2017年电大2017最新电大高等数学基础形成性考核手册答案(含题目)

最新资料，最新资料，wordword 文档，可以自由编辑！文档，可以自由编辑！ 精精 品品 文文 档档 下下 载载 【本页是封面，下载后可以删除本页是封面，下载后可以删除! !】 高等数学基础形考作业高等数学基础形考作业 1 1 答案：答案： 1 第第 1 1 章章函数函数 第第 2 2 章章极限与连续极限与连续 （一）单项选择题 下列各函数对中，（C C）中的两个函数相等 A.f (x) ( x)2，g(x) xB.f (x) 3 x2，g(x) x x21 C.f (x) ln x，g(x) 3ln xD.f (x) x 1，g(x) x 1 设函数f (x)的定义域为(,)，则函数f (x) f (x)的图形关于（C C）对称 A. 坐标原点B. x轴 C.y轴D.y x 下列函数中为奇函数是（B B） A.y ln(1 x2)B.y xcos x ax ax C. y D.y ln(1 x) 2 下列函数中为基本初等函数是（C C） A.y x 1B.y x C.y x 2 D.y 1, x 0 1,x 0 下列极限存计算不正确的是（D D） x2 1 B. limln(1 x) 0 A. lim 2 x0 xx 2 sin x1 0 D. lim xsin 0 xx xx 当x 0时，变量（C C）是无穷小量 sin x1 A.B. xx 1 C. xsin D.ln(x 2) x C. lim 若函数f (x)在点x0满足（A A），则f (x)在点x0连续。 A. lim f (x) f (x 0 ) B. f (x)在点x 0 的某个邻域内有定义 xx0 f (x) f (x 0 ) D. lim f (x) lim f (x) C. lim xx0 xx0 xx0 （二）填空题 2 函数f (x) x29 ln(1 x)的定义域是3, x 3 2 已知函数f (x 1) x2 x，则f (x) x -x 1 x) e2 lim(1 x 2x 1 x 若函数f (x) (1 x) ,x 0 ，在x 0处连续，则k e x 0 x k , 1 x 1,x 0 函数y 的间断点是x 0 sin x , x 0 若lim f (x) A，则当x x0时，f (x) A称为x x0时的无穷小量。 xx0 （三）计算题 设函数 e x,x 0 f (x) x , x 0 求：f (2), f (0), f (1) 解：f 2 2 ，f 0 0， f1e e 1 求函数y lg 2x1 的定义域 x 2x1 x 0 2x11 解：y lg有意义，要求解得x 或x 0 x2 x 0 x 0 则定义域为x| x 0或x 1 2 在半径为R的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上， 试将梯形的面积表示成其高的函数 解： D A R OhE B C 设梯形 ABCD 即为题中要求的梯形，设高为h，即 OE=h，下底 CD2R 3 直角三角形 AOE 中，利用勾股定理得 AE OA2OE2R2h2 则上底2AE 2 R2h2 h 2R2 R2h2 h RR2h2 2 sin3x 求lim x0sin2x sin3xsin3x 3x sin3x3133 解：lim lim 3x lim 3x x0sin2xx0 sin2x x0 sin2x 2122 2x 2x2x 故S x21 求lim x1sin(x 1) x21(x1)(x1)x111 lim lim 2 解：lim x1sin(x1)x1 sin(x1) x1 sin(x1) 1 x1 tan3x x0 x tan3xsin3x1sin3x11 lim lim31 3 3 解：lim x0 x0 xxcos3x x0 3xcos3x1 求lim 1 x21 求lim x0 sin x 1 x21( 1 x21)( 1 x21)x2 lim lim 解：lim 2 x0 x0 x0 sin x ( 1 x 1)sin x( 1 x21)sin x lim x0 x ( 1 x21)sinx x 0 0 111 求lim( x x 1 x) x 3 111 (1)x(1)x1 x1 x e1 x xxx 解：lim() lim() lim lim 3 e4 x x x3 xxx 33 e1 1(1)x (1)33 xxx 3 1 x26x 8 求lim 2 x4x 5x 4 x26x8 x4x2 lim x2 42 2 解：lim 2 lim x4x 5x4x4 x4x1 x4 x1413 设函数 4 (x 2)2,x 1 f (x) x ,1 x 1 x 1, x 1 讨论f (x)的连续性。 