10 相似三角形的性质2教师2015春季 初二数学培优进度一

第十讲 相似三角形的性质（2）射影定理：（书本上没出现此定理，解答题不能直接使用该定理，需证明）已知：如图，在RtABC中，BAC=90，ADBC于D，那么：（1） AB2=BDBC；（2）AC2=CDCB；（3）AD2=DBDC （1）证： （2）同理：证： （3）证：【例题1】 填空题：1. 如图，CD是RtABC斜边AB上的高，AD=16，DB=9，则AC=20，CD=12，BC=152. 如图，在RtABC中，ACB=90，CDAB，AD=9，BD=4，则=3. 如图，在RtABC中，ACB=90，CDAB，BCAC=12，则SACDSABC=（第1题图） （第2题图） （第3题图）4. 如图，矩形EFGH内接于ABC，ADBC于点D，若AD=8，BC=16，FG=6，则EF= 5 5. 已知：如图，在锐角ABC中，BC=12，边BC上的高AD=6，正方形PQMN的一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上，则正方形PQMN的边长= 4 （第4题图） （第5题图）【例题2】 如图，在ABC中，D为BC上一点，AB2=BDBC，AC2=CDBC， 求证：ADBC证：（1） 又 同理： 且 证：（2） 由勾股定理逆定理得 同（1） 【例题3】 已知RtABC中，ACB=90，CDAB， 求证：证： 又 又 同理： 【例题4】 如图，在ABC中，ACB=90，CDAB，D是垂足，延长CB到点E，使BE=CB，联结AE、DE， 求证：BDE=AEB 证：，又 又， 【例题5】 已知：如图，CE是RtABC的斜边AB上的高，BGAP， 求证：CE2=EDEP证：是的斜边上的高， 又 ，即 （1） 又 ， （2）由（1）（2）得：【例题6】 ABC中，BC=10，SABC=30，矩形DEFG内接于ABC，设DE=x，矩形DEFG的面积为y求：（1） y与x的函数关系式及定义域；（2）当x为何值时，矩形DEFG为正方形，并求正方形DEFG 的面积解：（1）作于，交于 ， 在矩形中 （2）当时，即时，【例题7】 ABC中，A=90，四边形DEFG为ABC的内接矩形，其中D、G分别在AB、AC边上，点E、F在BC边上，若AB=3，AC=4，且SDEB+SGFC=， 求此矩形的周长解：设，则 ， （2）在矩形中 ，易证： 则，同理 此时 【例题8】 在RtABC中，C=90，AC=8cm，BC=6cm， 求RtABC的内接正方形的边长解： 如图（1）四边形是的内接正方形， ，设， 设，则， 另解： 如图（2），四边形是的内接正方形作于，交于，在中，且，设，则，综合、，的内接正方形的边长为或【作业1】 已知：在ABC中，A=90，ADBC于D，M为AD中点，BM的延长线交AC于P，PQBC于Q，求证：PQ2=PAPC证：延长交于点， 易得 即【作业2】 如图，在ABC中，矩形DEFG的一边DE在BC上，点G、F分别在AB、AC上，AH是BC边上的高，AH与GF相交于K，BC=48，AH=16.（1）当GF=18时，求AK的长；（2）若设AK=x，矩形DEFG的周长为y，写出y与x的函数关系式，并写出它的定义域解：（1）在矩形中 又 即（2） ，且 （1. 如图，四边形ABCD中，ADAB，BCAB，ADBC12，DECD交边AB于E，连结CE。（1）求证：DE2AECE