北京市西城区2017-2018学年度高三上学期期末理科数学试卷

北京市西城区 2017 2018 学年度第一学期期末试卷 高三数学（理科） 2018.1 第第卷卷（选择题 共 40 分） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选 出符合题目要求的一项 1若集合，则 |03Axx | 12Bxx AB （A） | 13xx （B） | 10xx （C） |02xx（D） |23xx 2下列函数中，在区间上单调递增的是(0,) （A）1yx （B）|1|yx（C）sinyx （D） 1 2 yx 3执行如图所示的程序框图，输出的值为S （A）2 （B）6 （C）30 （D）270 4已知为曲线：（为参数）上的动点设为原点，则的MC 3cos , sin x y OOM 最大值是 （A）1（B）2 （C）3（D）4 5实数满足 则的取值范围是, x y 10, 10, 10, x xy xy 2xy （A）0,2（B）(,0 （C） 1,2（D）0,) 6设是非零向量，且不共线则“”是“”的, a b, a b|ab|2 |2|abab （A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件 7已知，是函数的图象上的相异两点若点，到直线的距离相等，AB2 x y AB 1 2 y 则点，的横坐标之和的取值范围是AB （A）(, 1) （B）(,2) （C）( 1,) （D）( 2,) 8在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位 mol/L，记作 ）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位 mol/L，记作）的乘积等于常数H OH 已知 pH 值的定义为，健康人体血液的 pH 值保持在 7.357.45 14 10pHlgH 之间，那么健康人体血液中的可以为 H OH （参考数据：，）lg20.30lg30.48 （A） 1 2 （B） 1 3 （C） 1 6 （D） 1 10 第第卷卷（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9在复平面内，复数对应的点的坐标为_ 2i 1i 10数列是公比为的等比数列，其前项和为若，则 n a2n n S 2 1 2 a _；_ n a 5 S 11在中，的面积为，则 _ ABC3a 3 C ABC 3 3 4 c 12把件不同的产品摆成一排若其中的产品与产品都摆在产品的左侧，则不同4ABC 的摆法有_种 （用数字作答） 13从一个长方体中截取部分几何体，得到一个以原长方体的 部分顶点为顶点的凸多面体，其三视图如图所示该几何 体的表面积是_ 14已知函数 若，则的值域是_；若的值 2 ,2, ( ) 1 ,3. xxxc f x cx x 0c ( )f x( )f x 域是，则实数的取值范围是_ 1 ,2 4 c 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤 15 （本小题满分 13 分） 已知函数 2 ( )2sincos(2) 3 f xxx （）求的最小正周期；( )f x （）求在区间上的最大值( )f x 0, 2 16 （本小题满分 13 分） 已知表 1 和表 2 是某年部分日期的天安门广场升旗时刻表 表 1：某年部分日期的天安门广场升旗时刻表 日期升旗时刻日期升旗时刻日期升旗时刻日期升旗时刻 1 月 1 日7:364 月 9 日5:467 月 9 日4:5310 月 8 日6:17 1 月 21 日7:314 月 28 日5:197 月 27 日5:0710 月 26 日 6:36 2 月 10 日7:145 月 16 日4:598 月 14 日5:2411 月 13 日 6:56 3 月 2 日6:476 月 3 日4:479 月 2 日5:4212 月 1 日7:16 3 月 22 日6:156 月 22 日4:469 月 20 日5:5912 月 20 日 7:31 表 2：某年 2 月部分日期的天安门广场升旗时刻表 日期升旗时刻日期升旗时刻日期升旗时刻 2 月 1 日7:232 月 11 日 7:132 月 21 日 6:59 2 月 3 日7:222 月 13 日 7:112 月 23 日 6:57 2 月 5 日7:202 月 15 日 7:082 月 25 日 6:55 2 月 7 日7:172 月 17 日 7:052 月 27 日 6:52 2 月 9 日7:152 月 19 日 7:022 月 28 日 6:49 （）从表 1 