概率论与数理统计30158.ppt

第二章,第一节随机变量,第二节离散型随机变量及其分布律,第三节随机变量的分布函数,第四节连续型随机变量及其概率密度,第五节随机变量的函数的分布,第二章随机变量及其分布,Section1_1,第一节随机变量,出现正面的次数.,引例将一枚硬币抛掷3次，以X记3次抛掷中,X具有三个特点：,X是一个变量；,X取什么值依赖于试验的结果，即X的取值,带有随机性；,试验的每一个结果都对应X的一个确定的取值,即X是样本空间S上的函数，,Section1_1_1,定义设随机试验E的样本空间为S=e.,X=X(e)是定义在样本空间S上的实单值函数.,称X=X(e)为随机变量.,例1.掷一颗骰子.,令X表示出现的点数.,例2.连续抛掷一枚硬币，直到出现正面为止.,令Y表示抛掷的次数.,例3.观察某电子元件的寿命（单位：小时），,令表示该电子元件的寿命.,Section1_1_2,一般地，若L是一个实数集合，将X在L上取值,写成XL.它表示事件A=e|X(e)L，即,A是由S中使得X(e)L的所有样本点e所组成的,事件，此时有,PXL=P(A)=Pe|X(e)L.,随机变量的取值随试验的结果而定，在试验,之前不能预知它取什么值，但它的取值有一定的概率.,理解随机变量：,随机变量,事件,Section2_1,第二节离散型随机变量及其分布律,随机变量.,离散型随机变量可能取值为有限个或可列个的,设离散型随机变量X的所有可能取值为,，X取各个可能值的概率，即事件,的概率，为,分布律的性质：,称为离散型随机变量X的分布律（概率分布）.,Section2_1_1,分布律经常用表格的形式来表示：,例1.从1,2,3,4,5五个数字中任取3个数，令,X表示取出的3个数中的最大数，求X的分布律.,解：X的可能取值为：3,4,5.,Section2_1_2,例2.连续抛掷一枚硬币，直到出现正面为止.,令X表示抛掷的次数，求X的分布律.,解：X的可能取值为：1,2,3,，,表示第i次出现正面（i=1,2,3,）.,Section2_1_3,例3.设随机变量X的分布律为,，则常数a=_.,解：由于,即,Section2_2,将贝努利试验独立重复地进行n次，则称这独立,贝努利试验只有两个可能结果的试验.,一般地，将这两个结果记作：A与，分别称为,设,，则,“成功”与“失败”.,重复试验序列为n重贝努利试验.,Section2_2_1,01分布如果随机变量X的分布律为,则称X服从参数为p的01分布（贝努利分布）.,或,P(A)=p，令X表示一次试验中事件A发生的次数，,则X服从参数为p的01分布.,如果贝努利试验的两个可能结果记作：A与，,或者令,Section2_2_2,二项分布如果随机变量X的分布律为,则称X服从参数为n,p的二项分布，,记作,如果贝努利试验的两个可能结果记作：A与，,P(A)=p，令X表示n重贝努利试验中事件A发生,的次数，则.,Section2_2_3,例1.一张考卷上有5道选择题，每道题的4个选,该学生至少答对4道题的概率为多少？,项中只有一个选项是正确答案,某学生凭随机猜测答题.,该学生答对3道题的概率为多少？,解：设X表示答对题的数量，A表示答对题.,Section2_2_4,二项分布的分布率PX=k先是随着k的增大而,增大，达到其最大值后再随着k的增大而减少.这个使,得PX=k达到最大值的称为二项分布的最可能,次数.,如果不是整数，则，,如果是整数，则或.,Section2_2_5,几何分布如果随机变量X的分布律为,则称X服从参数为p的几何分布，,记作,如果贝努利试验的两个可能结果记作：A与，,P(A)=p，独立重复进行贝努利试验，直到A出现为止.,令X表示试验的次数，则.,Section2_2_6,例2.独立重复进行伯努利试验，设每次试验成功,的概率为p，失败的概率为q=1p(0p1).,进行10次试验，至少成功2次的概率为多少？,设X表示10次中成功的次数.,试验次数.求X的分布律.,将试验进行到出现成功为止，以X表示所需的,Section2_2_6_1,将试验进行到出现r次成功为止，以Y表示所,需试验次数.求Y的分布律.,出现3次成功之前已出现4次失败的概率为多少?,Y的可能取值：r,r+1,r+2,.,Section2_2_7,例3.一辆汽车沿一街道行驶,要经过三个均设有红,绿信号灯的路口，红绿信号灯显示的时间为1:2.且,汽车首次遇到红灯前已通过的路口数，求X的分布律.,三个路口红绿信号灯的工作是相互独立的.以X表示该,解：X的可能取值：0,1,2,3，,表示第i个路口显示绿信号灯（i=1,2,3）.,Section2_2_7_1,Section2_2_8,例4.设XB(2,p),YB(3,p),若PX1=5/9,则PY1=_.,分析：,Section2_2_9,泊松分布如果随机变量X的分布律为,则称X服从参数为的泊松分布，,记作,在随机时刻出现的某事件称作随机质点.,如：交通事故、电话用户对交换台的呼叫、用户对商,品质量的投诉、到达机场的飞机或到达港口的船只、,大地震后的余震、天空中的流星等.,在空间某固定区域内，在长为t的时间内出现的,质点数，,在固定时间内，在体积或面积,为v的区域内出现的质点数.,Section2_2_10,例5.设书籍中每页印刷错误数服从泊松分布，,统计资料表明，每页有一个印刷错误与有两个印刷错,错误的概率.,误的概率相同.求任意检验的四页中，各页都没有印刷,分析：设X表示每页印刷错误数，Y表示检验的,四页中没有印刷错误的页数.,Section3_1,第三节随机变量的分布函数,定义设X为随机变量，x是任意实数，函数,称为X的分布函数.,若X的分布函数为，则对任意实数,，有,Section3_1_1,分布函数的性质：,.,单调不减.,右连续.,.,分布函数是一个普通的函数，其定义域为：,，其值域为：.,分布函数是事件的概率，即,对于分布函数，注意：,分布函数在x处的函数值就是随机变量X落在,区间上的概率.,不能唯一确定随机变量.,任何随机变量都存在分布函数，但分布函数,的充分必要条件.,分布函数的四个性质是一个函数为分布函数,Section3_1_2,则A=_,B=_.,例1.（确定分布函数中的待定参数）,设随机变量X的分布函数为,解：根据分布函数的性质，有,得,Section3_2,利用分布函数表示相关事件的概率：,特别地，若a是F(x)的连续点，,则PX=a=0.,Section3_2_1,例2.（利用分布函数，求相关事件的概率）,设随机变量X,则.,的分布函数为,解：先求待定参数A的值，,得A=1.,Section3_2_1_1,Section3_3,求X的分布函数,并求,设随机变量X的分布律为,例3.（已知分布律，求分布函数）,已知分布函数，怎样求分布律呢？,Section3_4,设离散型随机变量X的分布律为,则X的分布函数为,Section3_4_1,则X的分布函数为,设离散型随机变量X的分布律为,分布函数一般