2016春季 初一竞赛经典进阶进度一12整数根问题1

整数根的问题整数根的问题 1 1 1 / 6 第十二讲 整数根的问题 1 【因式分解】【因式分解】 一元二次方程能因式分解的，首先考虑因式分解解出方程的根，然后通过整除关系求出参数的整 数解。 1 已知k为整数，且关于x的方程 22 (1)2(51)240kxkx有两个不相等的正整数根，求k的 值。 解：易知1 k，原方程可化为 06141 xkxk 1 4 1 k x， 1 6 2 k x 两根为正整数，1 k取 4、2、1，k值为 5、3、2； 1 k取 6、3、2、1，k值为 5、2、1、0； k值为 5 或 2，当5 k时，方程两根为等根，舍去； 当2 k时，方程有两个不相等的正整数根4 1 x，2 2 x。 2 k。 2 k为什么整数时，方程 2 4880 12320kk xk x的解都是整数？ 解：当4 k时，原方程为03232 x，解得1 x，符合题意； 当8 k时，原方程为03216 x，解得2 x，符合题意； 当4 k且8 k时，原方程可化为 04884 xkxk 解得 k x 4 8 1 ， k x 8 4 2 。 k为整数，且 1 x、 2 x均为整数根， 8, 4, 2, 14 k，得12, 0 , 6 , 2 , 5 , 3 k 4, 2, 18 k，得12,10, 6 , 9 , 7 k。 综上所述，当k值为 4，6，8，12 时，原方程的根都为整数。 整数根的问题整数根的问题 1 1 2 / 6 3 已知关于x的方程 2 (1)210axxa 的根都是整数，符合条件的整数a有多少个？ 解：当01 a时，即1 a时，方程有一个整数根1 x； ：当01 a时，即1 a时，原方程可化为0)1()1)(1( axax 1 1 x， 1 2 1 1 1 2 aa a x， 2 xa、都是整数， 2, 11 a， 3 , 2 , 0 , 1 a 综上所述：3 , 2 , 0 , 1, 1 a 4 已知方程 2222 (38 )213150a xaa xaa（a为非负整数）至少有一个整数根，求a的值。 解：当0 a时，方程变为015 ，无解。 ：当0 a时，方程可化为 0)5)(32()83( 222 aaxaaxa 即0)5()32( aaxaax。 aa a x aa a x 5 1 5 , 3 2 32 21 ， 当 1 x为整数时，非负整数3 , 1 a 当 2 x为整数时，非负整数5 , 1 a 当5 , 3 , 1 a时，方程至少有一个整数根。 【韦达定理】【韦达定理】 当一元二次方程不能因式分解时，观察方程的参数次数，为一次的利用韦达定理，消掉系数参数， 然后利用因式分解解整数解。 5 已知方程 2 (6)0(0)xaxaa的两根都是整数，试求a的值。 解： 设两整数根为 ,， 且 ， 则有 a a 6 ， 所以有6 ， 711 ， 则 71 11 或 11 71 ，解得 6 0 或 2 8 。0 a（舍）或16 a。 整数根的问题整数根的问题 1 1 3 / 6 6 已知方程 2 10(xmxmm 是整数）有两个不等正整数根，求m的值。 解：设两整数根为 ,，且 。 则有 1m m ，所以有1 ，即2)1)(1( 。 1, 21 2, 11 ，解得： 3 2 或 0 1 （舍去） 故5)( m 7 已知, p q都是正整数，关于x的二次方程 2 219900pxqx的两个根都是质数，求 2004 2004pq的值。 8 试确定一切有理数r，使得关于x的方程 2 (2)320rxrxr有且只有整数根。 解：当0 r时，方程化为022 x，方程有整数根1 x， ：当0 r时，设两整数根为 ,，且 。则 rr r rr r 2 3 23 2 1 2 ，两式相减得4 ，即5)1)(1( 1, 51 5, 11 ，解得： 6 2 或 0 4 。 9 2 r或 3 2 r 综上所述： 9 2 , 3 2 , 0 r 9 已知方程 2 21(22)20mxmx的两根都是整数，试求m的值。 