02 二次函数的图像与性质学生2016春季 初二数学自招进度一

1 第二讲 二次函数的图像与性质（1） 【二次函数的定义】 1.一般地，形如cbxaxy 2 （cba,为常数，0a）的函数称为x的二次函数，其中x为自 变量，y为因变量，cba,分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数 2.任何二次函数都可以整理成cbxaxy 2 （cba,为常数，0a）的形式 3.判断函数是否为二次函数的方法： 1含有一个变量，且自变量的最高次数为 2； 2二次项系数不等于 0； 3等式两边都是整式 4.二次函数自变量x的取值范围是全体实数 【二次函数 2 0yaxa的图像及性质】 1. 抛物线 2 yax的顶点是坐标原点（0，0） ，对称轴是0 x （y轴） 2. 函数 2 yax的图像与a的符号关系 当0a 时抛物线开口向上顶点为其最低点； 当0a 时抛物线开口向下顶点为其最高点； 3. 抛物线的开口大小与|a有关，|a越大，开口越小；|a越小，开口越大 【二次函数 2 0yaxc a的图像及性质】 1.顶点坐标：原点（0，c） 2.对称轴：0x（y轴） 3.函数caxy 2 的图像与a的符号关系： 当0a时抛物线开口向上顶点为其最低点； 当0a时抛物线开口向下顶点为其最高点. 2 4.函数caxy 2 的图像可以看做是由函数 2 axy 的图像向上或向下平移|c个单位得到的； 0c 时，向上平移；0c 时，向下平移 5.c决定了函数图象与y轴的交点坐标：(0)c， 【二次函数 2 0ya xha的图像及性质】 1.顶点坐标：原点（h，0） 2.对称轴：xh 3.函数 2 ya xh的图像与a的符号关系： 当0a时抛物线开口向上顶点为其最低点； 当0a时抛物线开口向下顶点为其最高点. 4.函数 2 ya xh的图像可以看做是由函数 2 axy 的图像向左或向右平移|h个单位得到的； 0h 时，向右平移；0h 时，向左平移 【二次函数 2 0ya xha的图像及性质】 1.顶点坐标：原点（h，k） 2.对称轴：xh 3.函数 2 ya xhk的图像与a的符号关系： 当0a时抛物线开口向上顶点为其最低点； 当0a时抛物线开口向下顶点为其最高点. 4.函数 2 ya xhk的图像可以看做是由函数 2 axy 的图像先向左或向右平移|h个单位，在向 上或向下平移|k个单位得到的；当0h 时，向右平移，当0h 时，向左平移；0k 时，向上平 移，0k 时，向下平移 【二次函数 2 0ya xha的图像及性质】 1.顶点坐标： 2 4 , 24 bacb aa 2.对称轴： 2 b x a 3.图象：抛物线 4.最值： 0a时，函数有最小值 a bac 4 4 2 ；0a时，函数有最大值 a bac 4 4 2 3 5.图象与字母之间的关系： a的符号决定了函数图象的开口方向：0a ，图象开口向上，0a 图象开口向下 |a决定了函数图象的开口大小：|a越大，开口越小；|a越小，开口越大 a与b共同决定抛物线对称轴与y轴的位置：左同右异 c决定了函数图象与y轴的交点坐标：0,c 2 4bac决定了函数图象与x轴的交点情况： 当 2 40bac， 有两个交点； 当 2 40bac， 有一个交点；当 2 40bac，没有交点 当1x 时，可以得到abc的值；当1x 时，可以得到abc的值 4 【例 1】 下列函数中是二次函数的是（） A 2 1 23 y xx B 32 32yxxC 2 2 2yxxD 2 2yxx 【例 2】 若函数 2 2 1 mm ymx 为二次函数，则m的值为_ 【例 3】 若函数 232 (1)(1)ymxmx的图象是抛物线，则_m 【例 4】 在一幅长80厘米、宽50厘米的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整 个挂画总面积为y，金色纸边的宽为x，则y与x的关系式是_ 【例 5】 已知 2 4 (2) kk ykx 是关于x的二次函数，则_k 【例 6】 若 2 221 ()3 mm ymm xm 是二次函数，则_m 【例 7】 如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是 2 yax； 2 ybx； 2 ycx； 2 ydx 则 a、b、c、d的大小关系为（） Aabcd；BabdcCbacdDbadc 【例 8】 已知函数 2 4 2 mm ymx 是关于x的二次函数， 求满足条件的m的值 当m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，抛物线的开口方向、增减性如何？ 当m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时抛物线的开口方向、增减性如何？ 