12二次函数的性质与图像1教师版初二自招进度一

第第 12 讲讲 二次函数的性质与图像二次函数的性质与图像（1） 【知识点】 1. 二次函数的概念 一般地，解析式形如cbxaxy 2 （其中cba、是常数，且0 a）的函数叫做二 次函数（quadratic function） 。二次函数cbxaxy 2 的定义域为一切实数。 2. 二次函数图像特征 抛 物 线：二次函数的图像是一条曲线，类似于抛出物体在空中所经过的路线，所以称为 抛物线。二次函数cbxaxy 2 的图像，叫做抛物线cbxaxy 2 。 （1）当0 a时开口向上；当0 a时开口向下。 （2）a、b符号相同时对称轴在y轴左侧； a、b符号不同时对称轴在y轴右侧。 （左同右异） （3）当0 a时抛物线顶点为最低点，顶点纵坐标为函数最小值； 当0 a时抛物线顶点为最高点，顶点纵坐标为函数最大值。 （4）当0 a时对称轴左侧y随x增大而减小，对称轴右侧y随x增大而增大； （左降右升） 当0 a时对称轴左侧y随x增大而增大，对称轴右侧y随x增大而减小。 （左升右降） 【例题精讲】 【例题1】判断下列函数是否是二次函数，并说明理由。 （1） 2 23xy ； （2） x xy 1 2 ； （3） 2 2 3xxy ； （4）12 23 xxy. 解析：（1） 是二次函数；（2） 中含有分式， 所以不是二次函数；（3） 化简后得到96 xy， 是一次函数； （4）中自变量x的最高次数大于2，也不是二次函数. 【例题2】（1） 形如cbxaxy 2 的函数只有在_的条件下才是二次函数。 （2）m取哪些值时， 函数 1 22 mmxxmmy是以x为自变量的二次函数？ （3）若函数 1 22 mmxxmmy是以x为自变量的一次函数，则m取哪些 值？ 解： （1）cba、是常数，且0 a。 （2）由0 2 mm,得0 m且1 m，当0 m且1 m时，函数为二次函数； （3）由题意得： 0 0 2 m mm ，解得1 m， 【例题3】运用“列表、描点、连线”的方法在一个直角坐标系中分别作出下列函数的图像， 并分析图像特征和关系填入表中。 （1） 2 xy ， 2 xy （2）1 2 1 2 xy，1 2 1 2 xy （3） 2 )1(2 xy， 2 )1(2 xy （列表、描点略） 解： （1） x y y y=-=-x x2 2 y y= =x x2 2 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5o （2） （3） 性质 函数 开口方向 对称轴 顶点（最值 点） y随x的 变 化情况 位置关系 2 xy 向上 y轴 )00( ， 左降右升 关 于x轴 对 称 2 xy 向下 y轴 )00( ， 左升右降 1 2 1 2 xy 向上 y轴 )10( ， 左降右升 前者向下平移 两个单位得到 后者 1 2 1 2 xy 向上 y轴 )10( ， 左降右升 x x y y y y= = 1 1 2 2x x 2 2+ +1 1 y y= = 1 1 2 2x x 2 2- -1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5o o x x y y y y=-=-2 2( (x x+ +1 1) )2 2 y y=-=-2 2( (x x- -1 1) )2 2 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 o o 2 )1(2 xy 向下 直线1 x )01(， 左升右降 前者向右平移 两个单位得到 后者 2 )1(2 xy 向下 直线1 x )01( ， 左升右降 【例题4】分别写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标，并根据这三个图像特征作出 它们的大致图像（要能反映图像特征） 。 （1） 2 3xy ； （2）23 2 xy； （3） 2 2 3 1 xy. 解： （1）开口向上，y轴， （0,0） （2）开口向下，y轴， （0,2） （3）开口向上，直线2 x， （0 , 2 ） （作图略）注意强调：作图时必须标明抛物线的开口方向、对称轴和顶点，在必要的时候还 要标明图像与两坐标轴的交点。 【例题5】在同一直角坐标系中baxy 2 与baxy （00 ba，）的图像的大致 位置是（ D ） 【例题6】已知 4 2 2 kk xky是二次函数，且当0 x时，图像呈上升趋势。 （1）求k的值； （2）求函数图像的顶点坐标和对称轴。 解： （1）由题意知： 02 24 2 k kk ，解得2 k。 （2）二次函数为 2 4xy ，图像得顶点坐标为)00( ，对称轴是直线0 x，即y轴。 x y D3D2 D1 C ABO 【例题7】求符合下列条件的抛物线1 2 axy的函数关系式： （1）通过点)2 , 3( ； （2）与 2 2 1 xy 的开口大小相同，方向相反； （3）当x的值由0增加到2时，函数值减少4。 解： （1）1)3(2 2 a，解得 3 1 a，故. 1 3 1 2 xy （2）由已知，得 2 1 a，故. 1 2 1 2 xy （3） 当0 x时，1 y； 当2 x时，. 122 ay故5122 a，1 a， 即. 1 2 xy 【例题8】已知二次函数mxxy 2 2 的图像与x轴的一个交点为)0 , 3(A， 另一个交 点为B，且与y轴交于点C （1）求m的值； （2）求点B的坐标； （3）该二次函数图像上有一点),(yxD， 使 ABCABD SS ，求点D的坐标 解： （1）3 m； （2）)0 , 1( B； （3）)3 , 2( 1 D、)3,71( 2 D、)3,71( 3 D 【例题9】已知正方形的周长为C，面积为S。 （1）求S和C之间的函数解析式，并画出函数图像； （2）根据函数图像，求出1 S时该正方形周长； （3）根据函数图像，求出4 S时C的取值范围。 解： （1）由题意得： 2 16 1 CS (0 C)列表画图略 （2）根据图像得1 S时，正方形的周长为4 （3）根据图像得，当8 C时，4 S 注意： 此函数图像在第一象限， 且原点处为空闲点。 横纵轴字母应为题中的字母C、S， 不要习惯性地写出x、y。 【例题10】我州有一种可食用的野生菌， 上市时， 外商李经理按市场价格30元/千克收购了 这种野生菌1000千克存放入冷库中， 据预测， 该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨1元； 但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计310元，而且这类野生菌在冷库中最 多保存160元，同时，平均每天有3千克的野生菌损坏不能出售 （1）设x天后每千克该野生菌的市场价格为y元，试写出y与x之间的函数关系式 （2）若存放x天后，将这批野生菌一次性出售，设这批野生菌的销售总额为P元，试写出 P与x之间的函数关系式 （3）李经理将这批野生茵存放多少天后出售可获得最大利润W元？ （利润销售总额收购成本各种费用） 分析：首先理解好该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨1元；所以野生菌的市场 价格30 xy，在理解好且这类野生菌在冷库中最多保存160元，同时， 平均每天有3千 克 的 野 生 菌 损 坏 不 能 出 售 ， 根 据 销 售 总 额 单 价 销 售 量 ， 可 知 ： 300009103)31000)(30( 2 xxxxP， 可获得最大利润实际是根据利润销 售总额收购成本各种费用，求出W与x的函数关系式 xxxW310100030)300009103( 2 解：由题意得y与x之间的函数关系式30 xy（1601 x，且x整数） 由题意得P与x之间的函数关系式300009103)31000)(30( 2 xxxxP 由题意得30000)100(3310100030)300009103( 22 xxxxW 当 100 x时，30000 最大最大 W，100天 160天， 存放100天后出售这批野生菌可获得最大利润30000元（也可以用抛物线的顶点坐标公 式求最值） 点评： 本题主要考查的应用二次函数的建模思想解决实际问题， 在配方求二次函数的最大值， 注意判断 【例题11】如图， 在ABC中， 90B，cmAB12 ，cmBC16 ， 动点P从点A 开始 沿边AB向B以scm/2的速度移动 （不与点B重合） ， 动点Q从点B开始沿边BC向C以 scm/4的速度移动（不与点C重合） 。如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过几 秒，四边形APQC的面积最小，最小面积为多少？ 解：设tAP2 cm，则tBQ4 cm ttttBQBPS BPQ 2444)212( 2 1 2 1 2 96244 2 ttSSS BPQABCAPQC四边形四边形 60)3(4 2 t 经过3秒，四边形APQC的面积最小，最小面积为60 2 cm。 总结：抛物线khxay 2 )(（其中kma、是常数，且0 a）的图像性质如下： （1）对 称 轴：是过点)0( ，h且平行（或重合）于y轴的直线，即直线hx ； （2）顶 点：)(kh，； （3）开口方向：当0 a时，它的开口向上，顶点是抛物线的最低点； 当0 a时，它的开口向下，顶点是抛物线的最高点。 【例题12】利用配方法，把下列函数写成 kmxay 2 的形式（顶点式） ，并写出它 们图像的开口方向、对称轴和顶点坐标。 （1）16 2 xxy； （2）432 2 xxy； （3）nxxy 2 ； （4）qpxxy 2 。 解： （1）10)3( 2 xy，开口向下，对称轴为直线3 x，顶点坐标为)103( ，； （2） 8 23 ) 4 3 (2 2 xy，开口向上，对称轴为直线 4 3 x，顶点坐标为) 8 23 4 3 ( ，； （3） 4 ) 2 ( 2 2 nn xy ，开口向下，对称轴为直线 2 n x ，顶点坐标为) 42 ( 2 nn， ，； （4） 4 ) 2 ( 2 2 p q p xy ，开口向上，对称轴为直线 2 p x ，顶点坐标为 ) 42 ( 2 p q p ，。 【例题13】通过配方，确定抛物线642 2 xxy的开口方向、对称轴和顶点坐标， 并作出该抛物线的大致图像。 提示：要求学生抓住该抛物线的图像特征（开口方向、顶点坐标、对称轴、与坐标轴交 点等）再作图。 解：8)1(2642 22 xxxy， 所以该抛物线开口向下， 对称轴是直线1 x， 顶点坐标为)81( ，。 在y轴上找出点)60( ，以及顶点)81( ，连线，如图所示。 y x 1 6 8 1 o o 【课后作业】 【作业1】已知抛物线23xay经过点（2，1） ，求抛物线的表达式，并说出他的开 口方向，对称轴及顶点坐标。 答案：23xy，开口向上，对称轴3x，顶点坐标（3,0） 。 【作业2】如图，直线l过点 A（4，0）和点 B（0，4） ，它与二次函数 2 axy 的图像交于 点 P，若AOP的面积为 4，求二次函数表达式。 提 示 ： 先 求 出 直 线l的 解 析 式 为4xy. 由 题 意 知 AOPOA 边上的高为 P 点纵坐标。OA=4。 所以 P 点纵坐标为2 4 42 ，带入直线方程得到 P 点坐标 为（2，2） ，带入抛物线方程 2 axy ，得到 2 1 a。 所以该二