2012届高考数学文科考点专题复习课件——函数的奇偶性与周期性

基础知识一、函数的奇偶性1一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域内每一个x，都有f(x) ，那么函数f(x)就叫奇函数；都有f(x) ，函数f(x)叫偶函数，奇偶函数的定义域是 (大前提),f(x),f(x),关于原点对称的,2函数可分为(按奇偶性)： 、 、 、 任何一个定义域对称的非奇非偶函数都可写成一个奇函数与一个偶函数的和，即f(x),奇函数,偶函数,既奇,且偶函数,非奇非偶函数,3基本性质：在公共定义域上，两函数有：奇奇 ，偶偶 ，奇奇 ，偶偶 ，奇奇 ，偶偶 (分母不为零)奇函数的反函数是 ，若奇函数的定义域包含0时，则 .4图象特征：奇函数图象关于 对称；偶函数图象关于 对称；反之亦然,奇,偶,偶,偶,偶,偶,奇函数,f(0)0,原点,y轴,5判定方法：首先看函数的 ，若对称，再看：f(x)是奇函数f(x) f(x)f(x) 图象 对称；f(x)是偶函数f(x) f(x)f(x) f(x)f(|x|) 图象关于 对称,定义域是否关于原点,对称,f(x),0,1(f(x)0),关于原点,f(x),0,1(f(x)0),f(x),y轴,6推广：yf(ax)是偶函数f(ax) f(x) f(x)关于 对称；类似地，f(ax)f(bx)f(x)关于x 对称yf(bx)是奇函数f(bx) f(x)关于 成中心对称图形；类似地，f(ax)f(bx)f(x)关于( ，0)中心对称,f(ax),f(2ax),xa,f(bx),(b,0),7一些重要类型的奇偶函数：函数f(x)axax为 函数，函数f(x)axax为 函数；函数f(x) (a0且a1)为 函数；函数f(x)loga为 函数；函数f(x)loga(x)为 函数,奇,奇,奇,奇,偶,二、函数的周期性1对于函数f(x)，如果存在一个 常数T，使得当x取定义域内的 值时，都有 ，那么函数f(x)叫做周期函数，非零常数T叫f(x)的 如果所有的周期中存在一个 ，那么这个 就叫f(x)的最小正周期2周期函数 有最小正周期，若T0是f(x)的周期，则kT(kZ，k0)也一定是f(x)的周期，周期函数的定义域无 界,非零,每一个,f(xT)f(x),周期,最小的正数,最小正数,不一定,上、下,3设a为非零常数，若对f(x)定义域内的任意x，恒有下列条件之一成立：f(xa)f(x)；f(xa) ；f(xa) ；f(xa) ；f(xa) ；f(xa)f(xa)，则f(x)是 函数， 是它的一个周期(上述式子分母不为零),周期,2a,若f(x)同时关于xa与xb对称(a0)，则f( )_.解析：f( )f( )又f( )f(T )f( )故f( )0.答案：0,5(2009重庆，12)若f(x) a是奇函数，则a_.解析：f(x)为奇函数，f(x)f(x)，答案：,【例1】判断下列函数的奇偶性,命题意图本题主要考查对函数奇偶性定义的理解解答(1)由 0，得定义域为1,1)，不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数,(3)当x0，则f(x)(x)2(x)x2xf(x)当x0时，x1，f(3)a，则()Aa3Ca1解析f(x5)f(x)，f(3)f(25)f(2)，又f(x)为奇函数，f(2)f(2)，又f(2)1，a1，选择C.答案C,设f(x)是定义在R上的奇函数，且yf(x)的图象关于直线x 对称，则f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)_.解析：f(x)在R上为奇函数，f(x)f(x)，且有f(0)0.又yf(x)的图象关于x 对称，f( x)f( x)，,f(1x)f ( x)f ( x)f(x)f(x)f(2x)f(1x)f(2x)f(x)函数的周期为2，且f(1)0.f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(1)f(0)f(1)f(0)f(1)0.答案：0总结评述：本题考查函数的奇偶性、对称性、周期性等函数性质.,【例3】(2009朝阳模拟)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且它的图象关于直线x1对称(1)求f(0)的值；(2)证明函数f(x)是周期函数；(3)若f(x)x(0x1)，求xR时，函数f(x)的解析式，并画出满足条件的函数f(x)至少一个周期的图象,解析(1)因为函数f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)，又f(x)的定义域为R，令x0，则f(0)f(0)，所以f(0)0.