解：分别对分段点x 1,x 1处讨论连续性 （1） x1 x1 lim fx lim x 1 x1 x1 lim fx limx1 11 0 x1x1 所以lim f x lim fx，即 fx在x 1处不连续 （2） x1 x1 lim fx limx2121 x1 x1 22 lim fx lim x 1 f11 所以lim f x lim fx f1即 fx在x 1处连续 x1x1 由（1）（2）得f x在除点x 1外均连续 高等数学基础作业高等数学基础作业 2 2 答案：答案： 第第 3 3 章章导数与微分导数与微分 （一）单项选择题 设f (0) 0且极限lim x0 f (x)f (x) （C C） 存在，则lim x0 xx A.f (0)B.f (0) C.f (x)D. 0cvx 设f (x)在x0可导，则lim h0 f (x 0 2h) f (x 0 ) （D） 2h A. 2f (x 0 ) B. f (x 0 ) C. 2f (x 0 ) D. f (x 0 ) f (1 x) f (1) （A） x0 x 11 A. e B. 2e C. e D. e 24 设f (x) e，则lim x 5 设f (x) x(x 1)(x 2)(x 99)，则f (0) （D） A.99B.99C.99!D.99! 下列结论中正确的是（C） A. 若f (x)在点x0有极限，则在点x0可导 B. 若f (x)在点x0连续，则在点x0可导 C. 若f (x)在点x0可导，则在点x0有极限 D. 若f (x)在点x0有极限，则在点x0连续 （二）填空题 1 2 x sin ,x 0 设函数f (x) ，则f (0) 0x x 0 0 , 设f (ex) e2x5ex，则 d f (lnx) 2 ln x5 xx dx 。 曲线f (x) x 1在(1, 2)处的切线斜率是k 1 。 2 曲线f (x) sin x在( ,1)处的切线方程是y 1。 2 设y x2x，则y 2x2x(1lnx) 设y xln x，则y 1 。 x （三）计算题 求下列函数的导数 y ： y (x x 3)ex 3 1 x 解:y x x3 e x x3 e (x 3)e x2e 2 x x 3 2 x y cotx x lnx 解：y cot x 2 x2 lnx x2lnx csc2x x2xlnx x2 y ln x 6 x lnx x lnx 解：y 22 ln2x 2xlnx x 2ln x cosx2x y x3 x(sinx2 cosx2 x cosx2 x 解：y x x3x3 3 2 xln2)3(cosx2x) 4x ln x x2 y sin x 解：y lnx x 2 1 sin x(2x)(lnx x2)cosx sin x lnx x sin x x 2sin2xsin x 2 y x4sin xln x 解：y x sin x lnxsin xlnx 4x43 sin x cosxlnx x sin x x2 y 3x sinx x 3 sinx x 3 解：y 3 2x2x x 2 3x(cosx2x)(sinx x2)3xln3 2x3 y e tan x ln x 解：y x e x ex1 tan xe tan x lnx e tanx cos2xx x x 求下列函数的导数 y ： y e 解：y x x e e x 1 1 1 x 2e x 22 x y lncosx 解：y y 1 sin x sin x tanx cosxcos x x x 7 177 解：y x8 x8 8 y sin2x xsin x 2sin xcosx 2sin2x 解：y 2sin y sin x2 2 y cosx 2x 2xcosx 解： y cosex2 x2 解： y sinee 2xex2 n x2sinex2 y sinnxcosnx 解：y sin x cosnx sin xcosnx nsin nn1xcosxcosnxnsinnxsin(nx) y 5sinx sin