12 两角的和差倍三角比公式教师

1 / 9 第十二讲 两角的和差倍三角比公式 1. 两角和的三角比公式: 2两角差的三角比公式: sincoscossin)sin( sincoscossin)sin( sinsincoscos)cos( sinsincoscos)cos( tantan1 tantan )tan( tantan1 tantan )tan( 3 倍角公式: cossin22sin 2222 sin211cos2sincos2cos 2 tan1 tan2 2tan 2 / 9 F F E E D D C C A A B B 【例题1】 75sin； 75tan （3 4 26 2、） 【例题2】 求 5 .22tan1 5 .22tan2 2 的值 （1） 【例题3】 57cos12cos33cos12sin的值是 （ 2 2 ） 【例题4】 75tan1 75tan1 的值是 （3120tan ） 【例题5】 化简 20cos 2 1 20sin 2 3 （ 50sin或 40cos） 【例题6】 在ABC中， 90C，D是BC上一点， 45ADC，作ABDE 于E，且 3:10: BEAE，若2 DE，求C 的平分线CF的长 解:设kAE10 ，kBE3 ， k DAE 10 2 tan ， k ABC 3 2 tan ， ABCDAEADC ，)tan(tanABCDAEADC ， kk kk 3 2 10 2 1 3 2 10 2 1 ，0221330 2 kk，0)22)(215( kk， 2 2 k， 2 23 BE，25 AE，132 AD， 2 26 BD， 2 213 AB， 26 AC，26 2 3 BC， 由角平分线定理: BF AF BC AC ，2 5 13 AF，2 10 39 BF， 由角平分线长公式:BFAFBCACCF 2 ， 5 136 CF 3 / 9 1. 105cos； 105tan.（32 4 62 、） 2. )15sin15)(cos15sin15(cos.（ 2 3 30cos ） 3. 25sin20sin65sin70sin.（ 2 2 45sin ） 4. 已知 5 3 )tan( ， 4 1 )45tan( ，则 )45tan( . 解: 23 7 4 1 5 3 1 4 1 5 3 )45()tan()45tan( . 5. 已知 5 3 sin)cos(cos)sin( ，则 2cos. 解: sin)sin()sin(sin)cos(cos)sin( 5 3 sin ， 5 3 sin 25 7 sin212cos 2 6. 在锐角ABC中，BA tantan、是方程0183 2 xx的两根，求Ctan的值 解: 3 1 tantan 3 8 tantan BA BA ， 2 3 1 1 3 8 tantan1 tantan )tan( BA BA BA 2)180tan( C，2tan C，2tan C 4 / 9 7. 已知:如图， 在ABC中，ACBC、边上的高BEAD、相交于点F， 且ACBABC tantan、 是方程065 2 xx的两个根求证:BCAF . 证明:设 ACBABC、，则 tantan 、是方程065 2 xx的两个根 6tantan 5tantan ，1 61 5 tantan1 tantan )tan( 1800 ， 135 ， 45BAC ABE为等腰直角三角形，BEAE 易证AEFBEC，BCAF 8. 已知等腰三角形的顶角的余弦值为 25 7 ，求这个等腰三角形底角的正弦值 解:如图，等腰ABC中， 25 7 cos BAC，求Bsin. 1cos)190sin(sin B 25 7 11cos212coscos 2 BAC， 5 3 1cos ， 5 3 sin B 9. 如图，过正方形ABCD的顶点A作射线AF，交边CD于F（点F与点DC、不重合） 射线AB 与AF关于AE对称若5 AB， 5 3 tan BAE，则 DF 解:设 DAFBAE、 2cot)290tan(tan 8 15 25 9 1 5 3 2 tan1 tan2 2tan 2 ， 15 8 2cot ， 15 8 tan ， 15 8 AD DF ， 3 8 DF. 1 1 D DB BC C A A F F E E D D A A B BC C F F D D E E C CB B A A 5 / 9 10. 