的日期中随机选出一天，试估计这一天的升旗时刻早于 7:00 的概率； （）甲，乙二人各自从表 2 的日期中随机选择一天观看升旗，且两人的选择相互独立记 为这两人中观看升旗的时刻早于 7:00 的人数，求的分布列和数学期望XX()E X （）将表 1 和表 2 中的升旗时刻化为分数后作为样本数据（如 7:31 化为） 记表 2 中 31 7 60 所有升旗时刻对应数据的方差为，表 1 和表 2 中所有升旗时刻对应数据的方差为 2 s ，判断与的大小 （只需写出结论） 2 * s 2 s 2 * s 17 （本小题满分 14 分） 如图，三棱柱中，平面， 111 ABCA B CAB 11 AAC C 1 2AAABAC . 1 60A AC 过的平面交于点，交于点. 1 AA 11 B CEBCF （）求证：平面； 1 AC 1 ABC （）求证：四边形为平行四边形； 1 AA EF （）若，求二面角的大小. 2 3 BF BC 1 BACF 18 （本小题满分 13 分） 已知函数，其中( )esin1 ax f xx0a （）当时，求曲线在点处的切线方程；1a ( )yf x(0,(0)f （）证明：在区间上恰有个零点 ( )f x0,2 19 （本小题满分 14 分） 已知椭圆过点，且离心率为 22 22 :1(0) xy Cab ab (2, 0)A 3 2 （）求椭圆的方程；C （）设直线与椭圆交于两点若直线上存在点，使得四边形3ykxC,M N3x P 是平行四边形，求的值PAMNk 20 （本小题满分 13 分） 数列：满足：，或 n A 12 ,(4) n aaan 1 1a n am 1 0 kk aa 1 (1, 2,1)kn 对任意，都存在，使得，其中且两两不相等, i j, s t ijst aaaa, , ,1,2, i j s tn （）若，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号；2m ； ； 1,1,1,2,2,21,1,1,1,2,2,2,21,1,1,1,1,2,2,2,2 （）记若，证明：； 12n Saaa3m 20S （）若，求的最小值2018m n 北京市西城区 2017 2018 学年度第一学期期末 高三数学（理科）参考答案及评分标准 2018.1 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分. . 1A 2D 3C 4D 5D 6C 7B 8C 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分分. . 9 10， 11( 1,1) 3 2n 31 4 13 12 13 14；836 1 ,) 4 1 ,1 2 注：第注：第 1010，1414 题第一空题第一空 2 2 分，第二空分，第二空 3 3 分分. . 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 8080 分分. . 其他正确解答过程，请参照评分标准给分其他正确解答过程，请参照评分标准给分. . 15 （本小题满分 13 分） 解：（）因为 2 ( )2sincos(2) 3 f xxx 4 分 1cos2(cos2cossin2sin) 33 xxx 5 分 33 sin2cos21 22 xx ， 7 3sin(2)1 3 x 分 所以的最小正周期 8 分( )f x 2 2 T （）因为 ， 0 2 x 所以 10 分 2 2 333 x 当 ，即时， 11 2 32 x 5 12 x 分取得最大值为 13( )f x31 分 16 （本小题满分 13 分） 解：（）记事件 A 为“从表 1 的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于 7:00”， 1 分 在表 1 的 20 个日期中，有 15 个日期的升旗时刻早于 7:00， 所以 3 153 (A) 204 P 分 （）X 可能的取值为 40,1,2 分 记事件 B 为“从表 2 的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于 7:00”， 则 ， 5 分 51 (B) 153 P 2 (B)1(B) 3 PP ； ； 4 (0)(B)(B) 9 P XPP 1 2 114 (1)C ( )(1) 339 P X 8 1 (2)(B)(B) 9 P XPP 分 所以 X 的分布列为： X012 P 4 9 4 9 1 9 10 分 4412 ()012 9993 E X 注：学生得到 X ，所以，同样给分 1 (2, ) 3 B 12 ()2 