2 一次方程、方程组的解法学生版预初数学进阶进度一

一次方程、方程组的解法一次方程、方程组的解法 1 / 10 第二讲 一次方程、方程组的解法 一元一次方程的概念： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1，系数不等于 0 的方程叫做一元一次方程，这里的 “元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数 一元一次方程的形式： 最简形式：方程axb(0a ，a，b为已知数)叫一元一次方程的最简形式 标准形式：方程0axb(其中0a ，a，b是已知数)叫一元一次方程的标准形式 注意： 任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式，所以判断一个方程是不是一元一次方程，可 以通过变形（必须为恒等变换）为最简形式或标准形式来验证如方程 22 216xxx 是一元一次 方程如果不变形，直接判断就出会现错误 方程axb与方程0axb a是不同的，方程axb的解需要分类讨论完成 二元一次方程组的概念 1.含有两个未知数，并且含未知数项的最高次数是 1 的方程叫二元一次方程. 判定一个方程是二元一次方程必须同时满足三个条件： 方程两边的代数式都是整式整式方程； 含有两个未知数“二元” ； 含有未知数的项的次数为 1“一次”. 2.二元一次方程的一般形式：0axbyc(0a ，0b ) 3.二元一次方程的解：使二元一次方程左、右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的 解. 一般情况下，一个二元一次方程有无数个解. 一次方程、方程组的解法一次方程、方程组的解法 2 / 10 【一元一次方程的解法】 解一元一次方程的一般步骤： 1去分母：在方程的两边都乘以各分母的 最小公倍数 温馨提示：不要漏乘不含分母的项，分子是个整体，含有多项式时应加上括号 2去括号：一般地，先去 小括号，再去 中括号，最后去 大括号 温馨提示：不要漏乘括号里的项，不要弄错符号 3移项：把含有 未知数 的项都移到方程的一边， 不含未知数的项 移到方程的另一边 温馨提示：移项要变号；不要丢项 4合并同类项：把方程化成axb的形式 温馨提示：字母和其指数不变 5系数化为 1：在方程的两边都除以未知数的系数a(0a )，得到方程的解 b x a 温馨提示：不要把分子、分母搞颠倒 【例1】 下列等式中变形正确的是（ ） A.若 31 42 2 x x ，则3144xx B. 若 31 42 2 x x ，则31 82xx C. 若 31 42 2 x x ，则31 80 x D. 若 31 42 2 x x ，则31 84xx 【例2】 122 233 xx x 【巩固】解方程：6(1)5(2)2(23)xxx 12 2 25 yy y 一次方程、方程组的解法一次方程、方程组的解法 3 / 10 【巩固】解方程： (1)3(3)52(25 )xx；(2)2 4356 3221xxx； (3) 135 (3)3(2)36 524 xx 先变形、再解方程 本类型题：需要先利用等式的基本性质，将小数化为整数，然后再进行解方程计算 【例3】 解方程： 7110.251 0.0240.0180.012 xxx 解：原方程可化为 7110.251 432 xxx 去分母，得 根据等式的性质( ) 去括号，得 移项，得 根据等式的性质( ) 合并同类项，得 系数化为1，得 根据等式的性质( ) 【例4】 0.130.41 20 0.20.5 xx 一次方程、方程组的解法一次方程、方程组的解法 4 / 10 逐层去括号 含有多重括号时，去括号的顺序可以从内向外，也可以从外向内. 【例5】 解方程： 1 1 1 1620 3 4 3 x 【巩固】解方程： 11111 1 3261224 x 【例6】 解方程： 111107 2 1()3(2) 33623 xxx xx 【巩固】解方程： 111 2(1)(1) 223 xxxx 一次方程、方程组的解法一次方程、方程组的解法 5 / 10 整体思想 注意观察方程中，完全一样的整式 【例7】 解方程： 1123 (23)(32 ) 11191313 xxx 【巩固】方程 11 3(1)(1)2(1)(1) 32 xxxx 【二元一次方程组的解法】 代入消元法 代入法是通过等量代换，消去方程组中的一个未知数，使二元一次方程组转化为一元一次方程，从而 求得一个未知数的值，然后再求出被消去未知数的值，从而确定原方程组的解的方法. 