已知:如图，在等边ABC中，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的 延长线上，BDFBAE ，点M在线段DF上，DBMABE ，延长BM到P，使 BMMP ，连接CP，若7 AB，72 AE求ACP tan的值 解:34 ，DBMABE ABEDBM 2 DB AB BM BE BPBMBE 2 易知 60EBM BEP为等边三角形 BPED DBM为直角三角形 AEB为直角三角形 21 22 AEABBE 2 3 4tan AE BE DM、分别为BCBP、的中点 CPMD/ 32 42 5 3 4tan60tan1 4tan60tan )460tan()260tan(1tan 4 4 3 3 2 2 1 1 P P M M E E D D A A B B C C F F P P M M E E D D A A B B C C F F 6 / 9 一、两角和与差的余弦公式 设、是两个任意角.在直角坐标系的单位圆中作出两角、，射线OA、OB分别为其终 边，与单位圆相交于A、B两点，其坐标分别为)sin,(cosA，)sin,(cosB. 将角的终边OA、OB都绕O旋转角，分别转到A O 和B O 的位置，则 )sin(),(cos( A，)0 , 1( B .根据两点间距离公式，有 222 |(coscos)(sinsin)22(coscossinsin)AB )cos(22)(sin 1)cos(| 222 B A 因为AOB绕O旋转角得到BOA，所以|BAAB，从而 sinsincoscos)cos( ， 这个公式叫做两角差的余弦公式， 它对任意角 和 都成立. 在 两 角 差 的 余 弦 公 式 中 ， 用 代 替 可 得 到 两 角 和 的 余 弦 公 式 : sinsincoscos)cos( 二、两角和与差的正弦公式 ) 2 cos()( 2 cos()sin( sincoscossinsin) 2 sin(cos) 2 cos( x y O )sin(),(cos(A )0 , 1 ( B O x y A)sin,(cos )sin,(cosB 7 / 9 ) 2 cos()( 2 cos()sin( sincoscossinsin) 2 sin(cos) 2 cos( sincoscossin)sin(，sincoscossin)sin( 一、两角和与差的正切公式: sin()sincoscossintantan tan() cos()coscossinsin1 tantan （1） 用替 换 两 角和 公 式中的即 可 得 到两 角 差的正 切 : tantan1 tantan )tan( （ 2 ） sin)sin( ， cos)cos( ， tan)tan( ， cot)cot( 1. 化简 xyxxyxcos)cos(sin)sin(.（ycos） 2. 已知 2 15 sin x，则 )45(2sinx. 解:25) 2 15 (21sin212cos)290sin()45(2sin 22 xxxx. 3. 计算: 8sin15sin7cos 15cos8sin7sin . 解:原式 8sin15sin)815cos( 15cos8sin)815sin( 8sin15sin8sin15sin8cos15cos 15cos8sin8sin15cos8cos15sin 8sin15cos 8cos15sin 15cos 15sin 32)3045tan(15tan . 4. 已知点A)4 , 3(，将OA绕坐标原点O逆时针旋转 60至OA，求点A的坐标. 8 / 9 解:如图所示，设, yOA yOA，由题意知， 60 . 由点A)4 , 3(，则得 5 4 cos ， 5 3 sin ， 则 10 334 sin60sincos60cos)60cos(cos ， 10 334 sin60coscos60sin)60sin(sin ， 5 OAOA，且A点在第二象限， ) 2 334 , 2 343 ( A 5. 如图， 在RtABC中， 90ACB，21 AC，28 BC， 四边形ABDE为正方形，ACB 的平分线交DE于点F，则 DF 解法一:过点G作DEGH 于点H， 90ACB，21 AC，28 BC， 35 AB ACB 的平分线交DE于点F， 15 AG，20 BG. BCGCBGCGAGFH x x y y A A A A O O O O G G F F E E D D A A B B C C H H G G F F E E D D A A B B C C F F E