33 E X （） 13 分 22 * ss 17 （本小题满分 14 分） 解：（）因为 平面，所以 1AB 11 AAC C 1 ACAB 分 因为 三棱柱中，所以 四边形为菱形， 111 ABCA B C 1 AAAC 11 AAC C 所以 3 分 11 ACAC 所以 平面 4 分 1 AC 1 ABC （）因为 ，平面，所以 平面 5 分 11 /A A B B 1 A A 11 BB C C 1 /A A 11 BB C C 因为 平面平面，所以 6 分 1 AA EF 11 BB C CEF 1 /A A EF 因为 平面平面，/ABC 111 ABC 平面平面，平面平面， 1 AA EF ABCAF 1 AA EF 1111 A B CA E 所以 7 分 1 /AE AF 所以 四边形为平行四边形 8 分 1 AA EF （）在平面内，过作 11 AAC CAAzAC 因为 平面， AB 11 AAC C 如图建立空间直角坐标系 9 分Axyz- 由题意得，(0,0,0)A(2,0,0)B(0,2,0)C 1(0,1, 3) A 1(0,3, 3) C 因为 ，所以 ， 2 3 BF BC 24 4 (,0) 33 3 BFBC 所以 2 4 ( ,0) 3 3 F 由（）得平面的法向量为 1 ABC 1 (0,1,3)AC 设平面的法向量为， 1 AC F( , , )x y zn 则 即 1 0, 0, AC AF n n 330, 24 0. 33 yz xy 令，则，所以 11 分1y 2x 3z ( 2,1,3) n 所以 13 分 1 1 1 |2 |cos,| 2 | AC AC AC n n n 由图知 二面角的平面角是锐角， 1 BACF 所以 二面角的大小为 14 1 BACF45 分 18 （本小题满分 13 分） 解：（）当时，1a ( )esin1 x f xx 所以 2 分( )e (sincos ) x fxxx 因为 ， 4 分(0)1 f (0)1f 所以曲线在点处的切线方程为 5 分( )yf x(0,(0)f1yx （） 6 分( )e ( sincos ) ax fxaxx 由 ，得 7 分( )0fxsincos0axx 因为 ，所以 8 分0a ( )0 2 f 当 时， 由 ， 得 (0,)(,) 22 xsincos0axx 1 tanx a 所以 存在唯一的， 使得 9 分 0 (,) 2 x 0 1 tanx a 与在区间上的情况如下：( )f x( )fx(0,) x 0 (0,)x 0 x 0 (, )x ( )fx +0 ( )f x 极大值 所以 在区间上单调递增，在区间上单调递减 11 分( )f x 0 (0,)x 0 (, )x 因为 ， 12 分 0 2 0 ()( )e1e10 2 a f xf 且 ，(0)()10ff 所以 在区间上恰有 2 个零点 13( )f x0, 分 19 （本小题满分 14 分） 解：（）由题意得 ， 所以 22a 3 2 c e a 3c 分 因为 ， 3 分 222 abc 所以 ， 4 分1b 所以 椭圆的方程为 5C 2 2 1 4 x y 分 （）若四边形是平行四边形，PAMN 则 ，且 . 6 分/PA MN| |PAMN 所以 直线的方程为，PA(2)yk x 所以 ， 7 分(3, )Pk 2 |1PAk 设， 11 (,)M x y 22 (,)N xy 由 得， 8 分 22 3, 44, ykx xy 22 (41)8 380kxkx 由，得 0 2 1 2 k 且， 9 分 12 2 8 3 41 k xx k 12 2 8 41 x x k 所以 . 22 121 2 |(1)()4MNkxxx x 10 2 2 22 6432 (1) (41) k k k 分 因为 ， 所以 | |PAMN 2 22 22 6432 (1)1 (41) k kk k 整理得 ， 12 分 42 1656330kk 解得 ，或 13 3 2 k 11 2 k 分 经检验均符合，但时不满足是平行四边形，舍去0 3 2 k PAMN 所以 ，或 14 3 2 k 11 2 k 分 20 （本小题满分 13 分） 解：（） 3 分 注：只得到 或只得到 给 1 分，有错解不给分 （）当时，设数列中出现频数依次为，由题3m n A1,2,3 123 ,q q q 意1 (1,2,3) i qi 假设，则有（对任意） ， 1 4q 12st aaaa2st 与已知矛盾，所以 1 4q 同理可证： 5 分 3 4q 假设，则存在唯一的，使得 2 1q 1,2, kn2 k a 那么，对，有 （两两不相等） ，, s t 1 12 kst aaaa , ,k s t 与