2017届高三上学期期中联考数学(理)试题带答案

2016201620172017 学年第一学期期中联考学年第一学期期中联考 高三年级数学（理科）试卷高三年级数学（理科）试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分）分） 1. 1. 若集合M x| y x,N y | y x22,xR,则M N （） A.0,) B.2,) C. D.2,0) 2.若 1 a 1 b 0，则下列结论不正确的是（ ） Aa2 b2 Bab b2 Cab 0 D a b ab 3.下列说法不正确的是（） A.若“p且q”为假，则p，q至少有一个是假命题 B.命题“xR,x2 x1 0”的否定是“xR,x2 x1 0” C.“ 2 ”是“y sin2x 为偶函数”的充要条件 D.当 0时，幂函数y x在0,上单调递减 4.记 f (x) 2 x ，a f log 4 12 5,c f 0 ,则a,b,c 3 ,b f log 的大小关系为（） Aa b c Bc a b Ca c b Dc b a 5.函数y 2sin( 6 2x)(x0,)为增函数的区间是( ) A.0, 3 B. 12 , 7 C. 3 , 5 12 6 D. 5 6 , 2x1,x 2, 6. 已知函数f x 3 若方程 f (x)a x 1 ,x 2, 0有三个不同的实数根，则实数a 的 取值范围为（） A(1,3)B(0,3) C(0,2)D(0,1) 7.已知向量 a , b 的夹角为 120，且 a 2, b 3, 则向量 2a3b在向量2ab方向上 的投影为（） A 8 3 13 B 6 13 13 C 5 6 6 D 19 13 13 8若函数f (x) kax ax(a 0,a 1)在(,)上既是奇函数又是增函数，则函数 g(x) loga(xk)的图象是( ) ABCD 9对于使f (x) M恒成立的所有常数M中，我们把M的最小值叫做f (x)的上确界，若 a 0，b 0且ab 1，则 1 2a 2 b 的上确界为（） A 9 2 B 9 2 C 1 4 D4 10.定义在R上的函数f (x)满足 f (x 6) f (x)当x3,1时，f (x) (x2)2， 当x1,3时， f (x) x，则f (1) f (2) f (3) f (2017)的值为（） A.336 B.337 C.1676 D.2017 11.定义在 R 上的函数fx满足：fx1 f x, f00, f x是fx的导函数，则不等 式exf xex 1（其中 e 为自然对数的底数）的解集为（ ） A. 0, B. ,10, C. ,01, D. 1, 12已知aR，若f (x) (x a x x )e在区间（0，1）上只有一个极值点，则a的取值范围 为（） Aa 0 Ba 1 Ca 1 Da 0 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，每空小题，每空 5 5 分，共分，共 2020 分）分） 13.已知点P1,2，线段PQ的中点M的坐标为1,1若向量PQ与向量a (,1)共线， 则 _ 14. 由直线y =1,y 2,曲线xy 1及y轴所围成的封闭图形的面积是_. 15. 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 a n 满 足 a 1 a 7 4 , a 6 8 ， 若 函 数 f (x) a 2310 1 1 xa 2 x a 3 x a 10 x 的导数为 f (x) ，则f (2) . 16.已知 a2 a， b为正实数，直线 y xa 与曲线 y ln(x b) 相切，则 2b 的取值范围 _. 三、解答题三、解答题( (本大题共本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤步骤) ) 17.(10 分) 已知命题：“xx|1 x 1，使等式x2 xm 0成立”是真命题。 （）求实数m的取值集合M； （）设不等式(xa)(x a 2) 0的解集为N，若xN是xM的必要条件，求a 的取值范围。 18.(12 分) 如图，在四边形ABCD中，ABC 3 ，AB:BC 2:3，AC 7 （）求sin ACB的值； （）若BCD 3 4 ，CD 1，求CD的面积 19. (12 分)已知向量a sin(x 6 ),1 ，b 4,4cosx 3. （）若 a b ，求sin 4 x 3 的值； （）设 f (x) ab ，若 0, , f 2 6 2 3，求cos 的值 20. (12 分) 某厂有容量 300 吨的水塔一个,每天从早六点到晚十点供应生活和生产用水, 已知:该厂生活用水每小时 10 吨,工业用水总量W(吨)与时间t(单位:小时,规定早晨六点 时t 0)的函数关系为W 100 t,水塔的进水量有 10 级,第一级每小时进水 10 吨,以后每 提高一级, 进水量增加 10 吨.若某天水塔原有水 100 吨,在供应同时打开进水管.问该天进 水量应选择几级,既能保证该厂用水(即水塔中水不空),又不会使水溢出? 21.（12 分）设等差数列 a n 的前 n项和为S n ，a (a1,1),b (1,a10)，若 ab 24, 且 S11143，数列 b n 的前 n项和为T n ,且满足2an1 T n (a 1 1)(n N*). （）求数列a n 的通项公式及数列 1 a 的前n项和M n ； n a n1 （）是否存在非零实数，使得数列bn为等比数列？并说明理由. 22.