平行四边形常用的证明方法

平行四边形常用的证明方法一 利用平行四边形的相关定理证明1.(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形例题：已知在四边形ABCD中，A=C，B=D求证：四边形ABCD是平行四边形 证明：A=C，B=D，又A+C+B+D=3600，A+B=C+D=1800，ABCD，ADBC，四边形ABCD是平行四边形（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形例题：如图，ABCD中，点E、F分别在边BC和AD上，且BAE=DCF求证：四边形AECF是平行四边形 证明：四边形ABCD是平行四边形，B=D，AB=CD，AD=BC,又BAE=DCF, BAEDCF, AE=CF,BE=DF, AD=BC, AF=EC, 四边形AECF是平行四边形（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形 例题：如图，在ABCD中，点E、F分别在CD、AB的延长线上，且AE=AD，CF=CB求证：四边形AFCE是平行四边形 证明：四边形ABCD是平行四边形，ADC=ABC，BAD=DCB，ADE=CBF,AE=AD,CF=CB,EAD=ADE,CBF=FCB，ADC=ABC，EAD=BCF，EAD+BAD=BCF+DCB，即EAF=ECF，EAD=BCF，EAD=ADE,CBF=FCB，EAD=ADE=CBF=FCB，E=F，四边形AFCE是平行四边形（4）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形例题：如图，AECF的对角线交于点O，DB经过点O，分别与AE，CF交于B，D求证：四边形ABCD是平行四边形 证明：四边形AECF是平行四边形，AO=CO，FCA=CAE，DOC=AOB，AOBCOD，DO=BO，四边形ABCD是平行四边形 （5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形例题：如图，ABCD中，AM=（23）AB，CN=（23）CD求证：四边形AMCN是平行四形 证明：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，AB=CD，AM=（23）AB，CN=（23）CD，AMCN，AMCN，四边形AMCN是平行四形2.(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形例题：如图，在ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形，求证：四边形ADCE是矩形 证明：AB=AC，D为BC中点，ADBC，BD=DC，四边形ABDE是平行四边形，AE=BD，AEBD，A、D、C在一条直线上，AE=CD，AECD，四边形ADCE是平行四边形，ADC=900，四边形ADCE是矩形(2)有三个角是直角的四边形是矩形例题：如图，BD，BE分别是ABC与它的邻补角ABP的平分线AEBE，ADBD，E，D为垂足，求证：四边形AEBD是矩形 证明：BD，BE分别是ABC与它的邻补角ABP的平分线，PBE=ABE=0.5ABP，ABD=DBC=0.5ABC，ABP+ABC=900，ABE+ABD=PBE+DBC=0.51800，EBD=900，AEBE，ADBD，AEB=900，ADB=900，EBD=AEB=ADB=900，四边形AEBD是矩形,(3)对角线相等的平行四边形是矩形例题：如图，ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OAB是等边三角形，求证：四边形ABCD是矩形 证明：OAB是等边三角形，OA=OB，四边形ABCD是平行四边形，OA=OC，OB=OD，AO=OB=OC=OD，AC=BD，四边形ABCD是矩形3.(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形例题：如图，在ABC中，ABBC，D、E、F分别为BC、AC、AB边的中点。求证：四边形BDEF是菱形 证明：D、E、F分别为BC、AC、AB边的中点，AF=BF，AE=CF，BD=CD，EFBD，EDBF，四边形BDEF是平行四边形，ABBC，BF=BD，四边形BDEF是菱形(2)四条边都相等的四边形是菱形例题：如图，ABC中，BAC=90，BG平分ABC，GFBC于点F，ADBC于点D，交BG于点E，连接EF，求证：四边形AEFG为菱形 证明：BG平分ABC，GFBC于点F，ADBC于点D，AG=FG，AG=FG，BG=BG，RtAGBRtFGB（HL），AB=BF，AB=BF，BE=BE，ABG=FBG，AEBFEB，AE=FE，FBG+DEB=900，GEA=DEB，FBG+GEA=900，ABG+AGB=900，ABG=FBG，AGB=AEG，AG=AE，AG=AE=FG=EF，四边形AEFG为菱形(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形例题：如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，EF经过O点且垂直于AC求证：四边形AFCE是菱形 证明：如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，AO=OC，1=2，3=4，AEOCFO，OF=OE，四边形AFCE是平行四边形，EFAC，四边形AFCE是菱形(4)每条对角线平分一组对角的四边形是菱形4.