2020欣迈高数密押卷9

浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学 欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌 1 2020 年浙江专升本高等数学考前年浙江专升本高等数学考前 10 套密押预测卷（九）套密押预测卷（九） 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上. 选择题部分选择题部分 注意事项注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸 规定的位置上. 2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.不能答在试题卷上. 一、选择题一、选择题:本大题共本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1.若连续函数 yf x满足 0 0 lim1 xx f x xx ,则当 0 xx时，该函数在 0 xx处的微分 dy 是（） A.与x同阶不等价的无穷小 B.与x等价无穷小 C.比x高阶的无穷小 D.比x的低阶无穷小 2.函数 1 1 tan x x eex f x x ee 在区间, 上的第一类间断点是x （） A.0B.1C. 2 D. 2 3.下列级数中条件收敛的是() A. 1 1 1 n n n n B. 1 1 1 n n n n C. 2 1 1 n n n D. 1 1 1 n nn 4.设 yy x是二阶常系数微分方程 sinx ypyqye， 满足初始条件 000y y 的特解，则当0 x 时，函数 2 ln 1x f x y x 的极限() A.不存在B.1C.2D.3 浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学 欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌 2 5.设直线 L 的方程为 1 24 xyz xyz ，则 L 的参数方程为（） A. 1 2 1 1 3 xt yt zt B. 1 2 1 1 3 xt yt zt C. 1 2 1 1 3 xt yt zt D. 1 2 1 1 3 xt yt zt 非选择题部分非选择题部分 注意事项注意事项: 1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上. 2.在答题纸上作图，可先使用 2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑. 二、填空题二、填空题:本大题共本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分. 6.设函数 tan 2 1 ,0 arcsin 2 ,0 x x e xx f x ae x 在0 x 处连续，则a 7.设函数 x f xa,0,1aa则 2 1 limln12 n fff n n 8.已知 2019 lim0 1 k k n n A A nn ,则 k = 9.曲线 4sin 52cos xx y xx 的水平渐近线方程为 10.曲线 22 13yxx的拐点个数为 11.位于曲线 x yxe，0,x下方，x轴上方的无界图形的面积是 12. 设函数 1 23 y x ，则 ( ) 0 n y 13. 322 2 2 sincosxxxdx 14.微分方程 1yx y x 的通解为 浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学 欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌 3 15设2,1,2a ,4, 1,10b ，c ba ，且a c ,则 三三、计算题计算题：本题共有本题共有 8 小题小题，其中其中 16-19 小题每小题小题每小题 7 分分，20-23 小题每小题小题每小题 8 分分，共共 60 分分.计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分. 16.计算极限 2 lim x x x . 17.设 2 ln 1,0 ,0 1 x axx f x x e ，已知函数 f x在0 x 处可导，求a的值. 18.求由参数方程 2 ln 1 arctan xt yt 所确定的函数的一阶导数 dy dx 及二阶导数 2 2 d y dx . 19.求不定积分 2 5 613 x dx xx 浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学 欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌 4 20.设函数 f x在0,上可导， 00f，且其反函数为 g x.若 2 0 f x x g t dtx e , 求 f x. 21.问a为何值时， 函数 1 sinsin3 3 f xaxx在 3 x 处取到极值？它是极大值还是极 小值，并求此极值. 22.设 2 ,0 1 arctan 1,0 x x x f x x x ,试将 f x展开成x的幂级数. 23.求过点（-1，0，4） ，且平行于平面34100 xyz,又与直线 13 112 xyz 相交的直线方程. 浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学 欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌 5 四、综合题：本大题共四、综合题：本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 30 分分. 24.证明函数 1 1 x f x x 在区间（0， + ）为增函数。 25. 过坐标原点作曲线lnyx的切线，该切线与曲线lnyx及x轴围成的平面图形 D。 （1）求 D 的面积。 （2）求 D 绕直线x e 旋转一周所得的旋转体体积V 26.设函数 f x在闭区间, a b上连续，在开区间, a b内可导，且 0fx ， 若极限 2 lim xa fxa xa 存在，试证明： （1）当,xa b，函数 f x恒大于 0； （2）至少存在一点, a b， 22 2 b a ba f f x dx ； （3）在, a b内存在与（2）中相异的点，使得 22 fba 2 a 22 b a f x dx ba 。 浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学 欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌 6 2020 年浙江专升本高等数学考前年浙江专升本高等数学考前 10 套密押预测卷（套密押预测卷（九九） 参考答案与解析参考答案与解析 一、选择题一、选择题:本大题共本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1.【答案答案】B 【知识点知识点】函数极限与微分的概念 【解析解析】由极限 0 0 lim1 xx f x xx 可得， 0 lim0 xx f x ，且 f x为连续函数，故 0 0 lim0 xx f xf x ， 那么 0 0 lim xx f x xx 0 0 0 lim xx f xf x xx 0 fx=1。 即 1 df x dx ， 函数在 0 xx处的微分为 0 0 x x df xfxx 。 故 0 0 0 lim1 x fxx fx x ，等价无穷小，选 A。 2.【答案答案】A 【知识点知识点】间断点的分类 【解析解析】明确第一类间断点的定义为左右极限均存在的间断点。 1 1 0 tan lim x x x eex x ee 1 1 0 lim x x x ee x x ee 1 1 0 lim x x x ee ee 直接代入极限计算 1 1 1 0 tan lim x x x eex x ee 1 1 0 lim x x x ee x x ee 1 1 0 lim x x x ee ee 直接代入极限计算 1 左右极限都存在，故0 x 为函数 f x的第一类间断点。故选 A。 3.【答案答案】D 【知识点知识点】级数敛散性的判断 【解析解析】根据定义判断，A 选项绝对收敛，B 选项发散，C 选项绝对收敛，D 选项 1 1 n nn 浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学 欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌 7 先根据莱布尼茨定理： （1） 1 1 1 nn uu n （2） 1 limlim0 n nn u n ；得出 1 1 n nn 收 敛， 1 1 nn 发散，故级数 1 1 n nn 条件收敛。 4.【答案答案】C 【知识点知识点】求极限，微分方程的定义 【解析解析】根据定义，将特解 000y y 代回微分方程，求出所对应的 01 y ，则 极限 2 0 ln 1 lim x x y x 2 0 lim x x y x 0 2 lim x x yx 0 2 lim x yx =2，故选 C。 5.【答案答案】A 【知识点知识点】求直线方程 【解析解析】 已知直线方程为 1 24 xyz xyz ， 先转换为向式方程，1112,1,3 211 ijk s ， 将1x 代回原式，得出1y ，1z 。故直线过点1,1,1。得出直线向式方程为 111 213 xyz ，将其转化为参数方程 1 2 1 1 3 xt yt zt ，故选 A。 （注：若取点不同，参数 方程也会不同，但可以在保证方向向量不变的前提下代入具体点去比较） 二、填空题二、填空题:本大题共本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分. 6. 【答案答案】2 a 【知识点知识点】利用连续性定义求参数。 【解析解析】已知 f x在0 x 处连续，则 00 limlim0 xx f xf xf ， tan 0 1 lim arctan 2 x x e x 0 tan lim 2 x x x 2 0 lim x f x 2 0 lim x x ae ，2a 。 7.【答案答案】 1 ln 2 a 【知识点知识点】定积分的定义求极限 【解析解析】将 x f xa代入极限， 浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学 欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌 8 2 1 limln12 n fff n n 2 2 1 limlnlnln n n aaa n ln2lnln1 lim n aana nn 121 limln n n a nn 1 1 limln n n i a nn 1 0 1 lnln 2 xadxa 8.【答案答案】2020 【知识点知识点】求极限 【解析解析】 根据抓大头法则可得出多项式1 k k nn最高项次数为 2019， 结合二项式定理推 出 k=2020。 9.【答案】【答案】 1 5 y 【知识点知识点】求渐近线方程。 【解析解析】水平渐近线 4sin1 limlim 52cos5 xx xx f x xx ，故水平渐近线为 1 5 y 。 10.【答案】答案】2 【知识点知识点】求拐点 【解析解析】 432 822249yxxxx， 32 4244424yxxx ， 2 124844yxx ，故有两个拐点。 11.【答案】答案】1 【知识点知识点】定积分求面积。 【解析解析】由题意得，该图形面积为 0 x xe dx 0 xx xee 1 12.【答案】答案】 1 2 1!3 n n n n 【知识点知识点】n 阶导数推导 【解析解析】求 n 阶导数可利用公式或者递推。 2 1 2 23yx ， 3 2 1 22 23yx ， 34 3 122 3 23yx ， 浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学 欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌 9 1 2 1! 23 n n n n yn x 。 1 2 01! 3 n n n n yn 。 13.【答案】【答案】 8 【知识点知识点】定积分的计算 【解析解析】 322 2 2 sincosxxxdx 3222 2 2 cossincosxxxx dx 被积函数的奇偶性 22 2 0 2sincosxxdx 22 2 0 2sin1 sinxx dx 24 22 00 2sin2sinxdxxdx 华里士公式 13 1 22 2 24 2 2 8 14.