可定义；,(3)积(交)运算A,B同时发生称A,B的积(交),类似可定义；,（4）差运算A发生B不发生称A,B的差A-B,（5）若，称A，B互不相容（互斥)即A,B不同时发生(注:基本事件都是互不相容的),（6）若且则称A，B互为逆事件（对立事件），A的对立事件记作为注意：互逆一定互斥，互斥不一定互逆。,.,例:E:掷一颗骰子,S1,2,3,4,5,6A:点数小于4;B:点数为偶数;C:点数大于等于3;D:点数为奇数;M:点数大于等于5.求:.,.,六、事件运算定律,（1）交换律,（2）结合律,（3）分配律,（4）德摩根律,.,例：向一个目标射击三枪,Ai表示第i枪射中,试用事件的运算表示以下事件：（1）第一、第三枪至少有一枪射中；（2）只有第二枪射中；（3）只射中一枪；（4）至少射中一枪；（5）三次都没中；（6）最多射中二枪。,.,例：投掷一颗骰子,观察出现的点数,A表示”奇数点”,B表示”点数小于3”,C表示”大于3的偶数”,则下列事件表示什么?,.,1.2随机事件的概率,一、频率及其性质,定义:如果事件A在n次试验中发生了次,则称为A发生的频率.,频率的性质:(1)；(2)；(3)设是两两互不相容事件，则,事件A的频率反映了A发生的频繁程度,显然频率越大A在一次试验中发生的可能性也越大,因此频率在一定程度上可以反映事件A发生的可能性的大小.,.,二概率的定义,设S是随机试验E的样本空间，对于E的每一个事件A都有一个实数和它对应，并且满足以下条件：,(1)非负性对每一个事件A，都有；(2)完备性；(3)可列可加性设是可列个两两互不相容的事件,则有,则称是事件A的概率。这个定义又称概率的公理化定义.,对相同的n,频率可能也不同,但人们通过实践发现当n很大时,频率会在一个确定的值附近摆动,这称为频率的稳定性.,.,三、概率的性质,(1)；,(2)有限可加性设是两两互不相容事件，则;,(3)设A，B是两个事件，若，则,并且;,(4)对于任一事件A，都有；,(5)对于任一事件A，有；,(6)加法公式对于任意两个事件A、B，有,.,性质(6)还可以作以下进一步的推广：,.,当A、B不相容时，,几个常用的概率公式,.,四、举例,（1）设，求；,(2)若，求；,(3)已知事件A、B满足条件，且,求,.,1.古典概型和几何概型,一、古典概型定义,我们将满足以下条件的试验称为古典概型：,通常，也把它称为等可能概型。,(1)试验的样本空间只包含有限个元素；(2)试验中每个基本事件发生的可能性相同；,.,设试验的样本空间为，若事件中包含个基本事件，即，则有。,例1：将一枚硬币抛掷三次，（1）设事件为“恰有一次出现正面”；（2）设事件为“至少有一次出现正面”，求。又若抛n次呢?,二、举例,.,例2有6只球，4只白球，2只黑球，从中任意取出2只，采用有放回和无放回两种取法，求（1）取到的两只球具有相同颜色的概率；（2）取到的两只球中一只白球一只黑球的概率；（3）取到的两只球中至少有一只是白球的概率。又设:100件产品中有5件次品，从中任取7件，求：恰有2件次品的概率；至少有2件次品的概率；至多有2件次品的概率；,一般地，有N件产品，其中有件次品，从中任取件，问其中恰有件次品的概率为多少？,.,例3：将只球随机地放入个盒子中，试求:A:每个盒子至多只有一只球的概率。.B:至少有两个球落入同一个盒子的概率.现假定一个人的生日是一年365天中的任意一天是等可能的，那么在50人的班级中至少有二人的生日是在同一天的概率是多少,例4:从5双不同的鞋中任取4只,求这4只鞋中至少有2只能够配成1双的概率是多少,.,例5：在的整数中随机地取一个数，问取到的整数不能被6整除，又不能被8整除的概率是多少？,例6：52张扑克牌随机发给4个人，每人13张，求：其中有一个人能拿到4张“A”的概率是多少。,例7：3个球随机放入4个杯子,分别求杯子中至多有1个球的概率；求一个杯子中恰有2个、3个球的概率。,.,几何概型,对于样本空间是一段线段或一个平面区域(空间区域)要求等可能随机事件的概率,这就是几何概率.,例:甲乙两人约定七点到八点在某地会面,两人在这一小时内的任一时刻到达约会点的可能性相等,先到者会等候20分钟,过时不候,求两人能会面的概率.,.,1.4条件概率,定义1：设A、B是两个事件，且P(A)0，称P(AB)/P(A)为在事件A已经发生的条件下事件B发生的条件概率，记作P(B|A)。例：投两颗骰子，x,y分别表示两颗骰子的点数，A表示“x+y=10”,B表示“xy”,求：P(A|B)和P(B|A),一条件概率,.,条件概率符合概率定义中的三个条件：,(1)非负性：对于每一事件B，都有；,(2)规范性：；,(3)可列可加性：设是两两互不相容的事件，则有。