5 【例 9】 函数 2 23yx的图象可以看做是函数 2 2yx的图象向平移个单位得到的 【例 10】函数 2 5yx 的图象可以看做是函数 2 53yx 的图象向平移 个单位得到的 【例 11】二次函数 2 23yx 的图象开口，当时，y 随x的增大而减小； 【例 12】抛物线 2 25yx的顶点坐标是，对称轴 是； 抛物线 2 3 42yx的开口方向，顶点坐标，对称轴 是，当时，y随x的增大而增大 【例 13】已知直线1yx与x轴交于点A，抛物线 2 2yx 的顶点平移后与点 A重合 求平移后的抛物线C的解析式； 若点 11 ,B x y， 22 ,C xy在抛物线 C 上，且 12 1 2 xx，试比较 1 y， 2 y的大小 【例 14】已知，抛物线 2 1 31yx的顶点为C，与y轴交点为A，过点A作 y轴的垂线，交抛物线于另一点B （1）求直线AC的方程 2 ykxb；求ABC的面积；当自变量x满足什么条件时，有 12 yy？ 6 【例 15】已知 2 ya xhk是由抛物 线 2 1 2 yx 向上平移 2 个单位长度， 再向右平移 1 个单位长度得 到的抛物线 求出a、h、k的值； 在同一坐标系中，画出 2 ya xhk与 2 1 2 yx 的图象； 观察 2 ya xhk的图象，当x取何值时，y随x的增大而 增大；当x取何值时，y随x的增大而减小，并求出函数的最值； 观察 2 ya xhk的图象，你能说出对于一切x的值，函数 y的取值范围吗？ 【例 16】将下列函数配成 2 ()ya xhk的形式，并求顶点坐标、对称轴及最 值 2 610yxx 2 257yxx 【例 17】二次函数 2 yaxbxc的图象如图所示，则下列关于, ,a b c之间的关 系判断正确的是（） A0ab ；B0bc ；C0abc；D0abc 7 【例 18】抛物线 2 yaxbxc的对称轴是2x ， 且经过点3,0P， 则abc 的值为（） A1B0C1D2 【例 19】二次函数 2 yaxbxc的图象如图，则不等式0bxa的解为 （） A a x b B a x b C a x b D a x b 【例 20】如图，已知抛物线 2 yaxbxc，则关于x的方程 2 30axbxc 的根的情况是（） A有两个不相等的正实根B有两个异号实数根 C有两个相等的实数根D没有实数根 【例 21】函数 2 2yx， 2 32yx， 2 21yx的_相同 A.形状B.顶点C.最小值D.增减性 【例 22】已知二次函数 2 yaxbxc的图象如图所示， 则在同一直角坐标系中， 一次函数yaxc和反比例函数 a y x 的图象大致是（） 8 【例 23】函数 2 yax与yaxb 在同一坐标系的图象可能是（） 【例 24】二次函数 2 yaxbxc的图象如图所示，则一次函数 2 4ybxbac与反比例函数 abc y x 在同一坐标系内的图象大致为（） 【例 25】抛物线 2 32yxx不经过第_象限 A.一B.二C.三D.四 【例 26】已知二次函数 2 yaxbxc的图象如图所示，下列结论： 0abc；0abc；0abc ；20ab，其中正确结论的个数是（） A.1B.2 C.3D.4 9 【作业 1】抛物线 2 (2)3yx的图象可以看作是由抛物线 2 yx平移得到，则下列平移过程正确 的是() A.先向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位 B.先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位 C.先向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位 D.先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位 【作业 2】二次函数 2 365yxx 的图象的顶点坐标是（） A( 1 8) ，B(1 8)，C( 1 2) ，D(14)， 【作业 3】给出下列四个函数：xy；yx； x y 1 ； 2 xy ，当0x时，y随x的 增大而减小的函数有（） A1 个B2 个C3 个D4 个 【作业 4】已知抛物线cbxaxy 2 的开口向下， 顶点坐标为 （2， -3）， 那么该抛物线有 （） A.最小值3B.最大值3C.最小值 2D.最大值 2 【作业 5】已知二次函数 2 yaxbxc的图象如图所示，有以下结论：0abc； 1abc；0abc ；420abc；1ca其中所有正确结论的序号是（） AB CD 【作业 6】已知二次函数的图象(03x)如图所示关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说 法正确的是() A有最小值 0，有最大值 3B有最小值1，有最大值 0 C有最小值1，有最大值 3D有最小值1，无最大值 10 【作业 7】已知函数 2 222 ()(32)2 mm ymm xmmxmm ，当m=_