3.2.1--古典概型

在数学的天地里，重要的不是我们知道了什么，而是我们怎样知道！毕达哥拉斯,1.互斥事件定义：不可能同时发生的两个事件。,4、概率公式：P（A+B）=P（A）+P（B）如果事件A，B互斥，那么事件A+B发生（即A，B中有一个发生）的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和。,2.对立事件定义：必有一个发生的互斥事件叫对立事件,集合角度：,AB=,ABI,AB=,复习回顾,3.两个事件的并（或和）的定义：,归纳出求解概率的算法：,（1）引用数学符号表示问题中的有关事件；,（2）判断各事件的互斥性；,（3）应用概率的加法公式进行计算；,（4）写出答案,1.我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如下表所示：,则年降水量在200，300（mm）范围内的概率是_.,0.25,2.某射手在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.24、0.28、0.19、0.16、0.13.计算这个射手在一次射击中：（1）射中10环或9环的概率，（2）至少射中7环的概率；（3）射中环数不足8环的概率.,0.52,0.87,0.29,3.某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是.,两次都不中靶,4.从1,2,3,4,5,6六个数字中任取三个（1）求恰有一个偶数的概率；（2）求至少有一个偶数的概率；（3）求至少有两个偶数的概率,1/2,9/20,19/20,1.掷一枚质地均匀的硬币，结果只有2个，即“正面朝上”或“反面朝上”，它们都是随机事件.,它们出现的机会是相等的，所以“正面朝上”和“反面朝上”的可能性都是,2.掷一颗骰子，观察出现的点数，这个试验的基本事件空间=1，2，3，4，5，6.,由于骰子的构造是均匀的，因此出现这6种结果的机会是相等的，即每种结果的概率都是,3.一先一后掷两枚硬币，观察正反面出现的情况，这个试验的基本事件空间是=(正,正)，(正,反)，(反,正)，(反,反).,它有四个基本事件，因为每枚硬币出现正面与出现反面的机会是相等的，所以这四个事件的出现是等可能的，每个基本事件出现的可能性都是,3.2古典概型,古典概型的概念,（1）一次试验中，所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件发生的可能性相等。,我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型。,并不是所有的试验都是古典概型。例如，在适宜的条件下“种下一粒种子观察它是否发芽”，这个试验的基本事件空间为发芽，不发芽，而“发芽”与“不发芽”这两种结果出现的机会一般是不均等的。又如，从规格直径为3000.6mm的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径d，测量值可能是从299.4300.6之间的任何一个值，所有可能的结果有无限多个。这两个试验都不属于古典概型。,例1.（1）向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，你认为这是古典概型吗？为什么？（2）如图所示，射击运动员向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中1环、命中2环、命中10环和命中0环(即不命中)。你认为这是古典概型吗？为什么？,解：（1）试验的所有可能结果是圆面内的所有点。试验的所有可能结果数是无限的。因此，尽管每一个试验结果出现的“可能性相同”，但是这个试验不是古典概型。,（2）试验的所有可能结果只有11个，但是命中10环、命中9环、命中1环和命中0环（即不命中）的出现不是等可能的。这个试验也不是古典概型。,一般地，对于古典概型，如果试验的n个基本事件为A1，A2，An，由于基本事件是两两互斥的，则有互斥事件的概率加法公式得,又因为每个基本事件的发生的可能性是相等的，即,所以,如果随机事件A包含的基本事件数为m，同样的，由互斥事件的概率加法公式可得,所以在古典概型中,例2.掷一颗骰子，观察掷出的点数，求掷得奇数点的概率。,解：这个试验的基本事件共有6个，即(出现1点)、(出现2点)、(出现6点)，所以基本事件数n=6，,事件A=(掷得奇数点)=(出现1点，出现3点，出现5点)，其包含的基本事件数m=3,所以，P(A)=0.5,例3.从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。