高等数学武大社课件第四章中值定理与导数的应用.pptx

高等数学,第一节中值定理,第二节洛必达法则,第三节函数单调性的判定法,第四节函数的极值及其求法,第五节函数的最大值和最小值,第六节曲线的凹凸性与拐点,第七节函数图形的描绘,1.中值定理的概念。2.函数单调性的判定法。3.函数的极值及其求法。,学习重点,第四章中值定理与导数的应用,如果函数f(x)在闭区间a，b上连续，在开区间(a,b)内可导，且在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在(a，b)内至少有一点，使得函数f(x)在该点的导数等于零：f()=0.,一、罗尔定理,第一节中值定理,罗尔定理中f(a)=f(b)这个条件是相当特殊的，它使罗尔定理的应用受到限制.如果把f(a)=f(b)这个条件取消，但仍保留其余两个条件，并相应地改变结论，那么就得到微分学中十分重要的拉格朗日中值定理.拉格朗日中值定理如果函数f(x)在闭区间a，b上连续，在开区间(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少有一点，使等式f(b)-f(a)=f()(b-a)(4-1)成立。,二、拉格朗日中值定理,第一节中值定理,由拉格朗日中值定理可以得到下面的推论.推论1设函数f(x)在区间I内恒有f(x)=0，那么在区间I内函数f(x)=C，其中C为常数.推论2设f(x)、g(x)是在I内的可导函数，若f(x)=g(x)，则f(x)-g(x)=C，其中C为常数.拉格朗日中值定理在微分学中占有重要地位，有时也叫作微分中值定理，f(b)-f(a)=f()(b-a)叫作拉格朗日中值公式.,第一节中值定理,如果函数f(x)及F(x)在闭区间a，b上连续，在开区间(a,b)内可导，且F(x)在(a,b)内的每一点处均不为零，那么在(a,b)内至少有一点，使等式成立。,三、柯西中值定理,第一节中值定理,定理1(洛必达法则)如果函数f(x)，g(x)满足条件：,一、0/0型未定式,第二节洛必达法则,对于xx0时的/型未定式，也有相应的洛必达法则定理2如果f(x)，g(x)满足条件：那么对于x时的/型未定式，上述法则也同样适用.,二、/型未定式,第二节洛必达法则,定理设函数y=f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导：(1)如果在(a，b)内f(x)0，那么函数y=f(x)在a，b上单调增加；(2)如果在(a，b)内f(x)0，那么函数y=f(x)在a，b上单调减少.,第三节函数单调性的判定法,证明设x，x是a，b上的任意两点，且xx，函数f(x)在区间(x，x)上满足拉格朗日中值定理的条件.应用拉格朗日中值定理，有f(x)-f(x)=f()(x-x)(xx).若f(x)0，则f()0，又因为x-x0，所以由上式得f(x)f(x).即函数f(x)在a，b上单调增加.若f(x)0，则函数f(x)在a，b上单调减少.这个结论同样适用于开区间(a,b)或无限区间.,第三节函数单调性的判定法,如果函数f(x)在区间(a,b)内的个别点的导数为零，其余的点都有f(x)0(或f(x)0)，那么f(x)在(a,b)内仍是单调增加(或单调减少).例如，y=-x的导数为y=-3x，当x=0时，y=0，在其余点均有y0，故它在(-，+)内是单调递减的,第三节函数单调性的判定法,定义设函数f(x)在区间（a,b）内有定义，x(a,b).如果对于点x近旁的任意点x(xx0),均有f(x)f(x)成立，则称f(x)是函数f(x)的一个极大值，点x称为f(x)的一个极大值点；如果对于点x近旁的任意点x(xx),均有f(x)f(x)成立，则称f(x)是函数f(x)的一个极小值，点x0称为f(x)的一个极小值点.,一、函数极值的定义,第四节函数的极值及其求法,函数的极大值与极小值统称为极值.使函数取得极值的极大值点与极小值点统称为极值点.,第四节函数的极值及其求法,定理1说明可导函数的极值点必定是驻点，但函数的驻点并不一定是极值点.例如,x=0是函数f(x)=x3的驻点，但x=0不是它的极值点.借助图形来分析一下函数f(x)在点x0取得极值时,点x0左右两侧导数f(x)的符号变化的情况.函数f(x)在点x0取得极大值,在点x0的左侧单调增加,有f(x)0;在点x0的右侧单调减少,有f(x)0.