解：设两整数根为 ,，且 ，则有 12 1 1 12 22 mm m ， 12 2 m 整数根的问题整数根的问题 1 1 4 / 6 所以有222 ， 622 ， 则 62 12 或 32 22 ，或 12 62 或 22 32 ， 解得 4 1 或 舍舍 1 0 或 3 8 或 4 5 代入方程得， 4 1 m， 24 13 m， 20 11 m。 10 求使方程 2 0 xpqxpq-+=有整数根的所有正整数p和q。 【判别式】【判别式】 当二次方程的参数不是一次，不能通过韦达定理消掉系数参数，并且不能对二次方程进行因式分 解时，考虑方程有整数解时，判别式大于等于 0，并判别式为完全平方式，利用判别式解题。 11 , b c是整数，如果一元二次方程 2 20 xbxc 有整数根，那么必有（ ） A、0bc B、 2 0bc C、 2 bc是整数的平方 D、 2 bc是偶数的平方 12 当k取何整数时，关于x的二次方程 2 101xxk k有整数根？并求方程的根。 解：原方程可化为：010 22 kkxx， 方程有整数根， 40121041 2 2 kkk为完全平方数 设 2 2 4012mk （m为正整数） ，则 401212 mkmk 明显，mk 12与mk 12奇偶相同，且 mk12mk 12 2012 212 mk mk ， 212 2012 mk mk ， 1012 412 mk mk ， 整数根的问题整数根的问题 1 1 5 / 6 412 1012 mk mk 两式分别相加得14,14,22,2224 k，3, 4 , 5, 6 k。 当6 k或5 k时，原方程都为020 2 xx，方程解为4 1 x，5 2 x； 当4 k或3 k时，原方程都为02 2 xx，方程解为1 1 x，2 2 x； 13 要使方程 2222 (1)2 (1)0m xmn xmn有整数根，求整数,m n应满足的条件，并求出两 个整数根。 14 已知方程 22 64320 xxnn的根都是整数，求整数n的值。 解：因二次方程的根都是整数，故)9324(4 2 nn 应为完全平方数。设 22 9324knn （kk, 0 为整数） ，即55)82( 22 kn， 所以55)82)(82( knkn。因knkn 8282，故可得如下 4 个方程组： 182 5582 kn kn 582 1182 kn kn 5582 182 kn kn 1182 582 kn kn 分别解得10 n，0 n，18 n，8 n。 15 关于x的方程 2 110kxkx 有有理根，求整数k的值。 解：当0 k时，1 x，方程有有理根； 当0 k时，方程有有理根， 1641 2 2 kkkk为完全平方数，设 22 16mkk ，k为整数，m为整数， 896 22 mkk， 83 2 2 mk，即 833 mkmk，这里mk 3大于mk 3，且奇偶相同 23 43 mk mk 或 43 23 mk mk 解得6 k或0 k（舍） 整数根的问题整数根的问题 1 1 6 / 6 综合以上，方程有有理根时0 k或6 k。 16 设m为整数，且m440 ，又方程 22 2(23)41480 xmxmm有两个整数根.求m的 值及方程的根. 解：考察判别式4(21)mD，由已知 m440，可知 92181m.为使判别式为完全平方数， 只有m21 25或m21 49. 当 2 时， ，mm1 2512方程两根分别为 16，26； 当 时， mm21 4924，方程两根分别为 38，52. 1 当整数k为何值时，关于x的一元二次方程 2 1210 xkxk 的两个根均为整数。 解：设方程两根为 1 x、 2 x，则 1 21 kxx，12 21 kxx，消参数得 322 2121 xxxx，1422 2121 xxxx， 122 21 xx， 12 12 2 1 x x 或 12 12 2 1 x x ，解得1 21 xx或3 21 xx 代入方程解得，1 k或5 k， 法二：解： 5612