,注意:条件概率也是概率,符合概率的所有性质.如:,.,二乘法定理,（1）设，则有；,（2）设，则有,（3）设，则有,.,举例,例1：设求，和。,例2：设袋中装有只红球，只白球，每次从袋中任意取一只球，观察其颜色然后放回，并再放入只与所取出的那只球同色的球，若在袋中连续取球四次，试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率。,.,三、全概率公式,定义1：设S为试验的E样本空间，为E的一组完备事件组，即满足（1）；（2）；则称为样本空间S的一个划分。,.,定理1：设随机试验E的样本空间为S，A为E的事件，为S的一个划分,且，则。,上式称为全概率公式。,例1：某厂有三个车间生产同一种产品，产量分别占总产量的50%，25%，25%，三个车间的合格率分别为98%，98%，96%，现从全部产品中任取一个求该产品是不合格品的概率是多少？又若已知该产品不合格，求该产品是由二车间生产的概率.这是一个比较复杂的条件概率.,.,例2：一打产品中有3个次品，现从中任取3次，每次取1个，取后不放回，求：第三次才取到正品的概率；再求：第三次取到正品的概率。,定理2：设随机试验E的样本空间为S，A为E的事件，为S的一个划分，且，则上式称为贝叶斯公式。,四贝叶斯（Bayes）公式,全概率公式求的是先验概率；贝叶斯公式求的是后验概率。,.,例4：现有甲、乙两个盒子，甲盒中有2黑1白三个球，乙盒中有1黑5白六个球。现随机从乙盒中取一球放入甲盒，然后再从甲盒中随机取一球，如果从甲盒中取出的恰好是黑球，问从乙盒中放入甲盒的那个球也是黑球的概率。,例5：10个球中有7个新球,第一次从中任取2个,用后放回,第二次又从中任取2个,求:第二次取到的2个都是旧球的概率;又若已知第二次取到的2个都是旧球,求:第一次取到的是1新1旧的概率.,例3：某地区某种癌的发病率为0.0005,根据统计癌症病人中95%的人验血的某种指标为阳性，而正常人中95%的人该指标为阴性。现有一人验血结果为阳性，求此人真得癌症的概率。,.,1.5事件的独立性与贝努利概型,一、随机事件的独立性定义,若，有时，A的发生对B发生的概率是有影响的。有时也可能B发生的概率不受A发生的影响，即A发生与否与B的发生无关这也就意味着，这样。这时就称A、B是相互独立的，所以采用以下的定义来定义两个事件的独立性。,定义1：设A、B是两个事件，如果满足则称事件A、B相互独立（简称独立）。,.,定义2：设是A、B、C三个事件，如果满足则称A、B、C事件相互独立，若满足前三个条件,则称A、B、C两两独立。,可以将独立性的概念推广到三个事件,独立性是指一个事件的发生与否不影响另一个事件的发生。,同样，可将独立性的概念推广到个事件的情况。,.,注1：设A、B是两个事件，且,若A、B相互独立的，则，反之也成立。,注2：若事件A、B相互独立，则与，与，与各对事件也相互独立。,注3：要注意独立和不相容是两个不同的概念不相容（或互斥）意味着独立是意味着,注4:若A,B,C相互独立则A与B,A与C,B与C也都相互独立,.,二、举例,例1（1）若，求；（2）若A、B、C是两两独立事件,但不能同时发生，且，求;（3）设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1/9，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，求.,.,例2、一个元件（或系统）能正常工作的概率称为元件（或系统）的可靠性。如下图所示，设有4个独立工作的元件1，2，3，4按先串联再并联的方式连接。设第个元件的可靠性为，试求系统的可靠性。,例3书上28页第11题,.,伯努里(Bernoulli)概型,定义:只有两种可能结果的随机试验称为伯努里试验.将伯努里试验在相同条件下独立地重复n次,称n重伯努里试验.若在一次伯努里试验中事件A发生的概率为p,即:,求在一个n重伯努里试验中事件A发生k次的概率.,.,例1：甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局甲胜的概率为（）。问对甲而言，采用三局二胜制有利，还是采用五局三胜制有利？,例2：在某通信信道中，传送的字符为AAAA，BBBB，CCCC三者之一，假定传送这三组字符的概率分别0.3,0.4,0.3。由于信道噪声的干扰，每个字母被正