代入消元法是解二元一次方程组的基本方法之一.“消元”体现了数学研究中转化的重要思想，代入法 不仅在解二元一次方程组中适用，也是今后解其他方程（组）经常用到的方法. 用代入法解二元一次方程组的一般步骤： 从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，例如y，用另一个未知数如x 的代数式表示出来，即写成yaxb的形式； yaxb代入另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程； 解这个一元一次方程，求出x的值； 回代求解：把求得的x的值代入yaxb中求出y的值，从而得出方程组的解. 一次方程、方程组的解法一次方程、方程组的解法 6 / 10 把这个方程组的解写成 xa yb 的形式. 【例8】 把方程2()3()3xyyx改写成用含x的代数式表示y的形式，则（ ） A.53yx B.3yx C.53yx D. 53yx 【巩固】已知关于x、y的二元一次方程 2 3 x by a （a、b均为常数） ，将其改写为用含x的代数式表 示y的形式 【例9】 用代入消元法求解下列二元一次方程组 25 342 xy xy ， 5225 3415 xy xy 【例10】 已知0.5 a ba b xy 与 13 2 3 a xy 是同类项，那么（ ） A. 1 2 a b B. 1 2 a b C. 2 1 a b D. 2 1 a b 【巩固】单项式 28 3 mn xy 与 234 2 mn x y 是同类项，则_mn 加减消元法 加减法是消元法的一种， 也是解二元一次方程组的基本方法之一.加减法不仅在解二元一次方程组中适 用，也是今后解其他方程（组）经常用到的方法. 用加减法解二元一次方程组的一般步骤： 变换系数：把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数 互为相反数或相等； 加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； 解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； 回代：将求出的未知数的值代入原方程组中，求出另一个未知数的值； 把这个方程组的解写成 xa yb 的形式. 一次方程、方程组的解法一次方程、方程组的解法 7 / 10 加减消元方法的选择： 一般选择系数绝对值最小的未知数消元； 当某一未知数的系数互为相反数时，用加法消元；当某一未知数的系数相等时，用减法消元； 某一未知数系数成倍数关系时，直接对一个方程变形，使其系数互为相反数或相等，再用加减消元 求解； 当相同的未知数的系数都不相同时，找出某一个未知数的系数的最小公倍数，同时对两个方程进行 变形，转化为系数的绝对值相同，再用加减消元求解. 【例11】 用加减消元法、解下列方程 25 1 xy xy 24 22 xy xy 【巩固】用加减消元法解下列方程 37 528 xy xy 451 413 xy xy 328 237 xy xy 425 645 xy xy 选用恰当的方法解下列方程组 【例12】 选择合适方式解下列方程： 8923 17674 xy xy 一次方程、方程组的解法一次方程、方程组的解法 8 / 10 【巩固】解下列方程组： (1) 3(1)4(4) 5(1)3(5) yx xy ； (2) 2132 2 45 3132 0 45 yx yx ； (3) 215 3224 111 466 xy xy ； (4) 35 72 43 10()4(1) 3 xyy x xyx y 【例13】 已知x、y满足方程组 21005 21004 xy xy ，则xy的值为_ 【巩固】在方程组 21 22 xym xy 中，若未知数x、y满足0 xy，则m的取值范围为（ ） A.3m B.3m C.3m D.3m 【例14】 已知关于x、y的方程组 2 27 xyk xyk ，则:_x y 一次方程、方程组的解法一次方程、方程组的解法 9 / 10 【巩固】已知, ,x y z满足方程组 20 7450 xyz xyz ，且0 x ，求：:x y z的值. 【例15】 解方程组： 216 46 2 2372 yx yx yxxy