01---添加辅助线1教师版

12教育初一竞赛进度一春季班添加辅助线（1） 四平路校区：65107076；浦东校区：68869972第01讲 添加辅助线（1）【知识点】1. 条件中出现中点a) 倍长中线：构造两组全等三角形和一个平行四边形，转移边和角；b) 中点在直角三角形斜边上：联结中点和直角顶点，利用斜边中线性质；c) 构造中位线：再找到或作出新的中点，形成中位线再解题. 2. 条件给出角分线a) 翻折：沿着角分线翻折角的某一边，这种技巧经常出现在截长补短中；b) 作高：从角分线上的一点向角的两边作垂线段；c) 作平行线：从角分线上的一点作角一边的平行线，可以立得等腰三角形. 3. 条件给出高a) 题目中一定有很好的角度关系；b) 多条高提示要通过面积法转化. 4. 构造等腰或等边三角形；a) 中线、角分线和高有两线合一：提示要补出等腰三角形，并通过全等证明之.；b) 在已有的等腰或等边三角形之外，补出新的等腰或等边三角形. 特别是题目中含有60或120时，常常可以将图形补成正方形.5. 几何无王者之道理解某类方法的限制和理解某类方法为什么有效同样重要！方法是没有好、坏之分的，只是对某些特定的题目存在高效的方法和低效的方法之分！要成为解题高手，就是准备好足够的方法，然后不断尝试，不断试错，找到最高效的方法！【例题讲解】1. 如图，已知，AD是的中线，求证：. 【解答】【毕】2. 如图，ABC中，E、F分别在AB、AC上，DEDF，D是中点，证明 【解答】 证明：延长FD至M，使FD=DM，连接BM，EM ，易证BMDCFD，CFBM. 又DEDF，EDMEDF90MDEFDEEMEFMEF是等腰三角形， EMEF. 又BE+BMEM，BE+CFEF. 【毕】3. 已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BEAC，延长BE交AC于F，求证AFEF. 【解答】证明：倍长AD至G，连接BG， 易证ADCGDB，所以GCAD，BGAC，BEAC，BGBEGBEG，CADBEG BEGAEF（对顶角相等）CADAEFAFAE（等角对等边）4. 已知ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形. （1） 求证：EF2AD；（2） 求证：ADEF；（3） 联结EC、BF，试证明：EC垂直且等于BF. 【解答】证明：解法一：延长AD至G，使得DGDA，连结BG易证BDGCDA，所以BGCA，GCAD，ABE与ACF是等腰直角三角形AEAB，BAE90，ACAF，CAF90BGAF又EAF=360-BAE-CAF-BAD-CAD180-BAD-CADABG180-BAD-GEAFABG ABGEAF AGEF又AG2AD，EF2AD. 解法二：把AEF绕着A点顺时针旋转90得到AGC，则EF=CG此时AD是BCG的中位线，所以CG=2AD，所以EF=2AD. 【毕】5. 如图，在中，D在AB的延长线上，且，E是AB的中点，连接CD、CE. 求证：.【解答】【毕】6. 如图，APBC，PAB的平分线与CBA的平分线相交于E，CE的延长线交AP于D. 求证：（1） AB=AD+BC；（2） 若BE=3，AE=4，求四边形ABCD的面积. 【解答】证明（1）：在AB上截取AFAD，连结EF. 易证ADEAFE，所以ADEAFE，APBC，ADE+C180，AFE+BFE180，CBFE. 所以易证BCEBFE，所以BFBCABAF+FB，ABAD+BC证明（2）易证ABE是直角三角形，所以面积是ABE的两倍是12.【毕】7. 如图，已知在ABC中，B60，ABC的角平分线AD，CE相较于点O. （1） 求证：OEOD；（2） 求证：AC = AE + CD.【解答】证明：在AC上作CF等于CD，连接FO. 因为由题意得，DCO=ACO，,BAD=CAD，又因为B=60，所以OAC+OCA=60，所以AOC等于120，所以DOC=AOE=60所以又FOCDOC，所以FO=DO,又可证明AOEAFO，所以EO=FO，所以OE=OD.【毕】8. 如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：CDAC. 【解答】证明：解法一：延长AC至E,使CE=AC, 则AB=AE, 连结DE又AD平分BAC,AD=AD, ABDAED=ED=BD=ED=AD又CE=AC,DC=DC ECDACD=ACD=ECD又ACD+ECD=180 ACD=90=CDAC解法二：过D点作DFAB，AFD90ABAD，AFBF，又AB2AC，AFAC，AD平分BAC，FADCAD，FADCAD（SAS），AFDACD，CDAC. 【毕】9. BM，CN分别是ABC的外角BAD、ACE的平分线. AMBM，M、N为垂足. 求证：MNBC. 【解答】 延长AM、AN，可得中位线MN. 【毕】10. 如图，在中，求证：.【解答】【毕】11. 如图，锐角ABC中，B=2C，AD为BC边上的高，求证：DC=AB+BD. 【解答】 沿直线AD翻折ABD得ABE，可得两个等腰三角形ABE和AEC，DC=DE+EC=DE+AB=AB+BD. 【毕】12. 如图，已知中，AB=AC，的平分线交AC于D，作CEBD交BD的延长线于E. 求证：BD=2CE.【解答】 证2：可以从BD的一半入手.【毕】13. 已知点P是ABC的角平分线AD上任一点，且ABAC. 求证PBPCABAC. 【解答】 【毕】14. 如图，已知等腰RtABC中，B=90. BAC的平分线交BC于E，求证AB+BE=AC. 【解答】证明：延长AB至F使AFAC，连结EF. 易证AFEACE，所以AFAC，FACEAC是正方形ABCD的对角线，ACE45F45又CBAB，所以FBE90，BEF45BEBF， ACAFAB+BFAB+BE. 【毕】15. 如图所示，在中，AB=AC，BE平分交AC于E，求证：BC=AE+EB. 【解答】证明：延长【毕】16. 如图，点为正三角形的边所在直线上的任意一点(点除外)，作，射线与外角的平分线交于点，与有怎样的数量关系?【解答】联结DN，得等边DMN，易证DNBDMA，故DM=MN. 【毕】17. 在等边三角形ABC中，点E在边AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC. （1） 如图试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由（2） 若点P在直线AB上，点Q在直线BC上，且PQ=PC若ABC的边长为1，AP=2，求CQ的长.【解答】（1）相等. 过E作EFBC交AC于F，得等边AEF，AE=EF. 再证EFCDBE. （2）CQ=2或者CQ=3.【毕】18. 以的、为边向三角形外作等边、，连结、相交于点求证：平分【解答】先证得DACBAE.再利用面积法点A到DC、BE的距离相等，即得结论.【毕】【课后作业】1. 如图，ABDC，AD 求证：ABCDCB. 【解答】证明：取AD，BC的中点N、M，连接NB，NM，NC. 则AN=DN，BM=CM，在ABN和DCN中 ABNDCN （SAS） ABNDCN NBNC （全等三角形对应边、角相等）在NBM与NCM中 NMBNCM，(SSS) NBCNCB （全等三角形对应角相等）【毕】2. 如图，已知ABC中，AD是BAC的平分线，且BAD9，BAC的外角的平分线AE交BC的延长线于点E，ABACBE，求ABC的度数. 【解答】