初中数学巧用勾股定理求最短路径的长

巧用勾股定理求最短路径的长巧用勾股定理求最短路径的长 名师点金：求最短距离的问题，第一种是通过计算比较解最短问题；第二种是平面图形， 将分散的条件通过几何变换(平移或轴对称)进行集中，然后借助勾股定理解决；第三种是 立体图形，将立体图形展开为平面图形，在平面图形中将路程转化为两点间的距离，然后 借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程(距离) 1 1如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人从 A 走到 B，为了避免拐角 C 走“捷 径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了_步路(假设 2 步为 1 m)，却踩 伤了花草 (第 1 题) 2 2小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题：如图，以往从黄石A 坐 客车到武昌客运站B，现在可以在黄石A坐“武黄城际列车”到武汉青山站C，再从青山站 C坐市内公共汽车到武昌客运站B.设AB80 km，BC20 km，ABC120.请你帮助小明 解决以下问题： (1)求 A，C 之间的距离(参考数据： 214.6) (2)若客车的平均速度是 60 km/h，市内的公共汽车的平均速度为40 km/h，“武黄城际 列车”的平均速度为 180 km/h，为了在最短时间内到达武昌客运站，小明应选择哪种乘车 方案？请说明理由(不计候车时间) (第 2 题) 用平移法求平面中最短问题 3 3如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是 50 cm，30 cm，10 cm，A 和 B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只壁虎，它想到 B 点去吃可口的食物，请 你想一想，这只壁虎从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点，至少需爬() A13 cmB40 cmC130 cmD169 cm (第 3 题) 4 4如图，已知BCDE90，且 ABCD3，BC4，DEEF2， 则 AF 的长是_ (第 4 题) 用对称法求平面中最短问题 5 5如图，正方形 ABCD 的边长为 8，点 M 在 DC 上且 DM2，N 是 AC 上的一动点， 求 DNMN 的最小值 (第 5 题) 6. 6.高速公路的同一侧有 A，B 两城镇，如图，它们到高速公路所在直线MN 的距离分别 为 AA2 km，BB4 km，AB8 km.要在高速公路上 A，B之间建一个出口 P，使 A，B 两城镇到 P 的距离之和最小求这个最短距离 (第 6 题) 用展开法求立体图形中最短问题 类型1 1 圆柱中的最短问题 2 7 7如图，已知圆柱体底面圆的半径为 ，高为 2，AB，CD 分别是两底面的直径若一 只小虫从 A 点出发，沿圆柱侧面爬行到C 点，则小虫爬行的最短路线的长度是_(结 果保留根号) (第 7 题) 类型2 2 圆锥中的最短问题 8 8已知：如图，观察图形回答下面的问题： (1)此图形的名称为_ (2)请你与同伴一起做一个这样的物体，并把它沿AS剪开，铺在桌面上，则它的侧面展 开图是一个_ (3)如果点 C 是 SA 的中点，在 A 处有一只蜗牛，在 C 处恰好有蜗牛想吃的食品，但它 又不能直接沿AC爬到C处，只能沿此立体图形的表面爬行，你能在侧面展开图中画出蜗牛 爬行的最短路线吗？ (4)SA 的长为 10，侧面展开图的圆心角为90，请你求出蜗牛爬行的最短路程 (第 8 题) 类型3 3 正方体中的最短问题 9 9如图，一个正方体木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角 A 处沿着木柜表面爬到柜角C1处 (1)请你在正方体木柜的表面展开图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径； (2)当正方体木柜的棱长为4 时，求蚂蚁爬过的最短路径的长 (第 9 题) 类型4 4 长方体中的最短问题 1010如图，长方体盒子的长、宽、高分别是12 cm，8 cm，30 cm，在AB的中点C处有 一滴蜜糖，一只小虫从E 处沿盒子表面爬到 C 处去吃，求小虫爬行的最短路程 (第 10 题) 答案答案 1 14 2 2解：(1)如图，过点 C 作 AB 的垂线，交 AB 的延长线于点 E. ABC120，BCE30. 在 RtCBE 中，BC20 km， BE10 km. 由勾股定理可得 CE10 3 km. 在 RtACE 中，AC2AE2CE2(ABBE)2CE28 1003008 400， AC20 21204.692(km) (第 2 题) (2)选择乘“武黄城际列车”理由如下：乘客车所需时间为 9220111 列车”所需时间约为1(h)1 1， 1804090390 选择乘“武黄城际列车” 3 3C点拨：将台阶面展开，连接 AB，如图，线段 AB 即为壁虎所爬的最短路线因 为 BC303103120(cm)，AC50 cm，在 RtABC 中，根据勾股定理，得 AB2 AC2BC216 900，所以 AB130 cm.所以壁虎至少爬行 130 cm. 801 1 (h)，乘“武黄城际 603 (第 3 题) 4 410 5 5解：如图所示， 正方形是轴对称图形，点B 与点 D 是关于直线 AC 为对称轴的对称点， 连接 BN，BD，则直线 AC 即为 BD 的垂直平分线，BNND. DNMNBNMN. 连接 BM 交 AC 于点 P， 点 N 为 AC 上的动点， 由三角形两边之和大于第三边， 知当点 N 运动到点 P 时， DNMNBPPMBM，DNMN 的最小值为 BM 的长度 四边形 ABCD 为正方形， BCCD8，CM826， BCM90， BM BC2CM2 826210. 即 DNMN 的最小值为 10. (第 5 题) 6 6解：如图，作点 B 关于直线 MN 的对称点 C，连接 AC 交 MN 于点 P，则点 P 即为 所建的出口此时 A，B 两城镇到出口 P 的距离之和最小，最短距离为 AC 的长作 AD BB于点 D，在 RtADC 中，ADAB8 km，DC6 km. AC AD2DC210 km， 这个最短距离为 10 km. (第 6 题) 7 72 2点拨：将圆柱体的侧面沿 AD 剪开并铺平得长方形 AADD，连接 AC，如 21 图线段 AC 就是小虫爬行的最短路线根据题意得 AB 2 2.在 RtABC 中，由 2 勾股定理，得 AC2AB2BC222228，AC 82 2. (第 7 题) 8 8解：(1)圆锥(2)扇形 (3)把此立体图形的侧面展开，如图所示，AC 为蜗牛爬行的最短路线 (4)在 RtASC 中，由勾股定理，得AC210252125， AC 1255 5. 故蜗牛爬行的最短路程为5 5. (第 8 题) (第 9 题) 9 9解：(1)蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AC1和 AC1. (2)如图，AC1AC1 （44）2424 5.所以蚂蚁爬过的最短路径的长是4 5. 1010解：分为三种情况： (1)如图，连接 EC， 1 在 RtEBC 中，EB12820(cm)，BC 3015(cm