独立增量过程ppt课件

一、独立增量过程,二、泊松过程,三、维纳过程,四、高斯过程（正态过程）,第十章随机过程及统计描述,1,一、独立增量过程1定义设X(t),t0为一随机过程,对于0st,称随机变量X(t)-X(s)为随机过程在区间s,t上的增量.若对于任意的正整数n及任意的0t0t1t2=0，N(t)的状态空间为0,1,2,，具有如下性质：(1)N(0)=0，即初始时刻未收到任何呼叫；(2)在t,s)这段时间内收到的呼叫次数只与时间间隔s-t有关，而与时间起点t无关；(3)在任意多个不相重叠的时间间隔内收到的呼叫次数相互独立；,12,定义2:称计数过程N(t),t0为具有参数0的泊松过程，若它满足下列条件(1)N(0)=0；零初值性(2)N(t)是(平稳)独立增量过程；(3)对于任意的s,t0,N(t+s)-N(s)服从参数为t的泊松分布,从条件(3)：泊松过程的均值函数为,表示单位时间内质点出现的平均个数,故称为此过程的强度。,13,令N(s,t)=N(t)N(s),0s0的泊松过程,若它满足下列条件(1)N(0)=0；零初值性(2)N(t)是独立增量过程；(3)N(t)满足:,定理:定义2与定义3是等价的。,14,例：设为N(t)为0,t)时段内某电话交换台收到的呼叫次数，t=0，N(t)的状态空间为0,1,2,，具有如下性质：(4)在足够小的时间间隔t内,实际上假设了在足够小的时间间隔内出现一个质点的概率与时间间隔成正比，而出现质点数不少于2的概率是关于时间间隔的高阶无穷小这一般是与实际情况相吻合的。,15,16,2泊松过程数字特征,17,3泊松过程的一些定理,设N(t),t0为泊松过程，N(t)表示到t时刻时质点出现的个数,W1，W2，.分别表示第一个，第二个，质点出现的时间,Tn(n1)表示从第n1个质点出现到第n个质点出现的时间间隔.,18,通常称Wn为第n个质点出现的等待时间,Tn为第n个时间间隔,它们都是随机变量。,定理1.设N(t)，t0是具有参数的泊松过程,Tn,n1,2,.是对应的时间间隔序列,则随机变量序列Tn,n=1,2,.为独立的且均服从参数为的指数分布。,19,证明：(1)先确定T1的分布.为此首先注意到事件T1t发生当且仅当在时间间隔0,t内没有质点出现,因而,所以,T1具有参数为的指数分布。,(2)为求T2的分布,先求T1的条件下T2的条件分布,由独立增量性有,20,所以,可得T2也是一个具有参数为的指数分布的随机变量且T2独立于T1,重复同样的推导可得定理。下面求等待时间Wn的分布，注意到第n个质点出现在时间t或之前的条件是当且仅当到时间t已出现的质点数至少是n，即,上式对t求导，得Wn的概率密度是,21,定理2.设Wn,n=1,2,是与泊松过程N(t),t0对应的一等待时间序列，则Wn服从参数为n与的分布，其概率密度为,定理3.如果相继出现的两个质点的时间间隔是相互独立，且服从同一指数分布，则质点流构成了强度为的泊松过程。该定理告诉我们确定一个过程是不是泊松过程只要用统计方法检验点间间距是否独立且服从同一指数分布。,注：泊松过程或泊松流是研究排队理论的工具，在技术领域内它又是构造一类重要噪声(散粒噪声)的基础。,22,例.设X(t)是强度为的泊松过程，定义Y(t)=X(t+L)-X(t),其中L0为常数，求Y(t),RY(s,t).解：Y(t)=EY(t)=EX(t+L)-X(t)=(t+L)-t=L；RY(s,t)=CY(s,t)+Y(s)Y(t),对任意0s0的位移的横坐标(同样也可以讨论纵坐标),且设W(0)=0,根据爱因斯坦1905年提出的理论,微粒的这种运动是由于受到大量随机的相互独立的分子的碰撞的结果.于是,粒子在时段(s,t上的位移可以看作是许多微小位移的代数和.则W(t)-W(s)服从正态分布.,三、维纳过程又称布朗运动,25,1维纳过程的定义给定过程W(t),t0，如果它满足(1)具有平稳的独立增量；(2)对任意的ts0，W(t)-W(s)服从正态分布N(0,2(t-s)；(3)W(0)=0.,三、维纳过程又称布朗运动,则称此过程为维纳过程，下图展示了它的一条样本曲线。,维纳过程不只是布朗运动的数学模型,电子元件在恒温下的热噪声也可归结为维纳过程。,26,2维纳过程的性质(1).维纳过程W(t)，t0为正态过程(每一个有限维分布均为正态分布)。证明:对于任意正整数n和任意时刻t1,t2,tn(0t1t2tn)以及任意实数u1，u2，un，记,27,它是独立正态随机变量之和，所以它是正态随机变量，由正态分布的性质知(W(t1)，W(t2)，W(tn)服从n维正态分布，因此W(t)为正态过程。(2).维纳过程增量的分布只与时间差有关,所以它是齐次的独立增量过程.它又是正态过程.其分布完全由它的均值函数与自协方差函数所确定.维纳过程的均值函数、自协差函数、自相关函数分别为,方差随时间区间的长度呈线性增加。,28,四高斯过程（正态过程）,一、定义：设X(t)为随机过程，如果对任意的正整数n及任意t1,t2,tnT，n维随机变量(X(t1),X(t2),X(tn)服从n维正态分布，则称X(t)为正态过程。正态过程是二阶矩过程。记其均值函数为X(t),协方差函数为CX(s,t)。,二、正态过程的性质：对任意的正整数n及任意t1,t2,tnT，n维随机变量(X(t1),X(t2),X(tn)的分布由其相应的均值及协方差矩阵完全确定，所以X(t)和CX(s,t)完全确定了X(t)的有限维分布，也就确定了它的全部统计特性。因而有：,29,1X(t),tT为正态过程，其统计特性由X(t)和CX(s,t)确定。反之，可以证明，T=0,+,给定(t)和非负二元函数C(s,t)，则存在正态过程X(t)，使X(t)=(t)，CX(s,t)=C(s,t)。,定义：设随机过程X(t),tT，且对任意正整数n2，任意n个不同的t1,t2,tnT，随机变量X(t1),X(t2),X(tn)相互独立，则称此过程为独立随机过程。,2正态过程X(t),tT为独立随机过程正态过程，当任意s,t,st时，协方差函数CX(s,t)=0.,30,证明：“”n2,因为X(t1),X(t2),X(tn)相互独立的正态随机变量，而正态随机变量X(t1),X(t2),X(tn)相互独立其两两互不相关，即：CX(s,t)=0,st.,“”因(X(t1),X(t2),X(tn)为n维正态随机过程，于是X(t1),X(t2),X(tn)为正态随机变量，又CX(s,t)=0,st，所以X(t1),X(t2),X(tn)相互独立。,3X(t)为正态过程它的任意有限多个随机变量的任意线性组合是正态随机变量。事实上，由正态的性质，n维正态随机变量的充要条件是其任意一维线性组合为一维正态随机变量，显然成立。,31,4X(t)为正态过程，则X(t)是严平稳过程X(t)是宽平稳过程。,证明：“”因高斯过程是二阶矩过程，由严平稳过程性质，显然成立。“”由已知：X(t)=X，