(1)有一组邻边相等的矩形是正方形例题：如图,ABC中.ABC=90,BD是角平分线,DEAB,DFBC,垂足分别是E、F.求证：四边形DEBF是正方形 证明：ABC=90,DEAB,DFBC，四边形EBFD是矩形，BD是角平分线,DEAB,DFBC，DE=DF，四边形DEBF是正方形(2)有一个角是直角的菱形是正方形例题：如图，正方形ABCD中，E，F，GH分别为四条边上的点，并且AE=BF=CG=DH求证：四边形EFGH为正方形 证明：AE=BF=CG=DH，AB=BC=CD=DA，BF=CG=DH=AE, ABC=BCD=CDA=DAB=90, EBFFCGGDHHAE, EF=FG=GH=EH, 四边形EFGH是菱形，EBFFCG，BEF=GFC，BEF+BFE=900，GFC+BFE=900，EFG=900，四边形EFGH为正方形二 面积证法例题：如图，ABCD中M是DA延长线上一点，连接MB，MC，且MC交AB与N，连结DN，试说明三角形BMN与三角形AND面积相等 证明：CDN与ABCD等底等高（都以CD作底），SCDN=0.5SABCD，SAND+ SCBN=0.5SABCD，又MBC与ABCD等底等高（都以BC作底）SMBC=0.5SABCD，SNBC+ SMNB=0.5SABCD，SNBC+ SMNB=SAND+ SCBN，SAND= SMNB，三角形BMN与三角形AND面积相等例题：如图，平行四边形ABCD中，平行于边的两条线段EF，CH把平行四边形ABCD分成四部分，分别记这四部分的面积为S1，S2，S3和S4，则下列等式一定成立的是（）A S1=S3 B S1+S3=S2+S4 C S3-S1=S2-S4 D S1S3=S2S4 解：如图，做PQAB于Q，交CD于P，交EF于R，s1=AGRQ，s2=BGRQ，s3=RFPR，s4=ERPR，又AG=ER，GB=RF，s1s3= AGRQ RFPR=ERRQGBPR= GBRQERPR=s2s4，选D例题：如图，点P为ABCD内一点，SAPBSABCD=25，求SPCDSABCD 解：过点P做EFCD于点F，交AB于E，SABP=0.5ABEP, SABCD=ABEF, 又SABPSABCD=25, EPEF=45, EP=4EF5, PF= EF5, SPCD=0.5CDPF=0.5 CDEF5= CDEF10= SABCD10, SPCDSABCD=110练习：1.如图，ABCD中，EF过AC的中点O，与AD、BC分别相交于E、F证明：四边形AECF是平行四边形2.如图，点O是ABCD的对角线AC与BD的交点，四边形OCDE是平行四边形求证：OE与AD互相平分 3.如图，ABCD各角的平分线分别相交于点E，F，G，H，求证：四边形EFGH是矩形4.已知ABCD中，M是边AB的中点，且BM=CM，求证：四边形ABCD是矩形 5.如图，过ABCD的对角线交点O作互相垂直的两条直线EG、FH与平行四边形ABCD各边分别相交于点E、F、G、H求证：四边形EFGH是菱形6.如图，在ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CEBF，连接BE、CF（1）求证：BDFCDE；（2）若AB=AC，求证：四边形BFCE是菱形 7.如图，在直角三角形ABC中，C=90，CAB、CBA的平分线交于点D，DEBC于E，DFAC于F.（1）求ADB的度数；（2）试说明四边形CEDF是什么形状的特殊四边形8.如图，四边形EFGH是由矩形ABCD的外角平分线围成的求证：四边形EFGH是正方形 9.如图，ABC为等边，D、F分别为BC、AB边上的点，CD=BF，以AD为边作等边ADE（1）ACD和CBF全等吗？请说明理由；（2）判断四边形CDEF的形状，并说明理由；（3）D在BC上移动到何处时，DEF=3010.如图，在ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MNBC，设MN交BCA的平分线于点E，交BCA的外角平分线于点F。求证：EO=FO；当O点运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论;当ACB满足什么条件时，四边形AECF是正方形？并证明你的结论 11.如图，ABCD中，ABAC，AB=1，BC=，对角线AC、BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转一定角度后，分别交BC、AD于点E、F（1）证明：当旋转角为90时，四边形ABEF是平行四边形；（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说