,解：每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)。其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品.,用A表示“取出的两种中，恰好有一件次品”这一事件，则A=(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2).,事件A由4个基本事件组成，因而，P(A)=,例4.在例3中，把“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”其余不变，求取出两件中恰好有一件次品的概率。,解：有放回地连续取出两件，其一切可能的结果组成的基本事件空间=(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1),由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的。用B表示“恰好有一件次品”这一事件，则B=(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b2，a2).,事件B由4个基本事件组成，因此P(B)=,例5.甲、乙两人作出拳游戏(锤子、剪刀、布)，求：（1）平局的概率；（2）甲赢的概率；（3）乙赢的概率.,解：甲有3种不同点出拳方法，每一种出发是等可能的，乙同样有等可能的3种不同点出拳方法。,一次出拳游戏有9种不同的结果，可以认为这9种结果是等可能的。所以基本事件的总数是9.,平局的含义是两人出法相同，如图中的三个；,甲赢的事件为甲出锥，乙出剪等，也是三种情况，如图中的；,同样乙赢的情况是图中的三个。,按照古典概率的计算公式，设平局的事件为A；甲赢的事件为B，乙赢的事件为C，则,P(A)=P(B)=P(C)=,例6.抛掷一红、一篮两颗骰子，求（1）点数之和出现7点的概率；（2）出现两个4点的概率；,解：用数对(x，y)来表示掷出的结果，其中x是红骰子掷出的点数，y是蓝骰子掷出的点数，所以基本事件空间是,S=(x，y)|xN,yN,1x6,1y6.,事件的总数为36.,(1)记“点数之和出现7点”的事件为A,从图中可以看出事件A包括的基本事件有6个.,即(6,1),(5,2),(4,3),(3,4),(2,5),(1,6).,所以P(A)=,（2）记“出现两个4点”的事件为B，,则从图中看出，事件B包括的基本事件只有1个，即(4，4)。,所以P(B)=,拓展:(3)两数之和是3的倍数的概率是多少？(4)两数之和不低于10的的概率是多少？,求古典概型的算法：,（1）判断是否为等可能性事件；（2）列举所有基本事件的总结果数n（3）列举事件A所包含的结果数m（4）计算,当结果有限时，列举法是很常用的方法,注意：,1、一个口袋内装有20个白球和10个红球，从中任意取出一球。求：（1）取出的球是黑球的概率；（2）取出的球是红球的概率；（3）取出的球是白球或红球的概率；,0,1,课堂练习,2.一个口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出两个球，（1）共有多少个基本事件？（2）摸出的两个都是白球的概率是多少？,10,3/10,（1）从中任意取出两球，求取出是白球、红球的概率。（2）先后各取一球，求取出是白球、红球的概率。,3、一个口袋内装有白球、红球、黑球、黄球大小相同的四个小球，求：,4、用三种不同的颜色给图中的3个矩形随机涂色,每个矩形只能涂一种颜色,求:(1)3个矩形的颜色都相同的概率;(2)3个矩形的颜色都不同的概率.,解：本题的等可能基本事件共有27个,(1)同一颜色的事件记为A,P(A)=3/27=1/9;,(2)不同颜色的事件记为B,P(B)=6/27=2/9.,5.单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从,四个选项中选择一个正确的答案。,假设考生不会做，他随机地选择了一个答案，则他答对的概率为,如果该题是不定项选择题，假如考生也不会做，则他能够答对的概率为多少？此时比单选题容易了，还是更难了？,探究：,基本事件有15个：,A,B,C,D,AB,AC,AD,BC,BD,CD,ABC,ABD,BCD,ABCD,ACD,“答对”包含的基本事件数：,1,P（“答对”）,6、甲,乙两人做掷骰子游戏,两人各掷一次,谁掷得的点数多谁就获胜.求甲获胜的概率.,7、甲、乙、丙、丁四人做相互传球练习，第1次甲传给其他三人中的1人，第2次由拿球者再传给其他三人中的1人，这样一共传了4次，则第4次球仍然传回到甲的概率是多少？,8.设平面向量，其中m，n1,2,3,4（I）请列出有序