对于函数在点x0取得极小值的情形,二、函数极值的判定和求法,第四节函数的极值及其求法,由此可给出函数在某点处取得极值的充分条件.,第四节函数的极值及其求法,定理2(第一充分条件)设函数f(x)在点x0及其近旁可导,且f(x0)=0.(1)如果当x取x0左侧邻近的值时,恒有f(x)0;当x取x0右侧邻近的值时,恒有f(x)0,那么函数f(x)在点x0处取得极大值f(x0).(2)如果当x取x0左侧邻近的值时,恒有f(x)0;当x取x0右侧邻近的值时,恒有f(x)0,那么函数f(x)在点x0处取得极小值f(x0).(3)如果在x0的两侧,函数的导数符号相同,那么函数f(x)在点x0处没有极值.当函数f(x)在驻点处的二阶导数存在且不为零时,也可以利用下列定理来判定f(x)在驻点处取得极大值还是极小值.,第四节函数的极值及其求法,定理3(第二充分条件)设函数f(x)在点x0处具有二阶导数且f(x0)=0,f(x0)0,那么(1)f(x0)0时,函数f(x)在点x0处取得极大值;(2)f(x0)0时,函数f(x)在点x0处取得极小值.,第四节函数的极值及其求法,根据上面三个定理,如果函数f(x)在所讨论的区间内各点处都具有导数,我们就以下列步骤来求函数f(x)的极值点和极值:(1)求出函数f(x)的定义域;(2)求出函数f(x)的导数f(x);(3)求出f(x)的全部驻点(即求出方程f(x)=0在所讨论的区间内的全部实根)；(4)用驻点把函数的定义域划分为若干个部分区间,考察每个部分区间内f(x)的符号,以确定该驻点是否为极值点.如果是极值点,还要按定理2确定对应的函数值是极大值还是极小值；(5)求出各极值点处的函数值,就得到了函数f(x)的全部极值.,第四节函数的极值及其求法,我们知道,闭区间a,b上的连续函数f(x)一定有最大值和最小值存在.显然,这个最大值和最小值只能在区间(a,b)内的极值点或者区间的端点处取得.因此,求闭区间上连续函数的最大值和最小值时,只要把可能取得极值的点(驻点和不可导的点)与区间端点的函数值比较大小即可.最大的就是f(x)在a,b上的最大值,最小的就是f(x)在a,b上的最小值.,一、函数的最大值和最小值的求法,第五节函数的最大值和最小值,在实际问题中,常要遇到在一定条件下,怎样使产量最多、用料最省、成本最低等问题，这类问题常可归结为求函数的最大值或最小值问题.,二、最大值和最小值的应用问题,第五节函数的最大值和最小值,定义若在开区间(a,b)内,曲线y=f(x)的各点处切线都位于曲线的下方,则称此曲线在(a,b)内是凹的;若曲线y=f(x)的各点处切线都位于曲线的上方,则称此曲线在(a,b)内是凸的.曲线y=f(x)在区间(a,c)内是凸的,在区间(c,b)内是凹的.再观察曲线段上各点处的斜率的变化我们会发现,曲线y=f(x)在区间(a,c)内从左至右切线的斜率是递减的;在区间(c,b)内从左至右切线的斜率是递增的.联系函数增减性的判别方法,我们便有如下的曲线凹凸性的判别定理.,一、曲线的凹凸性及其判别法,第六节曲线的凹凸性与拐点,定理设函数y=f(x)在开区间(a,b)内具有二阶导数,则(1)如果在区间(a,b)内f(x)0,则曲线y=f(x)在(a,b)内是凹的;(2)如果在区间(a,b)内f(x)0,则曲线y=f(x)在(a,b)内是凸的;,第六节曲线的凹凸性与拐点,定义若连续曲线y=f(x)上的一点是凹的曲线弧与凸的曲线弧的分界点,则称该点是曲线y=f(x)的拐点.判定曲线的拐点的步骤.(1)确定函数y=f(x)的定义域;(2)求出二阶导数f(x),令f(x)=0,求出定义域内的所有实根,指出f(x)不存在的点,用这些点来划分定义域;(3)列表讨论f(x)在各个区间f(x)的符号和f(x)的凹凸性;(4)确定y=f(x)的拐点.,二、曲线的拐点,第六节曲线的凹凸性与拐点,(1)确定函数的定义域，并讨论函数的有界性、周期性、奇偶性等;(2)求f(x)，f(x)，解出f(x)=0及f(x)=0在定义域内的全部实根及一阶、二阶导数不存在的点;(3)列表讨论f(x)，f(x)的符号，从而确定函数的单调性、凹凸性、极值和拐点;(4)计算一些必要的辅助点;(5)讨论曲线的渐近线;(6)描出函数图象.,一、描绘函数图形的一般步骤,第七节函数图形的描绘,定义如果曲线y=f(x)的定义域是无限区间，且有limx-f(x)=