【答案】答案】 x yCxe 【知识点知识点】可分离变量的微分方程 【解析解析】 1yxdy dxx ， 分离变量得方程： 1xdy dx yx ， 对方程两边同时积分得 1 lnlnyxC， x yCxe 15.【答案】【答案】3 【知识点知识点】向量的计算 【解析解析】由题意推得42 , 1,102c ，a c ，故 0a c ， 即 8212020 ，3。 三三、计算题计算题：本题共有本题共有 8 小题小题，其中其中 16-19 小题每小题小题每小题 7 分分，20-23 小题每小题小题每小题 8 分分，共共 60 分分.计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分. 16.【答案答案】2 【知识点知识点】极限的计算 【解析解析】解：当x 时，显然有 1xxx ， 可推出 222 limlimlim 1 xxx xxx xxx ， 2 lim2 x x x ， 2 lim2 1 x x x ， 浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学 欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌 10 由夹逼准则可得 2 lim2 x x x .（7 分） 17.【答案答案】2a 【知识点知识点】利用可导性求参数。 【解析解析】? ? 0 = lim ?0? ? ? ?0? ?0 = lim ?0? 1? ? =? ? ?+ ? 0 = lim ?0+ ? ? ? ?0? ? ? 0 = lim ?0+ ln ?1 + ax? ? = ? a =? ? 0f 0 0 lim x fxf x 2 0 1 lim x x e x 0 2 lim x x x 2， 0f 0 0 lim x fxf x 0 ln 1 lim x a x x 0 lim x a x x a 2。.（7 分） 18.【答案答案】 1dy dxt ， 22 23 1 dy d d ydttdx dxdtdxt 【知识点知识点】参数方程求导 【解析解析】 2 1 1 dy dtt ， 2 1 dxt dtt ； 1dy dxt ；.（3 分） 22 23 1 dy d d ydttdx dxdtdxt 。.（7 分） 19.【答案】答案】 2 2 ln1,0 ( ) 1,0 x x xxx fx xex 【知识点知识点】求不定积分 【解析解析】 2 5 613 x dx xx 22 1 26 8 2 613613 x dxdx xxxx 2 22 1 8 2 613 613 34 d xxdx xx x 浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学 欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌 11 2 13 ln6134arctan 22 x xxC .（7 分） 20.【答案】答案】 1 xx f xexe 【知识点知识点】求函数表达式 【解析解析】等式两边对x求导得： 0 f x g t dt gf xfx 2 2 xx xex e 由反函数性质可得 gf xx 所以 2 2 xx xfxxex e 2 xx fxexe 故 f x 2 xx exe dx 2 xx exeC 又因为 00f ，故1C 。 故 1 xx f xexe .（8 分） 21.【答案】答案】3 3 f 【知识点知识点】求极值 【解析解析】 coscos3fxaxx ，()10 32 a f ，2a ； 30 3 f ，故当2a 时， f x 在 3 x 处有极大值。 3 3 f .（8 分） 22.【答案】答案】 222 0 1 1 21 n nn n xx n 【知识点知识点】将函数展开成幂级数 【解析解析】因为 21 0 1 arctan1 21 n n n xx n 2 1 arctan x x x 222 00 11 11 2121 nn nn nn xx nn 浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学 欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌 12 222 0 1 1 21 n nn n xx n .（8 分） 23.【答案】答案】 14 161928 xyz 【知识点知识点】求直线方程 【解析解析】记所求直线为 1 l，已知方程的直线为 2 l。 将直线方程 2 l： 13 112 xyz 转化为参数方程 1 3 2 xt yt zt ，设两直线交点为 000 1,3,2ttt 已知 1 l过点1,0,4，可得到 1 l的方向向量 1000 ,3,24st tt ， 直线 1 l平行平面34100 xyz，故 1 sn ， 即 1 0s n ， 000 343240ttt ，.（6 分） 0 16t ， 1 16,19,28s ，故直线 1 l方程为： 14 161928 xyz .（8 分） 四、综合题：本大题共四、综合题：本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 30 分分. 24.【知识点知识点】导数的应用（讨论单调性） ，复合函数的求导 【解析解析】证明单调递增即证明函数一阶导数大于 0，函数 f x 为幂指函数，即为复合函数。 f x 1 1 x x 1 ln 1x x e ， 111 ln 11 1 x fx xxx .（2 分） 由于 1 1 x x 恒大于 0，设 11 ln 1 1 g x xx ，只需讨论 g x 正负即可； 当0 x （自然定义域） ， 22 111 0 1 11 gx xx xxx ， 即当0 x , g x单调递减。 .（8 分） lim0 x g x ，故当0 x ， 0g x ， 0fx ， f x 单调递增。.（10 分） 故证毕。 25.【知识点知识点】定积分的应用 浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学 欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌 13 【解析解析】解（1）设切点的横坐标为 0 x，则曲线lnyx在点 00 ,lnxx 处的切线方程是 00 0 1 ln