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四、柱坐标、球坐标下的三重积分,1.柱坐标：(,r,z),z,z,动点M(r,z),柱面S,r=常数：,平面,z=常数：,M,r,S,z,12.柱面坐标的坐标面,动点M(r,z),半平面P,柱面S,=常数:,r=常数：,平面,z=常数：,z,M,r,S,P,12.柱面坐标的坐标面,.,dr,r,rd,d,z,元素区域由六个坐标面围成：,半平面及+d;半径为r及r+dr的园柱面；平面z及z+dz；,13.柱面坐标下的体积元素,dr,r,rd,d,z,底面积：rdrd,元素区域由六个坐标面围成：,半平面及+d;半径为r及r+dr的园柱面；平面z及z+dz；,dz,13.柱面坐标下的体积元素,.,dr,r,rd,d,z,底面积：rdrd,元素区域由六个坐标面围成：,半平面及+d;半径为r及r+dr的园柱面；平面z及z+dz；,dz,dV=,.,13.柱面坐标下的体积元素,.,dV,四、柱坐标、球坐标下的三重积分,1.柱坐标：(,r,z),定理,推论,y,x,z,r,z,dr,dz,1,.,Dxy:,z=0,用哪种坐标？,.,柱面坐标,Dxy,14.计算,I=,1,柱坐标下三重积分举例,例3,柱坐标下三重积分举例,例4,1,Dxy,.,Dxy:,z=1,锥面化为:,r=z,1,.,用哪种坐标？,柱面坐标,15.,.,.,2.球坐标：(,),定理,S,r,M,r=常数:,=常数:,球面S,动点M(r,),17.球面坐标的坐标面,17.球面坐标的坐标面,C,r=常数:,=常数:,S,球面S,半平面P,动点M(r,),M,P,=常数:,锥面C,.,r,dr,d,rsin,圆锥面,rd,球面r,圆锥面+d,球面r+dr,元素区域由六个坐标面围成：,d,rsind,18.球面坐标下的体积元素,半平面及+d；半径为r及r+dr的球面；圆锥面及+d,r,dr,d,x,z,y,0,d,rd,元素区域由六个坐标面围成：,rsind,18.球面坐标下的体积元素,半平面及+d；半径为r及r+dr的球面；圆锥面及+d,r2,sindrdd,sindrdd,r2,rcos),dV,dV=,球坐标下三重积分举例,例5,球坐标下三重积分举例,例6,杂例,杂例,五、三重积分的对称
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