(2)证明：因为函数f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)又f(x)关于直线x1对称，所以f(x)f(2x)，即f(x2)f(x)所以f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)f(x)所以f(x)是以4为周期的周期函数.,(3)解：设1x0，则0x1，所以f(x)x，又f(x)f(x)，所以当1x0时，f(x)x，即f(x)x.又因为f(0)0，所以当1x1时，f(x)x.当1x3时，3x1，则12x1，所以f(2x)2x，而f(x)关于直线x1对称，所以f(2x)f(x)，所以f(x)2x(1x3)，,则f(x)则f(x)总结提示(1)若奇函数f(x)在x0处有定义，则f(0)0.(2)若函数f(x)对定义域内的任意x都有f(ax)f(ax)，则函数f(x)的图象关于直线xa对称，反之也成立,函数f(x)的定义域为Dx|x0，且满足对于任意x1、x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明；(3)如果f(4)1，f(3x1)f(2x6)3，且f(x)在(0，)上是增函数，求x的取值范围,解：(1)令x1x21，有f(11)f(1)f(1)，解得f(1)0.(2)令x1x21，有f(1)(1)f(1)f(1)解得f(1)0.令x11，x2x，有f(x)f(1)f(x)，f(x)f(x)f(x)为偶函数,(3)f(44)f(4)f(4)2，f(164)f(16)f(4)3.又f(3x1)f(2x6)3即f(3x1)(2x6)f(64)(*)f(x)在(0，)上是增函数，(*)等价不等式组或,即 或30)在区间m，n上的最值问题，有以下结论：1若km，n，则yminf(k) ，ymaxmaxf(m)，f(n)2若km，n，当kn时，ymin ，ymax (当a0时，图象与x轴有两个交点M1(x1,0)、M2(x2,0)，则|M1M2| .,b24ac,|x1x2|,2实系数二次方程ax2bxc0(a0)，两根为x1，x2，则(1)方程有两个不等正根(2)有两不等负根(3)一正根一负根 ；,x1x20,(4)x10(5)k0(6)x10f(k) 0；,0,易错知识一、求二次函数解析式时，因设法不恰当致使计算量过大1已知二次函数的图象经过点(1，6)、(1，2)和(2,3)，则这个二次函数的解析式为_答案：yx22x52若二次函数的图象经过点(0,1)，对称轴为x2，最小值为1，则它的解析式为_ .答案：y x22x13已知抛物线与x轴交于A(1,0)、B(1,0)，并经过点M(0,1)，则它的解析式为_答案：yx21,二、对二次函数的性质理解不透彻4函数f(x)x22ax3在区间1,2上是单调函数，则a的取值范围是_答案：(，12，)5若函数f(x)(k2)x2(k1)x2是偶函数，则f(x)的单调递增区间是_答案：(，06若函数yx2(a2)x3，xa，b的图象关于直线x1对称，则b_.答案：6,三、对于含参数的函数求最值或值域因考虑不全失误7已知函数f(x)ax2(2a1)x3(a0)在区间 ，2上的最大值为1，则实数a的值为_答案： 或,四、对于一元二次方程根的分布问题因考虑不全失误8关于x的方程x2(2a)x5a0的一个根大于0而小于2，另一个根大于4而小于6，则a的取值范围是_答案： a5,回归教材1函数yx2bxc(x0，)是单调函数的充要条件是()Ab0Bb0Cb0 Db0答案：A,2函数yx24x2在区间1,4上的最小值是()A7B4C2D2解析：y(x24x4)24(x2)22，在x4时，函数有最小值2.应选C.答案：C,3(教材P436题即2008高考安徽卷)a0是方程ax22x10至少有一个负数根的()A必要不充分条件B充分不必要条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：当a0时，x1x2 0，方程ax22x10有一个负根；当a0时，方程ax22x10的根为x .a0是方程ax22x10有一个负数根的充分不必要条件，故选B.