x 解：y 5 ln5cosx ln5cosx5sin x cosxy e 解： yecosxsin x sin xecosx 在下列方程中，y y(x)是由方程确定的函数，求y： ycosx e 解：ycosx ysin x 2e y cos yln x 解：y sin y.yln x cos y. 2y 2y y y ys i nx cosx 2e2y 1c o s y y xx(1s i nyl nx) x2 2xsin y y 2xy 2ys i ny2yx x2 y x22yx 解：2xcos y.y 2sin y y y (2xcos y ) 2sin y 222222xy c o s y xyyy 8 y x ln y 解：y y y 1y yy 1 lnx ey y2 解： 11 eyy 2yyy yxx(2y e ) y21 exsin y exs i ny 解：2yy e cos y.ysin y.ey 2y exc o s y xx ey ex y3 ex 2 解：e y e 3y y y y 3y e yx2 y 5x 2y 5xln5 解：y 5 ln5 y2 ln2 y 1 2yln2 xy 求下列函数的微分dy：（注：dy y cot x csc x 解：y csc y 2 ydx） 1cos x )dx 22cos xsin x xcscxcotxdy ( ln x sin x 11 sin xlnxcosxsin x ln xcosx x dx 解：y x dy 2sin xsin2x y sin2x 解：y 2sin xcosx dy 2sin xcosxdx y tanex 2 解：y sec exex dy sec2exexdx exsec2exdx 33 9 求下列函数的二阶导数： y x 33 1 1 111 解：y x 2y x 2 x2 22 24 y 3x x 解：y 3 y ln3y ln33xln3 ln233x lnx 11 y 2xx 解：y y xsinx 解：y sin x xcosx y cosxcosx xsin x 2cosx xsin x （四）证明题 设f (x)是可导的奇函数，试证f (x)是偶函数 证：因为 f(x)是奇函数 所以f (x) f (x) 两边导数得：f (x)(1) f (x) f (x) f (x) 所以f (x)是偶函数。 高等数学基础形考作业高等数学基础形考作业 3 3 答案：答案： 第 4 章导数的应用 （一）单项选择题 若函数f (x)满足条件（D），则存在(a, b)，使得f () A. 在(a, b)内连续B. 在(a, b)内可导 C. 在(a, b)内连续且可导D. 在a, b内连续，在(a, b)内可导 函数f (x) x 4x 1的单调增加区间是（D） A. (, 2) B. (1,1) C. (2, ) D. (2, ) 函数y x 4x 5在区间(6, 6)内满足（A） A. 先单调下降再单调上升B. 单调下降 10 2 2 f (b) f (a) b a C. 先单调上升再单调下降D. 单调上升 函数f (x)满足f (x) 0的点，一定是f (x)的（C） A. 间断点B. 极值点 C. 驻点D. 拐点 设f (x)在(a, b)内有连续的二阶导数，x0(a, b)，若f (x)满足（ C ），则f (x)在x0取到极小 值 A.f (x0) 0, f (x0) 0B.f (x0) 0, f (x0) 0 C.f (x0) 0, f (x0) 0D.f (x0) 0, f (x0) 0 设f (x)在(a, b)内有连续的二阶导数，且f (x) 0, f (x) 0，则f (x)在此区间内是（ A ） A. 单调减少且是凸的B. 单调减少且是凹的 C. 单调增加且是凸的D. 