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文档简介

第一节大数定律,一、问题的引入,二、基本定理,三、典型例题,四、小结,一、问题的引入,实例频率的稳定性,随着试验次数的增加,事件发生的频率逐渐稳定于某个常数.,启示:从实践中人们发现大量测量值的算术平均值有稳定性.,单击图形播放/暂停ESC键退出,二、基本定理,定理一（契比雪夫定理的特殊情况）,契比雪夫,定理一（契比雪夫定理的特殊情况）,表达式的意义,二、基本定理,证明,由契比雪夫不等式可得,并注意到概率不能大于1,则,关于定理一的说明:,（这个接近是概率意义下的接近）,即在定理条件下,n个随机变量的算术平均,当n无限增加时,几乎变成一个常数.,定理一的另一种叙述:,依概率收敛序列的性质:,证明,证毕,证明,引入随机变量,伯努利,定理二（伯努利大数定理）,显然,根据定理一有,关于伯努利定理的说明:,故而当n很大时,事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小.在实际应用中,当试验次数很大时,便可以用事件发生的频率来代替事件的概率.,关于辛钦定理的说明:,(1)与定理一相比,不要求方差存在;,(2)伯努利定理是辛钦定理的特殊情况.,辛钦资料,定理三（辛钦定理）,三、典型例题,解,独立性依题意可知,检验是否具有数学期望？,例1,说明每一个随机变量都有数学期望,检验是否具有有限方差？,说明离散型随机变量有有限方差,故满足契比雪夫定理的条件.,解,由辛钦定理知,例2,四、小结,三个大数定理,契比雪夫定理的特殊情况,伯努利大数定理,辛钦定理,频率的稳定性是概率定义的客观基础,而伯努利大数定理以严密的数学形式论证了频率的稳定性.,契比雪夫资料,PafnutyChebyshev,Born:16May.1821inOkatovo,RussiaDied:8Dec.1894InStPetersburg,Russia,伯努利资料,JacobBernoulli,Born:27Dec.1654inBasel,SwitzerlandDied:16Aug.1705inBasel,Switzerland,辛钦资料,AleksandrYakovlevichKhinchin,Born:19Jul.1894inKondrovo,Kaluzhsk
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