答案：B,4二次函数yax2bxc(a0)的图象如图所示，确定下列各式的正负：b_，ac_，abc_.答案：000,5二次函数yf(x)满足f(0)f(2)，x1、x2是方程f(x)0的两个实根，则x1x2_.答案：2,【例1】已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式,解析方法一：利用二次函数一般式设f(x)ax2bxc(a0)，由题意得解之得二次函数为y4x24x7.,方法二：利用二次函数顶点式设f(x)a(xm)2n，f(2)f(1)，抛物线对称轴为m ，又根据题意，函数有最大值为n8，yf(x)a 28.f(2)1，a 281.解之得a4.f(x)4(x )284x24x7.,方法三：利用双根式(零点式)由已知f(x)10的两根为x12，x21，故可设f(x)1a(x2)(x1)，即f(x)ax2ax2a1.又函数有最大值8.即 8，解之得a4或a0(舍)，所求函数解析式为f(x)4x24x7.,总结评述本题采用二次函数式的三种形式，以上三种解法求得，法一最好想，法二注重观察得f(2)f(1)，从而得f(x)的对称轴方程，法三采用构造法，由f(2)f(1)1，构造了方程f(x)10，采用双根式表达f(x)1，从而得f(x),设二次函数f(x)满足f(2x)f(2x)，且f(x)0的两个实根的平方和为10，f(x)的图象过点(0,3)，求f(x)的解析式思路点拨：由f(2x)f(2x)，可得函数f(x)的图象关于x2对称，故可设函数f(x)a(x2)2k(a0),解析：f(2x)f(2x)，f(x)的图象关于直线x2对称，于是，设f(x)a(x2)2k(a0)，则由f(0)3，可得k34a，f(x)a(x2)234aax24ax3.ax24ax30的两实根的平方和为10，10xx(x1x2)22x1x216 ，a1.f(x)x24x3.,方法技巧：本题可设f(x)ax2bxc(a0)，然后利用条件求出a，b，c，从而求得二次函数解析式不过利用隐含条件(即函数f(x)图象的对称轴为x2)，设f(x)a(x2)2k(a0)来解决更为简捷温馨提示：本题易忽视条件f(2x)f(2x)的挖掘利用，而致使计算量明显加大.,【例2】(2009湖北黄冈)已知y2x22ax3在区间1,1上的最小值为f(a)，试求f(a)的解析式，并指出函数yf(a)的单调性命题意图本题主要考查一元二次函数在闭区间上的最值和函数的单调性分析讨论对称轴与区间的位置关系,则g(x)minf(a)当a0时，f(a)为增函数，当a0时，f(a)为减函数,(2009江苏启东市期中练习)函数yx22x在4,3上的最大值为_解析：yx22x(x1)21，函数在4,3上的最大值为15.答案：15总结评述：本题主要考查二次函数在给定区间内的最值，结合二次函数图象，较易解决,(2009安徽皖南八校第二次联考)已知函数yx2ax1在区间0,3上有最小值2，则实数a的值为()A2BC2 D4答案：C,解析：当 0，即a0时，函数在区间0,3上为增函数，故f(x)minf(0)1不符合题意，舍去；当 3，即a6时，函数在区间0,3上为减函数，故f(x)minf(3)2a ，与a6不符，舍去；当0 3，即6a0，f(1)0，求证：(1)a0且2 0，f(1)0，c0,3a2bc0，abc0，消去b得ac0；再由条件abc0，消去c得ab0，2 0，f(1)0，而f()abca0，方程f(x)0有两个实根，设方程的两根为x1，x2，由韦达定理得， 故两根为正，又(x11)(x21) 20，(x11)(x21) 0，故两根均小于1，命题得证,总结评述高考对二次函数的考查是常考常新解决时要特别注意三个“二次”的联系，特别是充分利用二次函数的图象，常使问题的解决显得直观明了,设二次函数f(x)ax2bxc(a0，a，b，cR)，且f(1) ，a2cb.(1)判断a，b的符号(2)证明：f(x)0至少有一个实根在区间(0,2)内,解析：(1)f(1) ，3a2b2c0，又a2cb.3a2b2c3b2bb6b，综合得a0且b0.(2)证明：由得b ac，又f(0)c，f(2)4a2bcac.(a)当c0时，a0，f(1) 0，且f(2)ac0.f(x)0在(1,2)内至少有一个实数根,(b)当c0时，a0.f(0)c0，且f(1) 0.f(x)0在区间(0,1)内至少有一个实根综合(a)、(b)可得f(x)0在(0,2)内至少有一个实数根反思归纳：本题利用