单调增加且是凹的 （二）填空题 设f (x)在(a, b)内可导，x0(a, b)，且当x x0时f (x) 0，当x x0时f (x) 0，则x0是 f (x)的 极小值点 若函数f (x)在点x0可导，且x0是f (x)的极值点，则f (x0) 0 函数y ln(1x2)的单调减少区间是(,0) 函数f (x) ex的单调增加区间是(0,) 若函数f (x)在a, b内恒有f (x) 0，则f (x)在a, b上的最大值是f (a) 函数f (x) 25x 3x3的拐点是 2 0,2 （三）计算题 求函数y (x1) (x5)的单调区间和极值 解：令y 2 x52 (x1)2(x5) X 3(x5)(x1) 驻点x 1,x 5 列表： 极大值： (,1) + 上升 1 0 极大值 32 (1,5) 下降 5 0 极小值 0 (5,) + 上升 y f (1) 32 y 极小值：f (5) 0 11 求函数y x22x3在区间0, 3内的极值点，并求最大值和最小值 解：令：y 2x 2 0 x 1(驻点），列表： 1 0 极大值 2 2 x y y （0,1） + 上升 （1,3） 下降 y x22x3x12 f (0) 3f (3) 6f (1) 2 极值点：f 1 2 最大值 最小值 2 f (3) 6 f (1) 2 3.求曲线y 2x上的点，使其到点A(2, 0)的距离最短 解：设p(x, y)是y 2x上的点，d 为 p 到 A 点的距离，则： 2 d (x 2)2 y2(x 2)2 2x 令d 2(x 2) 2 2 (x 2) 2x 2 x 1 (x 2) 2x 2 0 x 1 y 2 y2 2x上点(1, 2)或1， -2 到点A(2,0)的距离最短。 4.圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为L，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？ 解：设园柱体半径为 R，高为 h，则体积V R h (L h )h 222 令：V h(2h) L2h2L23h2 0 2 L 3 32 ,R L时其体积最大。 33 L 3hh 3 L 3 R 当h 5.一体积为 V 的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？ 解：设园柱体半径为 R，高为 h，则体积V R2h S 表面积 2Rh 2R2 2 V 2R2 R 12 令：S 2VR2 4R 0 VV4V h 3 R3 R 3 22 答：当R 3 V4V h 3 时表面积最大。 2 6.欲做一个底为正方形，容积为62.5 立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解：设底长为 x，高为 h。则： 62.5 x2h 2 h 62.5 2x 2 侧面积为：S x 4xh x 令S 2x 250 x 250 0 x2 x3125 x 5 答：当底连长为 5 米，高为 2.5 米时用料最省。 （四）证明题 当x 0时，证明不等式x ln(1 x) 证：在区间1,1 x上对函数f x lnx应用拉格朗日定理，有 ln1 xln1 其中1 1 x 1 1 x,故1，于是由上式可得x ln(1 x) x 当x 0时，证明不等式e x 1 证：设f (x) e (x 1) x f (x) ex1 0(当x 0时）当x 0时, f (x)单调上升且f (0) 0 f (x) 0,即ex (x1) 高等数学基础形考作业高等数学基础形考作业 4 4 答案：答案： 第 5 章不定积分 第 6 章定积分及其应用 （一）单项选择题 1 ，则f (x) （D） x 1 A. ln x B. 2x 12 C.D. 3xx 若f (x)的一个原函数是 13 下列等式成立的是（D） Af (x)dx f (x)B. df (x) f (x)C. df (x)dx f (x) D. 若f (x) cos x，则 d f (x)dx f (x) dx f (x)dx （B） A.sin x cB.cosxc C.sin x cD.cosxc d 23x f (x )dx （B） dx A.f (x3)B.x2f (x3) C. 11 f (x) D. f (x3) 33 若f (x)dx F(x) c，则 1 x f ( x)dx （B） A.F( x)cB.2F( x)c C.F(2 x)cD. 下列无穷限积分收敛的是（D） A. 1 x F( x) c 1 1dx B. x 0 exdx 1 dx 2x C. 1 1 dx D. x 1 （二）填空题 函数f (x)的不定积分是f (x)dx。 若函数F(x)与G(x)是同一函数的原函数，则F(x)与G(x)之间有关系式F(x)G(x) c(常数）。 x d e dx e。 x2 2 (tan x)dx tan x c。 若 3 f (x)dx cos