(12 分)已知 f (x) ln(mx 1) 2(m 0) （）讨论f (x)的单调性； （）若m 0,g(x) f (x) 4 x2 存在两个极值点x 1,x2 且g(x 1) g(x2 ) 0，求m的取 值范围 2016201620172017 学年第一学期期中联考学年第一学期期中联考 高三年级数学（理科）参考答案高三年级数学（理科）参考答案 一、选择题 题 号 123456789101112 答 案 ADCBCDDCBBAA 二、填空题 13. 2551 3 14.ln2 15. 4 16.(0, 2 ) 三、解答题 17. 解析:(1)由题意知，方程x2 x m 0在(1,1)上有解，即m的取值范围就为函数 y x2 x在(1,1)上的值域，2 分 易得M m| 1 4 m 2。5 分 (2)因为xN是xM的必要条件，所以M N.6 分 当a 1时，解集N为空集，不满足题意；7 分 当a 1时，a 2 a，此时集合N x 2a x a 则2a 1 4 且a 2解得a 9 4 ；9 分 当a 1时，a 2a， 此时集合N x a x 2a， 则a 1 4 且2 a 2，解得a 1 4 ，11 分 综上，a 9 4 或a 1 4 。12 分 18. 解析:（1）由AB : BC 2:3，可设AB 2x，BC 3x又AC 7，ABC 3 ， 由余弦定理，得( 7)2 (3x)2(2x)223x2xcos 3 ，2 分 解得x 1，AB 2，BC 3，4 分 3 由正弦定理，得sinACB ABsinABC 2 2 AC 7 21 7 6 分 （2）由（1）得cosACB 2 7 7 7 分 因为BCD 3 4 ,所以ACD ACB 3 4 ,sinACD sin 3 4 ACB 8 分 sin 3 cos 322 7221 2314 4 ACB cos 4 sinACB 2 7 2 7 14 10 分 又因为CD 1,所以S 12 2 ACCDsinACD 2 6 4 12 分 19.解析：(1)因为a b ab 0 则ab 4sin(x 6 ) 4cosx 32 分 2 3sin x6cos x 3 4 3sin(x 3 )3 0，4 分 所以sin(x 3 ) 1 4 ，5 分 所以sin(x 4 3 ) sin(x 3 ) 1 4 .6 分 (2)由(1)知f (x) 4 3sin(x 3 )3， 所以由f ( 3 6 ) 2 3得sin( 6 ) 4 ，8 分 又 0, 2 2 ，所以 6 6 , 3 ， 又因为 233 2 4 2 ，所以 6 6 , 3 ，10 分 所以cos( 7 6 ) 4 ， 所以cos cos ( 6 ) 6 11 分 cos( 6 )cos 6 sin( 6 )sin 6 7 4 3 2 3 4 1321 2 8 .12 分 20解析:设水塔进水量选择第n级,在t时刻水塔中的水容量 y 等于水塔中的存水量 100 吨 加进水量10nt吨,减去生产用水10t吨,在减去工业用水W 100 t吨,即 y 10010nt 10t 100 t (0 t 16)；4 分 若水塔中的水量既能保证该厂用水,又不会使水溢出,则一定有0 y 300. 即0 10010nt 10t 100 t 300,6 分 所以 10 t 10 t 1 n 20 t 10 t 1对一切 t 0,16恒成立. 8 分 10 22 因为 t 10 t 1 10 1 t 1 2 7 2 720 2 , t 10 t 1 20 1 t 1 4 1 4 19 4 ,11 分 所以 7 2 n 19 4 ,即n 4.即进水选择 4 级. 12 分 21.解： （）设数列 a n 的公差为 d，由a (a 1,1),b (1,a10 )，ab 24,得a 1a10 24又 S 11 143解得a 1 3,d 2，因此数列的通项公式是a n 2n1(nN*)，3 分 所以 1 1 11 a n3 ， n a n1 22n12 所以M 1111111n n 2 3 5 5 7 2n 1 2n 3 6n 9 6 分 （）因为2an1TN*)且a 12 n (a 1 1)(n 1 3可得T n 4n ，7 分 当n 1时，b 6 1 ；8 分 当n 2时，bT 3 n1 b n n T n1 4,此时有n b 4，10 分 n1 若是b b6 b 4，而b 12 n 等比数列，则有有 2 1 ，b 2 1 ，彼此相矛盾， 故不存在非零实数，使数列为等比数列。12 分 22.解：（1）由已知得mx1 0, f (x) m mx1 ，1 分 若m 0时，由mx 1 0，得：x 1 m ，恒有f (x) 0， f (x)在( 1 m ,)递增；2 分 若m 0，由mx 1 0，得：x 1 m ，恒有f (x) 0， f (x)在(, 1 m )递减；4 分 综上，m 0时，f (x)在( 1 m ,)递增， m 0时，f (x)在(, 1 m )递减；5 分 （2）g(x) ln(mx1) 4 x2 2,(m 0)， g(x) mx24m4 (mx1)(x2)2 ，6 分 令h(x) mx24m4,m 1时，h(x) 0,g(x) 0,g(x)无极值点， 0 m 1时，令h(x) 0,得：x 1 2 1 m 1或x2 1 2 m 1，7 分 由g(x)的定义域可知x 1 m 且x 2， 2 1 m 1 1 m 且2 1 m 1 2，解得：m 1 2 ，8 分 x 1 ,x 2 为g(x)的两个极值点， 即x 1 1 2 m 1,x 2 1 2 m 1, 且x x 4(m1) 12 0,x 1 x 2 m ，得： g(x g(xln(mx 44 1)2 ) 1 1) x2 2ln(mx 2 1) x 2 1 2 2 =ln(2m1)2 2 2m1 2，9 分 令t 2m1,F(t) lnt2 2